Physics with authority

1 Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” Iaşi Facultatea de Automatică şi
Calculatoare Disciplina ELECTROTEHNICĂ - anul I SEMINARUL NR. 1 I. GRUPAREA ELEMENTELOR PASIVE DE ACELAŞI FEL P1. Să se determine rezistenţa echivalentă a circuitului din figură faţă de bornele 1-1’ când bornele 2-2’ sunt : a) la gol; b) în scurtcircuit. Fig. 1.1 Rezolvare În ambele cazuri gruparea de rezistenţe este mixtă (reductibilă la o secvenţă de grupări serie şi paralel), şi anume: - în cazul a) grupul serie R2 -R4 este în paralel cu R1 , acest grup fiind în serie cu R3 ; se obţine deci:   4 2 1 4 2 1 3 ' 11 R R R R R R R R      (S1.1) - în cazul b), grupul paralel R2 , R3 este în serie cu R1 , iar acest grup este în paralel cu R4 , astfel încât rezistenţa echivalentă faţă de bornele de acces 11’ este: 3 2 3 2 1 4 3 2 3 2 1 4 ' 11 R R R R R R R R R R R R R               (S1.2) P2. Să se determine rezistenţa echivalentă a grupării din figură faţă de bornele A-B. Fig.1.2 1 2 3 4 (1) (2) (1 ) ’ (2 ) ’ R R R R R/2 R/2 R R R R R R R A B

2 Răspuns : R R AB 17 28  .
P3. Să se determine rezistenţa echivalentă faţă de bornele A-B. Fig.1.3 Rezolvare Gruparea este complexă (ireductibilă la o secvenţă de grupări serie şi paralel), încât trebuie aplicată teorema transfigurării. Este avantajos să se înlocuiască gruparea de 3 rezistenţe egale , R2 /3 având conexiunea în stea, cu o grupare echivalentă de 3 rezistenţe, egale cu R2 , conectate în triunghi. În urma transfigurarii gruparea devine mixtă, având rezistenţa faţă de bornele AB egală cu: 3 2 3 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB                 (S1.3) P4. Să se determine rezistenţa echivalentă a grupării din Fig.1.4.a faţă de bornele A-B. (a) (b) (c) Fig.1.4 Rezolvare Gruparea este complexă, fiind necesare două transfigurări succesive pentru a se ajunge la o grupare mixtă. Astfel, în Fig.4.b este repezentată gruparea obţinută în urma transfigurării triunghiului R1 -R2 -R3 din Fig.4.a, intr-o o stea echivalentă, R9 -R10 -R11 ; relaţiile de transfigurare sunt de forma: 3 2 1 2 1 9 R R R R R R    , etc. (S1.4) R1 R 3 R 3 R 3 2 2 2 R3 A B R R R R R R R R R R R 1 4 8 9 2 11 10 3 6 5 7 A B R R R R R R 7 8 10 11 6 5 A B R R + R12 R13 R14 4 9 R R R R8 7 12 R14 13 A B

3 A doua transformare constă în substituirea grupării centrale cu
conexiunea în stea , cu un triunghi echivalent, R12 -R13 -R14 , obţinându-se schema din Fig.4.c; relaţiile de transfigurare sunt de forma: 6 11 9 4 6 11 6 11 10 5 10 5 9 4 12 ) )( ( ) )( ( ) )( ( R R R R R R R R R R R R R R R           , etc. (S1.5) Rezistenţa echivalentă va fi (Fig.4.c): 13 8 13 8 7 12 7 12 14 13 8 13 8 7 12 7 12 14 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB                 (S1.6) P5. Să se determine capacitatea echivalentă a grupării din figură. Răspuns : 3 2 3 2 4 1 3 2 3 2 4 1 C C C C C C C C C C C C C AB               . Fig.1.5 II.ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE CU AJUTORUL TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF (TK I, TK II) ŞI A TEOREMEI LUI JOUBERT (TJ) P6. Să se determine curenţii în laturile circuitului din figură. Se cunosc: r1 =r2 =1Ω, R1 =3Ω, , R2 =1Ω, R3 =2Ω, e1 =16V, e2 =62V. Fig.1.6 Răspuns : i1 =-3A, i2 =17A, i3 =14A. P7. Să se determine curenţii în laturile circuitului din figură. Se cunosc: e1 =e3 =100V, e2 =50V, ig2 =5A, R1 = R2 = R3 = R5 =10Ω. 1 C C C C 2 3 4 A B 1 3 2 i i i e r r e 1 1 1 2 R R 1 2 2 2 [ ] B [ ] B R3

4 Fig.1.7 Rezolvare Analiza circuitului revine la soluţionarea unui sistem
algebric liniar de 3 ecuaţii, dintre care una se obţine prin aplicarea teoremei TK I, iar celelalte două prin aplicarea teoremei TK II combinate cu TJ:                 3 1 5 5 1 3 1 2 5 5 2 2 2 5 2 1 ) ( 0 e e i R i R R e i R i R i i i i g . (S1.7) Ȋnlocuind valorile numerice se obţine: i1 =8A, i2 =-9A, i5 =-4A. P8. Să se determine tensiunea de ieşire, Uieş , a circuitului din figură. R R R R R 1 1 2 2 2 R R 3 3 i ig i g u u ieş ieş (a) (b) Fig.1.8 Răspuns : 3 2 1 2 3 R R R i R R U g ies    .Indicaţie: generatorul real de curent se echivalează cu un generator real de tensiune (Fig.1.8.b). P9. Să se analizeze circuitul din figură. Parametrii circuitului sunt: e2 =10V, R2 =3Ω, e3 =5V, R3 =5Ω, R12 =2Ω. Fig.1.9 1 2 2 2 i i i e e 2 R R R 1 2 5 5 3 R3 u ig e1 R2 2 2 3 R3 3 i i i e e e R = i 12 2 1

5 Rezolvare Circuitul are ȋn structura sa un generator de
tensiune comandat ȋn curent. Sistemul algebric de ecuaţii obţinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ este de forma:                  2 12 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 0 i R e e e i R i R e e i R i i i (S1.8) Rezolvând, se obţine: i1 =15A, i2 =10A, i3 =-5A. P10. Să se determine curenţii ȋn laturile circuitului din figură. Fig.1.10 Rezolvare Circuitul are ȋn structură un generator de curent comandat ȋn tensiune. Sistemul algebric de ecuaţii obţinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ, şi având ca necunoscute variabilele i1 şi i3 , este de forma:              1 1 21 1 21 2 3 3 1 1 3 2 1 0 i R G u G i U i R i R i i i g g (S1.9) P11. Să se analizeze circuitul din Fig.1.11 utilizând teoremele lui Kirchhoff şi teorema lui Joubert. Se cunosc: R1 =40/3 Ω, R2 =2 Ω, R3 =40 Ω, ig1 =7,5 A, e3 =180 V. Fig.1.11 Rezolvare Dacă se echivalează generatorul real de curent cu unul real de tensiune, circuitul are l=3 laturi şi n=2 noduri. Teorema de curenţi se va scrie de n-1=1 ori, în nodul (1), iar teorema de tensiuni de l- n+1=2 ori pentru cele două bucle independente. Alegând sensurile de referinţă pentru curenţi şi sensul de parcurs al buclelor ca în figură rezultă: R R R i e (0) (1) i i i g u u u 1 3 2 1 R3 3 i i 1 U u u R1 2 i G u = 21 1 g P.10

6         
    3 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 2 1 0 e i R i R i R i R i R i i i g . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând sistemul se obţine i1 =6 A, i2 =10 A, i3 =4 A. Tensiunile de latură au expresiile: V 20 V 20 V 20 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1           e i R u i R u i R i R u g . Bilanţul puterilor este: 0 4 20 10 20 6 20 3 3 2 2 1 1           i u i u i u . Laturile 1 şi 3 furnizează putere laturii 2. P12. Să se analizeze circuitul din figură care funcţionează ȋn regim staţionar (generatoarele e1 şi ig11 dau semnale invariabile ȋn timp). (a) (b) Fig.1.12 Indicaţii Ţinând seama de expresia tensiunii pe bobină, dt di L u L L  şi a curentului ȋn condensator, dt du C i C C  , rezultă că ȋn regim staţionar uL =0 şi deci bobina este un scurtcircuit, şi iC =0 , ȋncât latura cu condensator nu este parcursă de curent. Astfel, ignorând laturile ȋn care curenţii sunt nuli, schema originală este echivalentă cu cea din Fig.1.12.b. Sistemul de ecuaţii având ca necunoscute curenţii i7 şi i6 este: 0 ) ( 0 7 7 6 8 6 11 7 6       i R i R R i i i g (S1.10) R1 ig11 (1) (5) (4) (0) (2) (3) 9 1 1 3 5 6 6 6 i i i i i i i i i 8 8 R R9 2 i C1 C2 C3 C4 e R5 R R7 7 10 4 L L10 R10 (1) (0) (2) (3) ig 6 9 i = i i = i 11 8 11 R6 R7 8 R R9 i7 g

