About累積和

ぷろ
しゅみ
るいせいき
わ

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1. なつやすみは突然に
   ひとなつの
   競技プログラミング講座
   

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2. ぱちぱちー
   累積和
   

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3. 問題
   ●
   長さ100,000の数列があります
   ●
   いろいろな区間についてそこの合計を聞くので答えて
   – 100,000くらい聞く
   ●
   例: {1, 4, -1, 2, 5, 9, 10, -4, 5, 0}
   – 0〜7は？ → 26
   – 2〜4は？ → 6
   – 3〜9は？ → 27
   – …
   

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4. 愚直にやると？
   ●
   聞かれるたびにいちいち足して計算する
   – 最悪100,000 * 100,000で 10^10
   – 遅い
   

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5. そこまでの和をもつの
   ●
   累積和という概念をつかうとうまく行く
   – どこかからどこかまでの和のこと
   – 今回は一番左からそこまでの和
   ●
   要素A[i]以左の要素の総和をS[i]とする
   ●
   A[l] + A[l + 1] + A[l + 2]... A[r] = S[r] – S[l – 1]
   ●
   S[i]をすべて保存しておけば一回引き算するだけ
   – 計算は100,000回だけになる
   

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6. これこそが
   累積和
   

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7. 基本概念
   ●
   連続した範囲の総和を持つこと
   ●
   それを使うことで計算量を減らす
   ●
   どう使うかはあなたが考える
   

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8. たったの
   これだけ
   

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9. 演習問題
   ●
   AOJ0549
   ●
   一直線上に宿屋がたくさんならんでいる
   ●
   旅人がその宿屋をある順番でめぐる
   ●
   そのときの総移動距離を求めよ
   ●
   簡単なので考えてみて
   

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10. Thinking Time
    ●
    3分で答えを考えてください
    ● コードは実装しなくていいです
    

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11. 例題
    ● 最初は全部０の数列があります
    – サイズは10,000くらい
    ● 連続した範囲に1足す操作をたくさんします
    – 10,000回くらい
    ● 操作を全部し終わった後の数列の状態を教えて
    

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12. わかりやすい図
    

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13. ためされる頭脳
    どうやってとくのか
    

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14. 逆転の発想
    ●
    さっきまでは、状態の累積和をとっていた
    ●
    今度はなにかの累積和が状態になるように考える
    ●
    元の状態を変えると累積和がどう変わるか考えてみる
    

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15. +1してみる
    ●
    累積和する前のもの
    ●
    累積和をとった後
    

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16. 考察
    ● 累積和前の数列に1を足すとそれ以降全てが一様にたさ
    れる
    ● 連続した範囲に一様に値を足すことの代わりになる
    – だけど余計なところまでたされてしまう
    ● 余計なところは-1して帳尻をあわせる
    

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17. -1でちょうじりあわせ
    ●
    累積和する前のもの
    ●
    累積和をとった後
    

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18. これが港でゆうめいな
    いもす法
    

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19. 演習問題
    ●
    AOJ0231
    ● 重量制限がある崩れそうなヤバイ橋(ヤ橋)がある
    ● その橋を何人かが渡ります
    – それぞれの渡り始め、渡り終わりの時刻
    – それぞれの体重
    – が与えられる
    ● 崩れるか崩れないか判断してください
    ● 崩れるならいつ崩れるか教えてください
    

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20. Thinking Time
    ●
    5分で答えを考えてください
    ● コードは実装しなくていいです
    – ちょっとむずいです
    ● わかった人は前に出て発表
    – 先着1名
    

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21. 次元をこえて
    2次元への応用
    

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22. 考え方はいっしょ
    ● 累積和のつよみ
    – 1次元配列よりも2次元配列で本領を発揮する
    ● 考え方は変わらないのでとりあえず例題
    

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23. 応用問題
    ●
    AOJ0560
    ●
    Jangle, Ocean, Iceの3種類の地形からなる地図が与えら
    れる
    – 2次元　1000 * 1000のマス目状
    ● ある長方形の範囲の中のJ,O,Iの数を教えてください
    – ということを100,000回します
    ● うまく処理して
    

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24. 参考までに愚直解
    ● 聞かれるたびにいちいち答えるとクソおそいです
    – 1,000 * 1,000 * 100,000 = 10^11
    – 数分かかる
    ● 今回の問題はO(10^6)でとけます
    – がんばって考えよう
    

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25. Thinking Time
    ●
    5分で答えを考えてください
    ● コードは実装してもいいです
    – 時間かかるのでせんでもいいです
    ● わかった人は前に出て発表
    – 先着1名
    

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26. 答え
    ●
    (0,0)を頂点にする全ての長方形の結果を持っておく
    – 1,000 * 1,000個 → O(10^6)
    – A[i][j]を長方形(0,0) (i, j)の結果とする
    ● 長方形(a,b) (c,d)の結果は
    – A[c, d] - A[a, d] – A[c, b] + A[a, b]
    – 一回の計算で出せる
    – O(100,000)
    

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27. ちなみに
    日本情報オリンピック
    2010
    本選第一問
    

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28. 宣伝
    ● 夏休みおわった直後くらいに申し込み始まります
    ● 応募してちょ
    – 無料
    – 参加は家から可能
    – 予選を通れば東京にタダでいける
    – 代表に選ばれれば台湾にタダでいける
    – 来年はカザフスタン
    

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29. その他応用問題たち
    ●
    AOJ0509
    – Sheets
    – メモリの工夫が必要
    ●
    AOJ0574
    – Nails
    – DPでもとけます
    ●
    AOJ0580
    – Fish
    – 座標圧縮が必要
    

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