About累積和

ぷろ
しゅみ
るいせいき
わ

1. なつやすみは突然に ひとなつの 競技プログラミング講座
2. ぱちぱちー 累積和
3. 問題 • 長さ100,000の数列があります • いろいろな区間についてそこの合計を聞くので答えて – 100,000くらい聞く • 例: {1, 4, -1, 2, 5, 9, 10, -4, 5, 0} – 0〜7は？ → 26 – 2〜4は？ → 6 – 3〜9は？ → 27 – …
4. 愚直にやると？ • 聞かれるたびにいちいち足して計算する – 最悪100,000 * 100,000で 10^10 – 遅い
5. そこまでの和をもつの • 累積和という概念をつかうとうまく行く – どこかからどこかまでの和のこと – 今回は一番左からそこまでの和 • 要素A[i]以左の要素の総和をS[i]とする • A[l] + A[l + 1] + A[l + 2]... A[r] = S[r] – S[l – 1] • S[i]をすべて保存しておけば一回引き算するだけ – 計算は100,000回だけになる
6. これこそが 累積和
7. 基本概念 • 連続した範囲の総和を持つこと • それを使うことで計算量を減らす • どう使うかはあなたが考える
8. たったの これだけ
9. 演習問題 • AOJ0549 • 一直線上に宿屋がたくさんならんでいる • 旅人がその宿屋をある順番でめぐる • そのときの総移動距離を求めよ • 簡単なので考えてみて
10. Thinking Time • 3分で答えを考えてください • コードは実装しなくていいです
11. 例題 • 最初は全部０の数列があります – サイズは10,000くらい • 連続した範囲に1足す操作をたくさんします – 10,000回くらい • 操作を全部し終わった後の数列の状態を教えて
12. わかりやすい図
13. ためされる頭脳 どうやってとくのか
14. 逆転の発想 • さっきまでは、状態の累積和をとっていた • 今度はなにかの累積和が状態になるように考える • 元の状態を変えると累積和がどう変わるか考えてみる
15. +1してみる • 累積和する前のもの • 累積和をとった後
16. 考察 • 累積和前の数列に1を足すとそれ以降全てが一様にたさ れる • 連続した範囲に一様に値を足すことの代わりになる – だけど余計なところまでたされてしまう • 余計なところは-1して帳尻をあわせる
17. -1でちょうじりあわせ • 累積和する前のもの • 累積和をとった後
18. これが港でゆうめいな いもす法
19. 演習問題 • AOJ0231 • 重量制限がある崩れそうなヤバイ橋(ヤ橋)がある • その橋を何人かが渡ります – それぞれの渡り始め、渡り終わりの時刻 – それぞれの体重 – が与えられる • 崩れるか崩れないか判断してください • 崩れるならいつ崩れるか教えてください
20. Thinking Time • 5分で答えを考えてください • コードは実装しなくていいです – ちょっとむずいです • わかった人は前に出て発表 – 先着1名
21. 次元をこえて 2次元への応用
22. 考え方はいっしょ • 累積和のつよみ – 1次元配列よりも2次元配列で本領を発揮する • 考え方は変わらないのでとりあえず例題
23. 応用問題 • AOJ0560 • Jangle, Ocean, Iceの3種類の地形からなる地図が与えら れる – 2次元　1000 * 1000のマス目状 • ある長方形の範囲の中のJ,O,Iの数を教えてください – ということを100,000回します • うまく処理して
24. 参考までに愚直解 • 聞かれるたびにいちいち答えるとクソおそいです – 1,000 * 1,000 * 100,000 = 10^11 – 数分かかる • 今回の問題はO(10^6)でとけます – がんばって考えよう
25. Thinking Time • 5分で答えを考えてください • コードは実装してもいいです – 時間かかるのでせんでもいいです • わかった人は前に出て発表 – 先着1名
26. 答え • (0,0)を頂点にする全ての長方形の結果を持っておく – 1,000 * 1,000個 → O(10^6) – A[i][j]を長方形(0,0) (i, j)の結果とする • 長方形(a,b) (c,d)の結果は – A[c, d] - A[a, d] – A[c, b] + A[a, b] – 一回の計算で出せる – O(100,000)
27. ちなみに 日本情報オリンピック 2010 本選第一問
28. 宣伝 • 夏休みおわった直後くらいに申し込み始まります • 応募してちょ – 無料 – 参加は家から可能 – 予選を通れば東京にタダでいける – 代表に選ばれれば台湾にタダでいける – 来年はカザフスタン
29. その他応用問題たち • AOJ0509 – Sheets – メモリの工夫が必要 • AOJ0574 – Nails – DPでもとけます • AOJ0580 – Fish – 座標圧縮が必要