7 SEMINARUL 2 ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI CURENŢILOR
DE BUCLĂ P1. Să se analizeze circuitul din Fig.2.1 cu ajutorul metodei curenţilor de buclă. Se cunosc: R1 =3 Ω, R2 =6 Ω, R3 =2 Ω, R4 =6 Ω, R5 =3 Ω, e1 =30 V, e2 =12 V, ig3 =5 A. Rezolvare Circuitul are l=5 laturi şi n=3 noduri. Alegând buclele independente în număr de l-n+1=3 şi sensurile curenţilor de buclă şi a celor din laturi ca în Fig.2.1, se pot scrie matricile:             0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 B] [ 5 3 ;                 5 4 3 2 1 5 5 R 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 R R] [ ;               0 0 0 ] [ 2 1 1 5 e e e ;                      0 0 0 0 6 1 5 g g i i . Matricea coeficienţilor şi cea a termenilor liberi au expresiile:                      5 2 2 2 4 3 2 4 4 4 1 T 3 3 b 0 0 [B] ] [ B] [ R R R R R R R R R R R R R ;                 2 2 3 3 1 g 1 3 b ] [ [R] B] [ ] [ B] [ e e i R e i e e g . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând sistemul (5.20) se obţine:                      2 1 4 3 2 1 1 3 b b b b i i i i . Curenţii de latură au valorile:                                                        2 3 1 1 4 ] [ B] [ ] [ b3 b2 b1 b2 b2 b3 b1 5 4 3 2 1 b T 1 5 i i i i i i i i i i i i i i . R R R R i i i i i i i i i e e g b b b 2 1 3 1 3 3 2 5 5 4 (1) (2) (0) R Fig. 2.1

8 Reţinând faptul că asocierea sensurilor de referinţă ale tensiunilor
şi curenţilor se face după regula de la receptoare, rezultă că tensiunile de latură vor fi:                                                       6 18 12 6 18 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5 5 4 4 g3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 g 5 4 3 2 1 1 5 i R i R i R i R e i R e i R e i R i R u u u u u u . Verificarea bilanţului de puteri conduce la identitatea: 0 12 54 12 6 72 ] [ ] [ ] [ ] [ T T         u i i u . P2. Să se analizeze circuitul din figură cu ajutorul metodei curenţilor de buclă. Se cunosc: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 =2Ω, e1 =4V, e2 =2V, e5 =4V, ig4 =1A. Fig.2.2 Răspuns :    T 1 ; 5 , 1 ; 5 , 0  b i (A). P3. Să se analizeze circuitul din figură cu ajutorul metodei curenţilor de buclă. Se cunosc: R1 =R2 =2R3 =4Ω, R4 =5Ω, R5 =R6 =1Ω, e3 =3e5 =9V, e4 =10V. Fig.2.3 Rezolvare Alegând curenţii de buclă ataşaţi buclelor independente ca ȋn Fig.2.3, sistemul de ecuaţii obţinut este: R R 1 4 ig4 1 1 2 3 1 4 6 1 2 3 2 6 6 i i i i i i i’ i i i 2 R e e R R5 5 5 4 4 u u u e b b b R3 1 3 3 1 2 2 3 5 5 5 4 4 4 i i i i i 6 i 2 1 3 i i i b b b e R R R R R e e

9       5 4 3
6 5 4 3 5 1 4 5 3 3 5 2 5 3 2 1 3 4 3 3 4 2 3 1 4 3 1 e e i R R R i R i R e e i R i R R R i R e e i R i R i R R R b b b b b b b b b                   . Înlocuind valorile numerice rezultă soluţia : ib1 =1,04A, ib2 =0,73A, ib3 =1,22A. P4. Circuitul din Fig.2.4, cu generator ideal de curent, are parametrii: R1 =R2 =2R3 =R4 /2=2Ω, R5 =1Ω, R6 =6Ω, ig =10A, e1 =20V, e6 =5V. Să se analizeze circuitul utilizând metoda curenţilor de buclă şi să se determine puterea furnizată de generatorul ideal de curent. Fig.2.4 Rezolvare Alegând buclele independente astfel ȋncât generatorul ideal de curent să fie incident unei singure bucle şi asociind fiecărei bucle curenţii ib1 , ib2 respectiv ib3 având sensurile din Fig.2.4, se poate scrie sistemul de ecuaţii:       6 3 6 5 4 3 2 4 3 1 5 4 1 3 4 3 2 4 3 2 1 1 4 1 ) ( ) ( A 10 e i R R R R i R R i R R e i R R i R R R R i R i i b b b b b b g b                  . Numeric se obţine ib2 =-0,18A, ib3 =-3,67A. Considerând regula de asociere de la receptoare pentru sensul tensiunii şi al curentului pe o latură, tensiunea la bornele generatorului ideal de curent se poate scrie: V 87 , 30 ) ( 3 2 3 3 6 6 3 3 6 6 6            b b b g i i R i R e i R i R e u . Puterea la bornele acestui generator este W 7 , 308    g g g i u P , fiind furnizată (cedată) deoarece Pg <0. P5. Circuitul din Fig.2.5, cu generator ideal de curent (ig2 ), are parametrii: R1 =5Ω, R3 =R4 =10Ω, R5 =5Ω, e1 =10V, ig2 =7A, e3 =20V, ig5 =4A. Să se analizeze circuitul utilizând metoda curenţilor de buclă şi să se determine puterea furnizată de generatorul ideal de curent. Răspuns:Alegând sensurile curenţilor de buclă ca ȋn figură, se obţine: ib1 =ig2 =7A, ib2 =-5A, ib3 =-1,5A. Considerând regula de asociere de la receptoare pentru sensul tensiunii şi al curentului pe o latură, tensiunea la bornele generatorului ideal de curent se poate scrie: V 70 ) ( 1 2 1 1 1 1 1         e i i R e i R u b b g , ȋncât puterea la bornele sale este W 490 7 70      g P (putere furnizată de generator). 4 R3 R ig 1 1 5 2 6 6 5 4 3 6 1 i i i i i 2 1 3 i i i b b b e e R R R R

10 Fig.2.5 P6. Să se analizeze circuitul din Fig.2.6.a cu
ajutorul metodei curenţilor de buclă. Se va utiliza graful topologic pentru stabilirea buclelor independente. (a) (b) Fig.2.6 Rezolvare În configuraţia dată circuitul are două generatoare ideale de curent, ig1 şi ig5 , ȋncât laturile 1 şi 5 trebuie sa fie corzi ȋn graful topologic, (Fig.2.6.b). Alegând sensurile curenţilor de buclă ca ȋn Fig.2.6.a şi echivalând generatorul real de curent R3 || ig3 cu unul real de tensiune, rezultă că se poate scrie sistemul de ecuaţii având ca necunoscută curentul ib2 : 5 3 6 3 3 3 6 2 6 4 3 2 1 2 1 1 ) ( g b g b b b g b i i e i R i R i R R R R i R i i           . P7. Circuitul din figură are parametrii: ig2 =2A, R2 =R3 =4Ω, e3 =8V, u=20V, R4 =2Ω, e5 =R25 i2 = =2i2 , R5 =10Ω, e6 =8V. Să se analizeze circuitul utilizând metoda curenţilor de buclă şi să se efectueze bilanţul de puteri. Fig.2.7 i i g g 1 4 5 5 5 5 3 1 5 1 i i i i’ i 2 1 3 i i i b b b e e R R R4 R3 3 2 u (1) (2) (3) (0) i i i g g g 3 2 4 6 1 6 6 i i i i 2 1 3 i i i b b b e R R R4 R R 3 2 5 1 3 (1) (2) (3) (0) 3 2 4 1 5 6 2 i R R 2 5 ig 3 4 5 2 3 3 i i i 1 2 2 i i b b e R R4 e e i ( ) 6 5 u

