Graph is Fun

ぐらふつよい
JOIss2013グラフ理論班かつっぱ氏発表
辺彩色

Transcript

1. グラフ理論-catupper 辺彩色
2. 問題です • プロジェクトがN個、生徒がM人います • 各生徒はいくつかのプロジェクトに参加し ています • プロジェクトは、それに参加している生徒 全員の課題が終われば完了します – 進捗はダメダメです
3. 問題です • プロジェクトがN個、生徒がM人います • 各生徒はいくつかのプロジェクトに参加し ています • プロジェクトは、それに参加している生徒 全員の課題が終われば完了します – 進捗はダメダメです
4. 問題です • 生徒たちはアイドルに励まされるとやる気を出して、一 つだけ課題を終了できます。 – 課題は励ましたアイドルがプロジェクトに提出します • 飽きぽいので二度目はやる気が出ません • プロジェクトリーダーも飽きっぽいので同じアイドルか ら1個しか課題を受け取りません。 • アイドルは何人必要でしょうか。
5. 迫真 とけましたか？
6. 本題 辺彩色
7. 本題
8. 辺彩色とは • 与えられたグラフの辺に色を付ける • ただし、隣接する辺は同じ色で塗ってはいけない – 隣接する:=頂点を共有する • 使う色種を小さくしたい • 右の例は5-辺彩色 • 実は4色でも可能
9. 強力な定理 • Vizingの定理 – 任意のグラフの辺彩色数は グラフの最大次数Dに一致するか、 D+1に一致する • つよい！
10. ちなみに • 頂点彩色は上界として最大次数が与えられるが、下界は どんなときでも2だったりする – 二部グラフは好きなだけ次数をあげることができる • それにくらべれば値が二通りに絞れる辺彩色の定理は強 い – さいきょう
11. 例 D = 4　　4-辺彩色
12. さらにおもしろい定理 • Konigの定理 – 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大 次数と一致する 　 　 　 　
13. さらにおもしろい定理 • Konigの定理 – 任意の二部グラフの辺彩色数はその最大 次数と一致する • 一致する • 一致する • 一致する • 一致する
14. 帰納法で 証明しよう！
15. 証明 • グラフの辺の数が n 未満の時に定理が成立してると仮定 • 辺の数が n のグラフ G についてひとつの辺 e を選ぶ – 最大次数はDとする • G – eはD色で辺彩色可能 • とりあえずG - eをD色でぬりわける
16. This is G(二部グラフ) • 辺eは頂点XとYを結ぶ • 最大次数D = 3
17. 適当に塗ってみる
18. eのまわりに注目 • XもYもD-1色以下で彩色使われてない色がある • 共通の使われてない色があ ったら、eはその色 • 無いと仮定して証明を続ける • Xにない色を黄色 • Yにない色を青色 • とする
19. Xからてくてく歩く • Xには必ず青色があるので, Xからはじまる青黄青黄...と なる最長のパスを探す
20. Xからてくてく歩く • Xには必ず青色があるので, Xからはじまる青黄青黄...と なる最長のパスを探す
21. このパスは閉路でない • Xには黄色がつながっていないので閉路にはならない
22. このパスはYで終わらない • 二部グラフなのでYに入る辺は黄色でないといけない – Yに黄色はつながっていないので矛盾
23. パスの青と黄色を入れ替えても良い • パスが通る頂点に接続している青と黄色はこのパスに使 われている(再長性より). よって入れ替えても問題ない
24. いれかえるとうれしい！ • XとYのつながってない色が異なる
25. いれかえるとうれしい！ • XとYのつながってない色が等しい！
26. 青い線がひけるんだなぁ • 元のグラフ
27. 青い線がひけるんだなぁ • いれかえたあと
28. 完成！ • G-eがD辺彩色可能なら　Gも可能！
29. Q.E.D. • 辺の数がDのときとかは自明にD辺彩色可能なので • 帰納法による題意は示された！ • Q.E.D. !
30. ところで 冒頭の問題はどう解くのか？
31. 進捗はダメダメです • プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを 作る • 辺をアイドルとする • 問題は二部グラフにおける辺彩色となる • さっきの定理を証明済みとすると – 最大次数をもとめるだけ 　
32. 進捗はダメダメです • プロジェクトリーダーと生徒を頂点として二部グラフを 作る • 辺をアイドルとする • 問題は二部グラフにおける辺彩色となる • さっきの定理を証明済みとすると – 最大次数をもとめるだけ • ✌('ω' ) ✌ 三✌('ω')✌三( 'ω') ✌ ✌
33. わかりやすい例 プロジェクトリーダー 生徒ども
34. 辺がブラック....(察し 課題たち
35. 正義のアイドルたち
36. 正義のアイドルたち
37. ご清聴ありがとうございました
38. グラフ楽しい グラフ楽しい！！ ✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