Sunday Math Party 29 - Joyo Bizarre Plane - Times

剰余の奇妙な平面 〜乗算だけは譲れない〜

第19回の日曜数学会で発表した「剰余の奇妙な平面」では、虚数単位iに特定の整数を割り当てることによって、iに対応する法の下で加減乗除の法則がすべて成立する群を作ることができました。

今回は、加算は無視して、「少なくともi倍については閉じている」、言い換えれば「任意の元をi^4倍すれば元に戻る」という性質をもった群を定義して、その奇妙な挙動を発表します。

Transcript

1. 剰余の奇妙な平面 〜乗算だけは譲れない〜 第29回 日曜数学会 2024-02-25 岩淵夕希物智 @butchi_y
2. 「剰余の奇妙な平面」の発表 ちょうど10回前の日曜数学会の 続編、あるいは番外編
3. 「オメガ平面」と称した剰余類環 i ≡ 2n (mod 22n + 1) を考えると、 うまいこと四則演算ができる
4. i ≡ 3 (mod 10): 下1桁だけの平面 30 = 1 70 = 1 31 = 3 71 = 7 32 = 9 72 = 49 33 = 27 73 = 343 34 = 81 74 = 2401 1 → 3 → 9 → 7 → 1 → … のループに可能性を感じて深堀り
5. なんとしてでもi倍(乗算)で閉じさせる 30 = 1 70 = 1 31 = 3 71 = 7 32 = 9 72 = 49 33 = 27 73 = 343 34 = 81 74 = 2401 i を4回掛けると 1 に戻る これを複数桁に拡張
6. 4乗したら(下2桁が)01になる数候補 34 = 81 134 = …61 234 = …41 334 = …21 434 = …01 534 = …81 634 = …61 734 = …41 834 = …21 934 = …01 4乗して(下2桁が)1になる(2桁の)数を 43 と 93 の2つに絞り込めた！
7. 430 = 01 70 = 01 431 = 43 71 = 07 432 = 1849 72 = 49 433 = 79507 73 = 343 434 = 3418801 74 = 2401 2乗の下2桁に注目 i ≡ 43 (mod 100): 下2桁だけの平面 01 43 49 07
8. i ≡ 93 (mod 100): 下2桁だけの平面 930 = 01 570 = 01 931 = 93 571 = 57 932 = 8649 572 = 3249 933 = 804357 573 = 185193 934 = 74805201 574 = 10556001 やっぱり2乗の下2桁は49 01 93 49 57
9. -1: 2乗すると(下位桁が)1になる数 …0001 × …0001 = …0001 (わかる) …9999 × …9999 = …0001 (まあわかる) …1249 × …1249 = …0001 (！？？？) → これを-1として扱う …8751 × …8751 = …0001 (！？？？) 自明な解2つと、非自明な解2つ
10. -1として...1249を採用 …8213239954784512519836425781249 ⇒ 10-進数 (10-adic) のp進整数としての -1 自己同形数もすごく関係
11. i: 2乗すると...1249になる数 …0807 × …0807 = …1249 …2057 × …2057 = …1249 …2943 × …2943 = …1249 …4193 × …4193 = …1249 …5807 × …5807 = …1249 …7057 × …7057 = …1249 …7943 × …7943 = …1249 …9193 × …9193 = …1249 末尾に法則性が！iにどれかを割り当てれば解決！？
12. 完璧な作戦っスねーーっ 不可能だという点に目をつぶれ ばよぉ〜〜
13. 素直には不可能だった i を …43 (mod 100) などと置いただけで は前述のような平面 にならない
14. i 倍だけ閉じさせること自体はできた 68 19 70 21 72 73 74 75 76 75 26 77 28 79 80 81 82 83 82 33 84 35 86 87 88 89 90 89 40 91 42 93 94 95 96 97 96 47 98 49 0 1 2 3 4 53 4 55 6 57 58 59 60 61 10 61 12 63 14 15 16 17 18 67 18 69 20 71 72 73 74 75 24 75 26 77 28 29 30 31 32 第1象限だけ 第1象限の in-1 倍 (mod 100)を第n象限に まあこれで「可能」と言ってしまってもいい かも （i 倍の乗算だけは譲らない場合）
15. 妥協: mod 10nをやめる (mod 50) 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25 26 27 28 29 30 31 32 33 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 41 42 43 44 45 46 47 46 47 48 49 0 1 2 3 4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17 18 19 20 21 22 23 24 25 24 25 26 27 28 29 30 31 32
16. 妥協: mod 10nをやめる (mod 1250) 518 519 520 521 522 523 524 525 526 75 76 77 78 79 80 81 82 83 882 883 884 885 886 887 888 889 890 439 440 441 442 443 444 445 446 447 1246 1247 1248 1249 0 1 2 3 4 803 804 805 806 807 808 809 810 811 360 361 362 363 364 365 366 367 368 1167 1168 1169 1170 1171 1172 1173 1174 1175 724 725 726 727 728 729 730 731 732
17. 妥協: mod 10nをやめる (mod 250) 18 19 20 21 22 23 24 25 26 75 76 77 78 79 80 81 82 83 132 133 134 135 136 137 138 139 140 189 190 191 192 193 194 195 196 197 246 247 248 249 0 1 2 3 4 53 54 55 56 57 58 59 60 61 110 111 112 113 114 115 116 117 118 167 168 169 170 171 172 173 174 175 224 225 226 227 228 229 230 231 232
18. 乗算で閉じているオメガ平面 (1 + i) (1 - i) = 2 みたいな乗算も成立していてほしい 「下n桁」(mod 10n) といった縛りの中では素直には不可能だった mod 5n×10 ならうまくいく
19. 総括 合成数の剰余ならではの不整合が起きていた？ 「自己同形数」は今回の一番の収穫だったかも 10-進数もさらに研究する価値がありそう
20. グレートだぜ！ （ご清聴ありがとうございました）