11 Răspuns: ib1 =i3 =3,8A, ib2 =i5 =1A. Bilanţul de
puteri 0     k k k k k i u p . P8. Să se analizeze circuitul din Fig.2.8.a cu ajutorul metodei curenţilor de buclă. Parametrii circuitului sunt: ig =2A, ig4 =0,1u3 , e2 =20V, e4 =8i1 , R1 =6Ω, R2 =6Ω, R3 =4Ω. (a) (b) Fig.2.8 Rezolvare Laturile cu generatoare ideale de curent sunt: ig , generator ideal independent de curent, şi ig4 (u3 ), generator ideal de curent comandat ȋn tensiune. Buclele independente se aleg astfel ȋncât aceste laturi să aparţină câte unei singure bucle (corzi ȋn graful topologic – Fig.2.8.b). Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei curenţilor de buclă, completat cu ecuaţiile caracteristice ale generatoarelor comandate, este: 3 3 3 3 3 3 4 3 1 1 1 4 3 2 4 1 1 4 2 3 3 2 1 2 2 1 2 1 2 3 4 1 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ) ( ) ( 8 8 ) ( A 5 , A 2 , A 2 ) ( ) ( ) ( ) ( b g b b b b g b b b b g b g b i R i R u u i i i i i e i i i i i e e i R R R i R i R R i i u i i                      . P9. În circuitul din Fig.2.9.a valorile elementelor sunt date ȋn SI (sistemul internaţional de unităţi de măsură). Să se simplifice circuitul aplicând regulile de grupare serie şi paralel pentru generatoare şi să se analizeze circuitul astfel obţinut cu ajutorul metodei curenţilor de buclă. (a) (b) Fig.2.9 Indicaţie: Schema simplificată obţinută ȋn urma aplicării regulilor de grupare a generatoarelor este reprezentată ȋn Fig.2.9.b. Alegând curenţii de buclă ca ȋn figură se obţine ib1 =3A, ib2 =4A, ib3 =2A. (0) 5 i R3 3 i (1) (2) (3) 1 e i ( ) 4 i u g g 1 2 3 1 2 i i i 1 2 i i b b b e R R2 g 3 i u ( ) 4 u3 (1) (2) (3) (0) 3 4 5 1 6 2 (1) (2) (3) (0) 2 2 2 8 1 1 2 2 1 1 1 1 2 4 (0) (1) (2) (3) 2 2 1 1 1 2 6 1 1 6

12 SEMINARUL 3 ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI TENSIUNILOR
NODALE P1. Să se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.1.a cu ajutorul metodei tensiunilor nodale (TTN). Parametrii circuitului sunt: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 =2Ω, e1 =e5 =4V, e2 =2V, ig4 =1A. (a) (b) Fig.3.1 Rezolvare Este indicat să se echivaleze generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de curent (Fig.3.1.b).Circuitul are 3 noduri independente, (1), (2), (3), ȋncât vor fi trei tensiuni nodale necunoscute. Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei tensiunilor nodale este: 1 1 30 4 3 1 20 3 10 1 5 5 2 2 30 3 20 5 3 2 10 2 2 2 1 1 30 1 20 2 10 6 2 1 ) ( 1 , ) ( ) ( e G i u G G G u G u G R G e G e G u G u G G G u G e G e G u G u G u G G G g k k                        Înlocuind şi rezolvând se obţine u10 =-1V, u20 =2V, u30 =1V. Utilizând regula de la receptoare pentru asocierea sensului tensiunii şi al curentului pe o latură (tensiunile şi curenţii au acelaşi sens) se obţine: u1 =u10 -u30 =-2V, u2 = u10 -u20 =-3V, u3 = u20 -u30 =1V, u4 = u30 =1V, u5 =-u20 =-2V, u6 = u10 =-1V. Curenţii ȋn laturi sunt: i1 =G1 e1 +G1 u1 =1A, ..., i6 =G6 u6 =-0.5A. Bilanţul de puteri trebuie să verifice egalitatea 0   k k k i u . P2. Să se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.2 cu ajutorul TTN. Valorile elementelor de circuit sunt date ȋn SI (sistemul internaţional de unităţi de măsură), rezistenţele ȋn ohmi. R R R 1 3 4 ig4 1 10 1 2 3 2 6 6 i i i i i i 2 R e e R R5 5 5 4 u e 20 30 u u (0) (1) (2) (3) ig 1 3 5 2 4 6 1 5 6 i i i i i i R R R R 4 R R 3 2 4 (1) (2) (3) (0) 2 2 e R 5 5 e R 1 1 e R

13 Fig.3.2 Rezolvare Circuitul are două noduri independente, (1) şi
(2), prin urmare necunoscutele vor fi tensiunile nodale u10 şi u20 . Sistemul de ecuaţii obţinut după echivalarea generatoarelor reale de tensiune cu generatoare reale de curent este: 2 6 2 12 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 12 4 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 20 10 20 10                                       u u u u . Se obţine u10 =-1,05V şi u20 =1,26V. Tensiunile la bornele laturilor sunt : u1 =u10 -u20 =-2,31V, u2 =u1 , u3 =-u10 , u4 =u5 =u20 . Curenţii ȋn laturi vor fi i1 =u1 /4, i2 =6+u2 /2, etc. P3. Să se analizeze circuitul din figură cu ajutorul metodei tensiunilor nodale. Fig.3.3 P4. Să se analizeze circuitul din Fig.3.4 cu ajutorul metodei tensiunilor nodale. Rezolvare Circuitul are ȋn componenţă un generator ideal de tensiune,e1 , şi un generator ideal de curent, ig6 . Alegând ca nod de referinţă unul din nodurile la care este conectat generatorul ideal de tensiune e1 şi numerotând nodurile ca în Fig.3.4 se poate scrie sistemul de ecuaţii obţinut prin utilizarea metodei tensiunilor nodale sub forma: R i i i i i i R R e1 2 2 2 1 5 5 3 3 4 4 (1) (2) (3) (0) R e ig6 6 Fig.3.4 (0) (1) (2) (3) (4) 10 40 u u 20 30 u u R R R R R R e e R R 3 i (0) 4 1 10 2 i i i i 5 4 u 20 u (1) (2) (3) 2 6 2 4 4 2 12

14         
       ' 3 30 33 20 32 10 31 ' 2 30 23 20 22 10 21 1 10 g g i u G u G u G i u G u G u G e u . Coeficienţii şi termenii liberi au expresiile: 3 3 21 / 1 R G G     ; 2 2 32 23 / 1 R G G G      ; 5 3 2 5 3 2 22 / 1 / 1 / 1 R R R G G G G       ; 4 4 31 / 1 R G G     ; 2 2 ' 2 e G ig   ; 6 2 2 ' 3 g g i e G i   . Tensiunile la bornele laturilor sunt: 30 6 20 5 30 10 4 10 20 3 20 30 2 1 10 1 ; ; ; ; ; u u u u u u u u u u u u u e u u               . Curenţii în laturi se exprimă fie cu ajutorul teoremei lui Joubert, fie, în cazul laturii cu generator ideal de tensiune, utilizând teorema I a lui Kirchhoff: 3 4 1 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 2 2 ; ; ; ; 6 i i i i i u G i u G i u G i e G u G i g         . P5. Să se analizeze circuitul cu generator ideal de tensiune din Fig.3.5 cu ajutorul TTN. Fig.3.5 Rezolvare Nodul de referinţă se alege nodul comun al celor două generatoare ideale de tensiune. Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea TTN este : e u u G u G u G e u       30 30 20 10 10 0 2 3 , având soluţia u20 =e. P6. Să se analizeze circuitul cu generatoare ideale de tensiune din figură. Indicaţie : Circuitul are 4 noduri independente. Nodul de referinţă se alege nodul comun al celor două generatoare ideale de tensiune astfel ȋncât u10 =e1 , u20 =e2 . Fig.3.6 (1) (2) (3) (0) 4 2 i i R 5 6 i i 1 3 i i e e R R R 1 3 4 2 5 7 8 4 6 3 i i i i i i i i 2 1 1 R ig 3 (0) (1) (2) (4) (3) 2R 5R 5R 3R u u u e e

15 P7. Circuitul din Fig.3.7 are parametrii : R1 =6Ω,
e1 =40V, R2 =8Ω, R3 =12Ω, R4 =6Ω, e5 =40V, R6 =10Ω, ig7 =G7 u2 =0,25u2 . Să se analizeze utilizând TTN. Fig.3.7 Rezolvare Circuitul are ȋn structură un generator ideal independent de tensiune şi unul de curent comandat ȋn tensiune. Alegând nodul de referinţă ca ȋn figură se obţine sistemul de ecuaţii având necunoscutele u20 şi u30 :       20 10 7 2 7 7 7 1 1 30 6 4 1 20 1 10 6 1 1 30 1 20 3 2 1 10 2 5 10 u u G u G i i e G u G G G u G u G e G u G u G G G u G e u g g                   . Soluţia este u20 =31,64V; u30 =1,19V. P8. Circuitul din figură are parametrii : e1 =e3 =4V, R1 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 =1Ω, G2 =1S, ig =G2 u3 , e=R7 i3 . Să se analizeze cu ajutorul TTN. Fig.3.8 Rezolvare Nu există restricţii cu privire la alegerea nodului independent. Numerotând nodurile ca ȋn figură şi echivalând generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de curent, se obţine sistemul       ) ( ) ( 3 3 10 3 7 3 3 3 3 7 3 7 10 2 3 2 30 4 5 20 5 6 1 1 30 5 20 6 5 1 10 1 3 3 1 1 20 1 10 3 1 e G u G R e G u G R i R e u G u G i i u G G u G e G e G u G u G G G u G e G e G i u G u G G g g g                          . 1 1 2 2 5 6 3 5 4 4 i i i i 6 i 2 1 R R R R e (0) (1) (2) (3) e R 7 i G u = 7 2 g u 4 R 6 5 3 3 i R R 5 4 i i 6 1 i i1 R u 3 (0) (1) (2) (3) R3 3 e=R i 7 i G u = 2 3 g e e1

16 Numeric rezultă u10 = u20 = u30 =0. Tensiunile
la bornele laturilor vor fi nule. Curenţii ȋn laturi sunt : i1 =G1 e1 +G1 u1 =4A, ig =0, i3 =G3 e3 +G3 u3 =4A, i4 =0, i5 =0, i6 =4A. Circulaţia de curent se produce numai pe laturile buclei exterioare a circuitului. SEMINARUL 4 CIRCUITE ELECTRICE FĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.) P1. Impedanţa din figură, de forma Z=R+jX, este alimentată cu tensiunea u(t) şi absoarbe curentul i(t). Să se determine parametrii impedanţă, Z, rezistenţă, R, reactanţă, X, admitanţă complexă, Y, conductanţă, G, susceptanţă, B, ȋn cazurile : a)     6 π π 100 cos 2 24 ) ( ; 3 π 2 π 100 sin 2 120 ) (     t t i t t u ; b)     4 π π 100 sin 2 12 ) ( ; 2 π 3 π 100 cos 120 ) (     t t i t t u ; c)     4 π π 100 cos 22 ) ( ; 2 π π 100 sin 2 220 ) (       t t i t t u . Fig.4.1 Rezolvare Conform regulii de reprezentare ȋn complex a semnalelor sinusoidale, valorile efective complexe ale semnalelor ȋn cele 3 cazuri sunt : a) 3 6 2 3 2 24 24 ; 120               j j e e I e U ; b) 4 2 2 3 2 12 ; 2 120 2 120 2 120                j j j e I e e U ; c) 4 3 4 2 2 2 2 22 2 22 ; 220 220                               j j j j e e I e e U . Astfel impedanţa complexă jX R I U Z    ȋn cele 3 cazuri va fi : a)          3 5 , 2 , 5 , 2 3 5 , 2 5 , 2 5 3 X R j e Z j ; b)            5 , 5 5 5 2 5 4 X R j e Z j ; c)          10 , 10 10 10 2 10 4 X R j e Z j . Admitanţa complexă, B j G Z U I Y     1 ȋn cele 3 cazuri va fi : a) ) 1 1 ( 3 1 , 0 , 1 , 0 3 1 , 0 1 , 0 2 , 0 1 3            S S B S G j e Y j ; b) S B S G j e Y j 1 , 0 , 1 , 0 1 , 0 1 , 0 2 5 1 4         ; c) S B S G j e Y j 05 , 0 , 05 , 0 05 , 0 05 , 0 2 10 1 4         . I U Z R+ X = j

17 P2. Circuitul din figură are parametrii :  
                4 1 , 4 , 7 , 3 4 , 3 4 , 3 3 3 2 1 1 3 2 1 C X X L X R R R C L L . Tensiunea de alimentare este   V) ( 2 100 sin 2 120 ) (     t t u . Să se determine impedanţa complexă echivalentă a circuitului faţă de bornele de acces, precum şi valorile efective complexe ale curenţilor ȋn laturi. Fig.4.2 Rezolvare Utilizând regulile de grupare a impedanţelor , valabile pentru circuite fără cuplaje magnetice, se obţine :    j jX R jX R jX R jX R jX R Z C L C L L 9 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 ' 11           . Curentul ȋn circuitul principal va fi :            3 1 10 9 3 3 120 ' 11 1 j j j Z U I , ȋncât valoarea sa instantanee reală este     ) A ( 6 100 sin 33 , 16 6 100 sin 3 1 1 2 10 ) ( 1          t t t i . Tensiunea U2 , exprimată cu ajutorul TK II ȋn complex scrisă pentru bucla din stânga a circuitului, este :   j I jX R U U L 40 3 40 1 1 1 2      , ȋncât ) A ( 10 2 2 2 2    L jX R U I , iar j I I I 3 10 2 1 3    . În valori instantanee   2 / 100 sin 16 , 8 ) ( , ) 100 sin( 10 ) ( 3 2       t t i t t i (A). P3. Să se analizeze circuitul din figură utilizând forma ȋn complex a teoremelor lui Kirchhoff (TK I, TK II) şi a teoremei lui Joubert (TJ). Parametrii circuitului sunt :     t t e t t e       cos 2 35 ) ( , 4 sin 60 ) ( 2 1 , Hz 50 F, ) (5 10 C H, ) 10 ( 1 , 5 , 5 , 2 , 20 4 3 2 1             f L R R R . Să se determine valorile instantanee reale ale curenţilor ȋn laturi. Fig.4.3 R R R L1 1 1 3 2 2 2 2 3 I L C I3 U U I R R R 1 1 1 3 2 2 2 I L C I3 I E E

18 Rezolvare Reactanţa bobinei este     
 10 2 L f L X L , iar reactanţa condensatorului este           5 10 5 10 100 1 1 6 4 C X C . Valorile efective complexe ale tensiunilor surselor sunt j e E j e E j j 35 35 , 30 30 2 60 2 2 4 1        . Sistemul de ecuaţii obţinut prin utilizarea TK I+II şi a TJ este : 2 3 3 2 2 1 3 3 1 1 3 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 E I jX R I jX R E I jX R I R I I I L C L            . Înlocuind valorile numerice şi soluţionând se obţine I1 =2, I2 =2j , I3 =2+2j . Valorile instantanee reale ale curenţilor ȋn laturi sunt :       4 100 sin 4 ) ( ; 2 100 sin 2 2 ) ( ; 100 sin 2 2 ) ( 3 2 1           t t i t t i t t i . P4. Circuitul din figură are parametrii :        5 , 10 , 10 4 2 3 1 L L C X X X R ,     A) ( 2 100 sin 2 20 ) ( , V) ( 100 sin 2 100 ) ( 2 1       t t i t t e g . Să se determine valorile efective complexe ale curenţilor şi tensiunilor, precum şi puterile aparente complexe la bornele laturilor (se va utiliza regula de la receptoare de asociere a sensurilor tensiunii şi curentului). Fig.4.4 Rezolvare Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : j I E g 20 , 100 2 1   . Circuitul are două noduri independente, (1) şi (2), şi 3 bucle independente, dintre care una cu generator ideal de curent (dacă acesta nu se echivalează cu un generator real de tensiune, ceea ce ar reduce şi numărul buclelor independente la două). Sistemul de ecuaţii obţinut prin utilizarea formei ȋn complex a TKI+TKII+TJ este : 0 0 0 4 4 2 2 3 3 1 3 3 1 1 2 4 2 4 3 1               I jX I jX I jX E I jX I R I I I I I I L L C C g . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând se obţine I1 =10j, I2 =10+20j, I3 =10+10j, I4 =10. Tensiunile şi puterile aparente complexe la bornele laturilor vor fi : R 1 1 1 2 4 2 I L C L I 3 I I E X X X 4 3 2 I g (1) (0) (2)

19 j I U S U U j I U
S j I jX U j I U S j I jX U j I U S j I jX U j j j I U S j I R E U g g g g L C L 2000 1000 500 50 2000 100 100 2500 50 100 1000 1000 ) 10 )( 1 ( 100 ; 100 100 * 2 2 2 2 * 4 4 4 4 4 4 * 3 3 3 3 3 3 * 2 2 2 2 2 2 * 1 1 1 1 1 1 1                                         Se observă că se verifică relaţia de bilanţ a puterilor aparente complexe ȋn r.p.s. : 0 5 4 3 2 1      S S S S S , ceea ce ȋnseamnă atât conservarea puterilor active , cât şi a celor reactive , 0 , 0     k k k k Q P . P5. Parametrii circuitului din figură sunt :                 10 1 1 1 5 4 4 3 3 3 1 2 2 R L C L R C C L R , ) 100 cos( 2 100 ) ( , ) 100 sin( 2 100 ) ( 5 1 t t e t t e     . Să se determine valorile efective complexe ale curenţilor şi tensiunilor pe laturi (se va considera regula de la receptoare). Fig.4.5 Răspuns : I1 =6+8j, I2 =4+2j, I3 =2+6j, I4 =2+16j, I5 =10j ; U1 =-20-60j, U2 =20+60j, U3 =20+60j, U4 =0, U5 =0. P6. In circuitul din figură se cunosc :               3 , 3 , 9 , 5 , 4 sin 3 ) ( 2 1 C L X R X R t t i . Să se determine indicaţiile aparatelor de măsură (puterea activă absorbită de circuit şi valorile efective ale celor două tensiuni). L2 R 5 5 5 2 I I4 I E (1) (0) (2) I1 1 1 3 3 3 C C R2 R L L4 C4 I3 E

20 Fig.4.6 Rezolvare Valoarea efectivă complexă a curentului este I=1,5+1,5j.
Valorile efective complexe ale celor două tensiuni sunt : j I X X j R R U I jX R U C L C 21 3 )) ( ( , ) V ( 9 ) ( 2 1 1 2 2          . Indicaţiile celor două voltmetre vor fi : V2 =9V, V1 =(32+212)1/2=21,21V. Puterea aparentă complexă jQ P j I U S      27 36 * 1 . Wattmetrul indică o putere activă absorbită de 36 W. P7. În circuitul din figură se cunosc       10 3 2 1 C L X X R R R , ) 2 100 sin( 2 100 ) ( , ) 100 sin( 2 100 ) ( 2 1       t t e t t e . Să se analizeze circuitul utilizând metoda curenţilor de buclă (ȋn complex). Fig.4.7 Răspuns j I j I I b b b 5 , 5 5 , 5 3 2 1      . SEMINARUL 5 CIRCUITE ELECTRICE CU CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.). REZONANŢA P1. În circuitul din figură se cunosc :            10 , 30 , 20 , 10 12 2 1 L X X X X R M C L L . Să se determine valoarea tensiunii sursei pentru care I3 =1A şi ȋn aceste condiţii să se determine puterea activă şi reactivă furnizată de sursă. Fig.5.1 R R 1 2 2 1 I U U U L C X X V2 V1 W * * (1) (1 ) ’ (1) (0) (2) R R R 3 1 2 L C X X 2 1 E E I I I b b b 1 2 3 R 1 1 2 2 2 I C I I 3 E X X X X L M L * *

21 Rezolvare Considerând faza iniţială a curentului I3 egală cu
zero, rezultă I3 =1. Cuplajul ȋntre bobine este diferenţial (I1 intră ȋn borna polarizată a bobinei 1, iar I3 iese din borna polarizată a bobinei 2). Sistemul de ecuaţii obţinut prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert (ȋn complex) este : 1 3 2 2 2 3 1 1 3 2 1 ) ( I jX I jX I R I R I jX I X X j E I I I M L M C L         . Înlocuind valorile numerice şi soluţionând se obţine : I1 =2+j, I2 =1+j. Prin urmare E=20(1-j). Puterea aparentă complexă la bornele sursei este jQ P j I U S      60 20 * 1 . Circuitul absoarbe o putere activă P=20W şi cedează o putere reactivă Q=-60Var. P2. În circuitul din figură se cunosc :                    5 , 7 , 5 , 2 , 5 , 10 , 5 , ) 100 cos( 2 100 ) ( , ) 100 sin( 2 100 ) ( 3 3 12 2 1 2 1 2 1 C X R L L L R R t t e t t e . Să se analizeze utilizând forma ȋn complex a TK I+TK II+ TJ. Fig.5.2 Răspuns : Cuplaj magnetic aditiv. I1 =5-5j, I2 =5+15j, I3 =10+10j. P3. În circuitul din figură se cunosc : ) sin( 2 20 ) ( t t e   , , 3 1 , 1 1 1      C R , 5 2   L             2 , 7 1 , 1 , 3 1 23 3 3 2 L C L C . Să se analizeze şi să se determine impedanţa complexă echivalentă la bornele sursei, Z11’ . Fig.5.3 Rezolvare Cuplajul magnetic este aditiv (atât I2 , cât şi I3 ies din bornele polarizate ale celor două bobine). E=20 şi sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea formei ȋn complex a TK I+TK II+ TJ este : 1 R 1 1 2 2 2 1 2 3 3 3 I I I E E L L * * C R R L12 R 1 1 23 2 3 2 I L C C I3 I E C1 L2 L3 * *

22 3 2 1 2 23 3 3 3 3
23 2 2 2 3 23 2 2 2 1 1 1 I I I I L j I C j L j I L j I C j L j I L j I C j L j I C j R E                                                       . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând se obţine I1 =I2 =10+10j, I3 =0. Impedanţa complexă la bornele sursei va fi : j I E Z    1 1 ' 11 . P4. În circuitul din figură se cunosc   2 sin 2 200 ) ( , ) sin( 2 20 ) ( 3 1       t t e t t i g , R2 =20Ω, R3 =30Ω, ωL2 =20Ω, ωL3 =60Ω, ωL23 =10Ω,1/(ωC3 )=10Ω. Să se determine valorile instantanee ale curenţilor ȋn laturi. Fig.5.4 Rezolvare Cuplajul magnetic este diferenţial (I2 iese din borna polarizată, iar I3 intră ȋn borna polarizată). Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : Ig1 =20, E3 =200e-j·π/2=-200j. Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea TK I+TK II +TJ este : 3 2 23 3 3 3 3 3 23 2 2 2 3 2 1 1 ) ( 0 E I L j I C L j R I L j I L j R I I I g                                 . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând se obţine I2 =12, I3 =-8. Valorile instantanee reale ale curenţilor sunt : ). sin( 2 8 ) ( , ) sin( 2 12 ) ( 3 2       t t i t t i P5. Circuitul neconex din figură modelează un transformator. Parametrii săi sunt : ) sin( 2 210 ) ( 1 t t e   , R1 =100Ω, R2 =75Ω, L1 =0,2H, L2 =0,15H, L12 =0,1H, C1 =10μF, ω=500s-1. Se cere să se determine tensiunea de mers ȋn gol a transformatorului, uAB0 (t), şi curentul ȋn secundar când bornele A, B sunt puse ȋn scurtcircuit (curentul de scurtcircuit), iABsc (t). Fig.5.5 R3 2 3 E R 23 2 3 L C I3 I 1 L2 L3 * * Ig R R 1 2 1 2 1 E L L L 2 12 1 * * I I A B C1 U AB

23 Rezolvare Considerând cazul cuplajului magnetic diferenţial (sensurile curenţilor ca
ȋn figură) se pot scrie ecuaţiile de tensiuni pentru cele două bucle ale circuitului :   1 12 2 2 2 2 12 1 1 1 1 1 1 I L j I L j R U I L j I C L j R E AB                              . Dacă secundarul este ȋn gol I2 =0 şi, deoarece E1 =210, se obţine I1 =1,05(1+j), UAB0 =52,5(-1+j). Dacă secundarul este ȋn scurtcircuit UAB =0, şi sistemul de mai sus are soluţia I1 =0,9(1+j), I2 =0,6j. Cosiderând cazul cuplajului magnetic aditiv (I2 cu sens opus faţă de cel din figură) sistemul se scrie :   1 12 2 2 2 2 12 1 1 1 1 1 1 I L j I L j R U I L j I C L j R E AB                             . În acst caz la mersul ȋn gol se obţin aceleaşi valori pentru tensiunea UAB0 şi pentru curentul I1 , iar la scurtcircuit, rezolvând sistemul de mai sus pentru UAB =0, se obţin curenţii I1 =0,9(1+j), I2 =-0,6j. Se constată că , de fapt, curenţii sunt aceeaşi (I2 are semn schimbat, dar şi sensul său este opus faţă de primul caz). P6. Circuitul neconex cu cuplaj magnetic din figură are parametrii : R1 =ωL1 =ωL12 =ωL2 =R2 =ωL3 =1/(ωC3 )=22Ω, ) 100 cos( 2 220 ) ( 1 t t u   . Să se determine curenţii ȋn primar şi ȋn secundar, impedanţa complexă la bornele 11’ precum şi puterea activă şi reactivă absorbită de circuit. Fig.5.6 Rezolvare Cuplajul magnetic este aditiv, iar U1 =220ejπ/2=220j. Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea teoremei TK II pentru cele două bucle ale circuitului este : 1 12 2 3 3 2 2 2 12 1 1 1 1 1 0 ) ( I L j I C L L j R I L j I L j R U                               . Înlocuind valorile numerice şi rezolvând se obţine I1 =2+6j, I2 =2-4j. Impedanţa complexă la borne este Z11’ =U1 /I1 =11(3+j), iar puterea aparentă complexă este jQ P j I U S      ) 3 ( 440 * 1 1 , ȋncât puterea activă este P=1320W şi cea reactivă este Q=440Var. P7. Să se determine parametrii R, L, respectiv C pentru care se obţine rezonanţa la bornele circuitului din figură. R R 1 2 1 2 L L L 2 12 1 1 L3 * * I I C3 U

24 Fig.5.7 Rezolvare Circuitul fiind de tip paralel, fără cuplaje
magnetice, se poate exprima cu uşurinţă admitanţa complexă echivalentă la bornele de acces : e e e jB G C L R L j L R R L R L j R C j L j R C j Y                              2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . Impunând condiţia de rezonanţă , Be =0, se obţin valorile pentru C, R, respectiv L care produc rezonanţa. a) La variaţia capacităţii C: 2 2 2 L R L C    . b) La variaţia rezistenţei R : 2 2 L C L R    . În acst caz rezonanţa se poate obţine numai în condiţia C L    1 . c) La variaţia inductanţei L C R C L 2 2 2 2 2 , 1 2 4 1 1      . Rezonanţa se poate obţine numai dacă C R   2 1 , fiind două puncte de rezonaţă sau numai unul, în cazul egalităţii. Dacă C R   2 1 nu se poate obţine rezonanţa la variaţia inductanţei. P8. Să se determine pulsaţia de rezonanţă a circuitului din figură. Fig.5.8 Rezolvare Circuitul fiind de tip serie, fără cuplaje magnetice, este avantajos să se exprime impedanţa complexă echivalentă la bornele de acces. R C L (1) (1 ) ’ U 1 2 A B R R L C

25 e e e jX R R C CR L
R LR j R C R L R L R C j R C j R L j R L j R Z Z Z                                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 Impunând condiţia de rezonanţă, Xe =0, se obţine pusaţia de rezonanţă ) ( 2 1 2 2 2 1 CR L LC CR L R R r     . În cazul particular R1 =R2 se obţine LC r 1   , o expresie similară cu cea a pulsaţiei de rezonanţă în cazul circuitului RLC serie, respectiv RLC paralel. P9. Circuitul din figură are parametrii R1 =1kΩ, L1 =L2 =2mH, L12 =1mH, C3 =1/6 μF. Se cere pusaţia de rezonanţă a circuitului. Fig.5.9 Rezolvare Circuitul are un cuplaj magnetic (diferenţial), încât regulile de grupare a impedanţelor nu pot fi aplicate (ele au fost stabilite pentru impedanţe lipsite de cuplaje magnetice). Impedanţa echivalentă faţă de bornele 11’ se poate determina în urma efectuării analizei circuitului, cu ajutorul relaţiei 1 ' 11 I U Z  . Pentru acest circuit pot fi scrise trei ecuaţii obţinute prin aplicarea TK I+TK II +TJ, şi anume: 3 3 1 12 2 2 1 12 2 2 2 12 1 1 1 3 2 1 ) ( I C j I L j I L j I L j I L j I L j I L j R U I I I                  . Rezolvând sistemul în raport cu necunoscuta I1 se poate exprima impedanţa complexă echivalentă e e e jX R C L C L L L L L j R I U Z                    1 1 ) ( 3 2 2 3 12 2 12 2 12 1 1 1 . Impunând condiţia Xe =0 se obţine o ecuaţie în ω2, din care se poate exprima pulsaţia de rezonanţă: 4 2 12 2 1 3 12 2 1 10 10 2 ) ( 2        L L L C L L L r rad/s. Frecvenţa de rezonanţă este kHz 066 , 10 2     r r f . L2 R1 1 3 2 L12 * * I I I U C3 L1

26 SEMINARUL 6 CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU. ANALIZA
ÎN DOMENIUL TIMP P1. În circuitul din Fig.6.1.a la momentul t=0 se deschide întrerupătorul. Parametrii circuitului sunt: E1 =4V, E2 =30V, R1 =1Ω, R2 =2Ω, R3 =3Ω, L=2H. Se cere să se determine curentul prin bobină după comutare. (a) (b) (c) Fig.6.1 Rezolvare a) Stabilirea condiţiilor iniţiale , t<0 Circuitul se analizează în regimul permanent existent înainte de comutare pentru a stabili condiţiile iniţiale, în acest caz curentul iniţial prin bobină, iL (0). Deoarece sursele dau tensiuni constante (invariabile în timp), înainte de comutaţie regimul este staţionar, regim ȋn care derivatele semnalelor, d/dt, sunt egale cu zero. Astfel tensiunea pe bobină este 0 , 0 d d ) (    t t i L t u L L , iar bobina este un scurtcircuit. Schema echivalentă a circuitului pentru t<0 este reprezentată în Fig.6.1.b. Circuitul poate fi analizat cu oricare dintre metodele cunoscute pentru analiza în curent continuu (TK, metoda curenţilor de buclă, metoda tensiunilor nodale). Se obţine iL (0)=-2A. b) Analiza circuitului în regim tranzitoriu, t>0 Schema circuitului după comutare este reprezentată în Fig.6.1.c. Scriind teorema de tensiuni (TK II) şi ţinând seama de expresia tensiunii pe bobină, dt di L t u L L  ) ( , se obţine ecuaţia diferenţială de ordinul I: 1 3 1 d d ) ( ) ( E t i L t i R R L L    . Soluţia acesteia este de forma ) ( ) ( ) ( t i t i t i perm liber L L L   , fiind suma dintre componenta de regim liber şi cea de regim permanent. ) (t i liber L este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene 0 d d ) ( ) ( 3 1    t i L t i R R liber liber L L fiind de forma t s L e A t i liber    ) ( , unde s este rădăcina ecuaţiei caracteristice ataşată ecuaţiei diferenţiale, având expresia 0 3 1    sL R R ; rezultă 2 3 1      L R R s . Constanta A se va determina din condiţia iniţială. ) (t i perm L reprezintă valoarea care se va stabili în circuit pentru ) (t i L în noul regim permanent 1 E R L L 3 R1 i t>0 1 2 E E R L 3 R1 1 R2 2 t<0 i (0) i (0) i (0) 1 2 E E R L L 3 R1 R2 t=0 i

27 către care evoluează circuitul. În acest caz regimul permanent
va fi staţionar , bobina va reprezenta un scurtcircuit, iar 1 ) ( 3 1 1    R R E t i perm L . Astfel 1 ) ( ) ( ) ( 2 3 1 1 3 1             t t L R R L L L e A R R E e A t i t i t i perm liber . Impunând condiţia 2 ) 0 (   L i se obţine valoarea constantei A=-3. În final soluţia este t L e t i 2 3 1 ) (    având graficul din Fig.6.1.d -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t (s) i L (A) Fig.6.1.d P2. În circuitul din figură la momentul t=0 se închide întrerupătorul. Să se determine tensiunea la bornele condensatorului după comutare. Rezolvare Se presupune condensatorul iniţial descărcat, uC (0)=0.După comutare se pot scrie ecuaţiile provenite din aplicarea TK I +TK II la care se adaugă relaţia curent-tensiune pentru condensator: Fig.6.2 t u C i i R i R u i R i R E i i i C C C C C d d 0 1 1 1         . Substituind în mod adecvat pentru a obţine o ecuaţie în necunoscuta uC se obţine ecuaţia diferenţială t u RC u E C C d d 3 2   . R R 1 i i i E t=0 C u C C R

28 Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale, 0 3 2 
 RCs are soluţia RC s 3 2   . Soluţia generală este de forma ) ( ) ( ) ( t u t u t u perm liber C C C   . Componenta de regim liber este soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene , st C e A t u liber  ) ( , iar componenta de regim permanent reprezintă valoarea către care tinde uC în noul regim permanent care se stabileşte după terminarea regimului tranzitoriu. În acest caz , deoarece iC perm =0, iperm =i1perm =E/2R, iar uC perm =Ri1perm =E/2. Impunând condiţia de conservare a tensiunii pe condensator în momentul comutaţiei se obţine 2 / 0 2 / ) 0 ( E A E A u C       şi soluţia este             t RC C e E t u 3 2 1 2 ) ( . P3. În circuitul din Fig.6.3.a la momentul t=0 comutatorul trece de pe poziţia (1) pe poziţia (2). Parametrii circuitului sunt R1 =3Ω, R2 =1Ω, C=1F, E=4V. Se cere să se determine tensiunea la bornele condensatorului după comutare. (a) (b) (c) Fig.6.3 Indicaţii a) Determinarea condiţiilor iniţiale (analiza pentru t<0, comutatorul pe poziţia (1)- Fig.6.3.b) V 3 ) 0 ( 2 1 1      E R R R u C . b) Analiza pentru t>0 , comutatorul pe poziţia (2)– Fig.6.3.c t u C i i i i i R u i R u E C C C C C d d 2 1 2 2 1 1                   2 1 1 1 d d R R u t u C R E C C . Ecuaţia caracteristică 3 4 1 1 0 || 2 1 2 1 1 2 1            C R C R R R R s Cs R R R . V 1 ) ( ; ) ( 2 1 2      E R R R t u e A t u perm liber C t s C . 4 3 1 ) 0 ( ; 1 ) ( 3 4           A A u e A t u C t C t C e t u 3 4 4 1 ) (    . P4. În circuitul din Fig.6.4.a la momentul t=0 se închide întrerupătorul. Sursa de tensiune furnizează tensiunea E1 =constant. Să se determine uC (t) după comutare. 2 1 i i i C R 1 2 E C u C R t>0 2 1 i i i C R1 2 E C u (0) C R t<0 R1 2 E t=0 C uC R (2) (1)

29 (a) (b) (c) Fig.6.4 Indicaţii Schema înainte de comutare
este reprezentată în Fig.6.4.b. Regimul este staţionar. Rezultă 1 3 2 1 3 ) 0 ( E R R R R u C    . Schema pentru determinarea tensiunii uC (t) după comutare este reprezentată în Fig.6.4.c. Condensatorul se descarcă pe grupul de rezistenţe R2 în paralel cu R3 conform relaţiei: C R t C C e u t u || ) 0 ( ) (   . P5. În circuitul din Fig.6.5.a la momentul t=0 se închide întrerupătorul. Sursa de tensiune furnizează tensiunea E=25V; ceilalţi parametri au valorile R1 =2,25kΩ, R2 =4kΩ, L=9mH, C=1/90 μF. Se cere tensiunea uC (t) după comutare. (a) (b) (c) Fig.6.5 Indicaţii Analiza pentru determinarea condiţiilor iniţiale se face pe schema din Fig.6.5.b în care bobina s-a înlocuit cu un scurtcircuit (regim staţionar). Se obţine iL (0)=0, uC (0)=E=25V. După comutare se analizează circuitul din Fig.6.5.c. Sistemul de ecuaţii: t u C i u t i L i R i R i R E i i i C L C L L d d d d 2 2 2 2 1 1 2 1        . Ecuaţia diferenţială având ca necunoscută pe uC (t) este 2 1 2 2 1 2 1 2 2 d d d d R R R E u u u C R R R R t u LC C C C C      . i i i 3 C 2 C uC R R 3 2 t>0 R1 1 2 E t=0 C uC R R3 i i i 3 C 1 1 1 2 E C u (0) C R +R R3 t<0 R1 2 E C uC R L L 1 2 R1 E C u (0) C L t<0 R1 2 E t=0 C uC R L L

30 Circuitul este un circuit de ordinul II. Soluţia generală
) ( ) ( ) ( t u t u t u perm liber C C C   , în care t s t s C e A e A t u liber 2 1 2 1 ) (   , s1 şi s2 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice ataşate ecuaţiei diferenţiale 0 1 2 1 2 1 2     s C R R R R s LC . Numeric se obţine s1 =-80000+60000j, s2 =-80000-60000j. Soluţia de regim permanent se obţine analizând circuitul din Fig.6.5.c în regim staţionar, bobina fiind un scurtcircuit. Se obţine iL perm =0, V 16 2 1 2    E R R R u perm C . Curentul   t s t s L L C L e A s e A s C i i t u C i liber perm 2 1 2 2 1 1 d d      . Condiţiile de conservare se impun pentru iL (0) şi pentru uC (0). Se obţine sistemul algebric în necunoscutele A1 şi A2 0 9 2 2 1 1 2 1     A s A s A A având soluţia A1 =4,5-6j , A2 =4,5+6j . În final, înlocuind şi grupând termenii pentru a pune ȋn evidenţă funcţiile cu valori reale, sinus şi cosinus, se obţine soluţia     ) 60000 sin( 12 60000 cos 9 16 ) ( 80000 t t e t u t C      , având graficul reprezentat ȋn Fig.6.5.d. Regimul tranzitoriu este oscilant amortizat. Fig.6.5.d P6. În circuitul din figură la momentul t=0 se ȋnchide ȋntrerupătorul. Parametrii circuitului sunt: U=10V, L=1H, C=1μF, 2 250  R Ω. Se cere tensiunea la bornele condensatorului după comutare. Fig.6.6 Indicaţii Circuitul are condiţii iniţiale nule , uC (0)=0, iL (0)=0. Sistemul de ecuaţii: 0 1 2 3 x 10-4 15 20 25 t (s) u C (V) t=0 C u C R L L 2 U

31 t u C i i Ri u u t
i L U C L C C L d d d d 2 2      . Ecuaţia diferenţială ȋn necunoscuta uC : C C C u t u R L t u LC U    d d d d 2 2 . Ecuaţia caracteristică 0 1 1 2    LC s RC s , cu rădăcinile ) 1 2 ( 1000 2 , 1    s (reale, negative, regim tranzitoriu aperiodic). Soluţia de regim permanent uC perm =U=10V. Soluţia de regim liber t s t s liber C e A e A t u 2 1 2 1 ) (   . t s t s C e A e A U t u 2 1 2 1 ) (    , t u C R u t u C i i C C C L d d d d 2     . Constantele A1 şi A2 se determină din condiţiile iniţiale 0 ) ( ) 0 ( 0 ) 0 ( 2 2 1 1 2 1 2 1           A s A s C R A A R U i A A U u L C . Numeric se obţine ) 1 2 ( 5 , ) 1 2 ( 5 2 1      A A . Soluţia pentru uC (t) este     t t C e e t u 2 , 2414 2 , 414 1 2 5 1 2 5 10 ) (        .

32 SEMINARUL 7 CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU. ANALIZA
CU AJUTORUL TRANSFORMATEI LAPLACE P1. În circuitul din Fig.7.1.a la momentul t=0 se ȋnchide ȋntrerupătorul. Tensiunea de alimentare este U0 =constant. Se cere curentul prin bobină şi tensiunea pe condensator după comutare. R R R L 1 2 3 U t = 0 0 C uC L i (a) (b) (c) (d) Fig.7.1 Rezolvare a) Stabilirea condiţiilor iniţiale. Se analizează circuitul din Fig.7.1.b (ȋntrerupătorul deschis). Regimul este staţionar şi bobina a fost inlocuită cu un scurtcircuit. iC (0)=0, ȋncât 2 1 0 2 2 2 1 0 ) 0 ( ) 0 ( , ) 0 ( R R U R i R u R R U i L C L      . b) Schema circuitului după comutare, ȋn domeniul timp, este reprezentată ȋn Fig.7.1.c. Schema echivalentă operaţională asociată acesteia este reprezentată ȋn Fig.7.1.d. Se observă prezenţa surselor operaţionale de tensiune : Φ(0), corespunzătoare fluxului magnetic iniţial prin bobină (ȋn serie cu bobina, ȋn sensul curentului iL (0)), respectiv uC (0)/s, corespunzătoare tensiunii iniţiale pe condensator (ȋn serie cu condensatorul, având polaritatea tensiunii iniţiale pe condensator, uC (0)). Sistemul de ecuaţii obţinut prin utilizarea formei operaţionale a TK I + TK II +TJ este de forma: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 3 0 2 0 s I s I s I s I sC R s u s U s I sL R s U C L C C L                . R R R L 1 2 3 U0 C u (0) C i (0) L C i i 1 t < 0 R R sL 2 3 U s 0 u s (0) U s ( ) C C L C 1 sC I s ( ) I s ( ) (0) L i R R L 2 3 U0 C u C t > 0

33 Din prima ecuaţie se obţine   ) (
) ( 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 2 1 0 2 0 2 0 s Q s P L R s s R R L s L U sL R s sLi U sL R s U s I L L                    . Formula de inversiune a lui Heaviside permite exprimarea funcţiei original atunci când transformata sa Laplace este un raport de polinoame ȋn variabila s. Astfel, dacă ) ( ) ( ) ( s Q s P s F  , ȋn care cele două polinoame P(s) şi Q(s) sunt prime ȋntre ele, gradul{ P(s)}<gradul{ Q(s) } şi Q(s)=0 are rădăcini simple, sk , k=1,..,n, atunci funcţia original este de forma         n k t s k k k s Q s P s t f 1 ' 1 e ) ( ) ( ) ( ) ( F L . În cazul de faţă Q(s)=0 are rădăcinile s1 =0, s2 =-R2 /L, iar Q’(s)=2s+R2 /L . Înlocuind se obţine             t L R L e R R R R U t i 2 2 1 1 2 0 1 ) ( . Tensiunea la bornele condensatorului are expresia (Fig.7.1.d): s u s Q s P s u C R s Cs R u U s u sC R s u s U sC s u s I sC s U C C C C C C C C ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1 ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) ( 3 3 0 3 0                     Q(s)=0 are rădăcinile s1 =0, s2 =-1/(R3 C), iar Q’(s)=2s+1/(R3 C). Aplicând formula de inversiune a lui Heaviside se obţine                C R t C C C e u U u t u 3 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 0 . P2. În circuitul din Fig.7.2.a la momentul t=0 se deschide întrerupătorul. Să se determine curentul i1 (t) după comutare dacă tensiunea sursei este E0 =constant. Rezolvare Condiţiile iniţiale de funcţionare sunt: 0 ) 0 ( ; ) 0 ( 2 1 0 1     i R E i . Schema echivalentă operaţională după comutare este reprezentată în Fig.7.2.b. Utilizând teorema de tensiuni în formă operaţională se obţine transformata Laplace a curentului, I1 (s):

34 ) ( ) ( ) ( 1 ) (
) 0 ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 1 s Q s P L L R R s L L s s R L E L L s R R i L s E s I                             . Impunând Q(s)=0 se obţin rădăcinile s1 =0, 2 1 2 1 2 L L R R s     . Calculând derivata numitorului, 2 1 2 1 2 ) ( ' L L R R s s Q     , şi utilizând formula de inversiune a lui Heaviside se obţine curentul i1 (t):                          t L L R R t s L L R L R L R R R E s Q s P Q P s I t i 2 1 2 1 2 - 2 1 1 1 2 2 1 2 1 0 2 2 1 1 1 e ) ( 1 e ) ( ' ) ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( L În Fig.7.2.c este reprezentat semnalul i1 (t). P3. Ȋn circuitul din Fig.7.3.a la momentul t=0 se ȋnchide ȋntrerupătorul. Parametrii circuitului sunt R1 =1Ω, R2 =1Ω, L=1H, C=1F, E=6V. Se cere să se determine tensiunea pe condensator după comutare. Fig. 7.2 R R i t ( ) i L L 1 1 1 2 2 2 E t = 0 0 R R I s ( ) sL sL 1 1 1 1 1 2 2 E s 0 L i (0) E R + R E R 1 1 2 0 t i1 0 a b ) c) 2 1 0 R R E 

35 (a) (b) Fig.7.3 Rezolvare Circuitul are condiţii iniţiale nule.
Schema echivalentă operaţională după comutare este reprezentată ȋn Fig.7.3.b. Utilizând TK şi regulile de grupare a impedanţelor operaţionale, tensiunea UC (s) se poate exprima sub forma: sC R sC R sC R sC R sL R s E sC R sC R s I s U L C 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 2          . Înlocuind valorile numerice şi aducând la forma raport de polinoame se obţine:   ) ( ) ( 2 2 6 ) ( 2 s Q s P s s s s U C     . Ecuaţia Q(s)=0 are rădăcinile s1 =0, s2 =-1+j, s3 =-1-j, iar ) )( ( ) ( ) ( ) ( ' 3 2 3 2 s s s s s s s s s s s Q        . Aplicând formula de inversiune a lui Heaviside se obţine 3 4 sin 2 3 ) (             t e t u t C . P4. În circuitul din Fig.7.4.a la momentul t=0 ȋntrerupătorul trece de pe poziţia (1) pe poziţia (2). Tensiunea sursei este U0 =constant. Se cere să se determine tensiunea pe condensator după comutare. (a) (b) (c) (d) Fig.7.4 Indicaţii Schema pentru determinarea condiţiilor iniţiale este reprezentată ȋn Fig.7.4.b. Se obţine uC (0)=U0 , iL (0)=0. Schema după comutare este reprezentată ȋn Fig.7.4.c, iar schema echivalentă operaţională ataşată acesteia , ȋn Fig.7.4.d. Se pot exprima IL (s) şi UC (s): R L 1 2 C i i C C L i E t = 0 R2 u R sL 1 2 1 sC I s ( ) I s ( ) C C L I s ( ) E s R2 U s ( ) R L 1 C C U t = 0 R2 u (1) (2) 0 R1 C C U u (0) 0 t < 0 i L L C C R2 u t > 0 I s ( ) L sL C R2 U s ( ) t > 0 1 sC u s (0) C

36 sC sL R s u s I C L
1 ) 0 ( ) ( 2    ,                              LC s L R s LCs s u sC sL R s u sC s u s I sC s u s U C C C L C C 1 1 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) 0 ( ) ( 2 2 2 . Condensatorul se descarcă pe grupul serie R2 – L , procesul tranzitoriu putând fi aperiodic sau oscilant amortizat ȋn funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei 0 1 2 2    LC s L R s (reale sau complexe). P5. În circuitul din Fig.7.5.a la momentul t=0 se deschide ȋntrerupătorul. Curentul generatorului este Ig=constant. Se cere să se determine curenţii i1 (t), i2 (t) după comutare. (a) (b) (c) Fig.7.5 Rezolvare Schema pentru determinarea condiţiilor iniţiale este reprezentată ȋn Fig.7.5.b. În această schemă bobinele au fost ȋnlocuite cu scurtcircuite, iar generatorul real de curent cu unul real de tensiune. Se pot scrie ecuaţiile: 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( R R R R R RI i i R i R i i i g       . Rezultă 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( R R R R R RI R i R R R R R RI R i g g       . Schema echivalentă operaţională după comutare este reprezentată ȋn Fig.7.5.c. Se observă prezenţa surselor operaţionale de tensiune corespunzătoare condiţiilor iniţiale, Φ1 (0)=L1 i1 (0), Φ2 (0)=L2 i2 (0), ȋn serie cu cele două bobine. Se poate scrie sistemul de ecuaţii ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 i L s I sL R i L s I sL R s I s I s I g        . Se obţine R R R L L 2 2 1 1 t = 0 Ig 1 2 i (0) i (0) R R R 2 1 R Ig R R sL sL 2 2 2 2 1 1 1 1 I s g I s ( ) I s ( )  (0)  (0)

37 ) ( ) ( ) ( )) 0 (
) 0 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 s Q s P L L R R s L L s i L i L s I sL R s I s I s I s I g g                    . Ecuaţia Q(s)=0 are rădăcinile s1 =0, 2 1 2 1 2 L L R R s     , iar 2 1 2 1 2 ) ( ' L L R R s s Q     . Utilizând formula de inversiune a lui Heaviside se obţine ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 t i I t i e R R R R R RL R R L L L R R R R I R t i g t L L R R g                                 . P6. În circuitul din Fig.7.6.a la momentul t=0 se deschide ȋntrerupătorul. Parametrii circuitului sunt: E=500V, R1 =25Ω, R2 =100Ω, L=5mH, C=10μF. Se cere tensiunea uC (t) după comutare. (a) (b) (c) Fig.7.6 Indicaţii Schema pentru determinarea condiţiilor iniţiale este reprezentată ȋn Fig.7.6.b. uC (0)=E, iL (0)=E/R2 . Schema echivalentă operaţională după comutare este reprezentată ȋn Fig.7.6.c. Numeric se obţine   ) 4000 sin( 6 ) 4000 cos( 8 5 , 12 400 ) ( 3000 t t e t u t C     . P7. În circuitul din Fig.7.7.a la momentul t=0 se închide întrerupătorul. Sursa de tensiune este E=constant. Se cere să se determine curentul în secundar, i2 (t), după comutare. Fig. 11.25 i I s ( ) I s ( ) i (a) (b) * * * * R R R R R L L sL sL L L 1 1 1 1 1 1 12 12 2 2 1 2 2 2 2 2 t = 0  s   E E Fig.7.7 R R L 1 2 E t = 0 C uC R2 E C u (0) C C L i (0) i (0) R sL 2 E 1 sC u s (0) C C I s ( ) I s ( ) I s ( ) L C 2 (0) u s ( ) R1

38 Rezolvare Condiţiile iniţiale sunt R R E i 
  1 1 ) 0 ( , i2 (0-)=0, 1 1 2 12 1 1 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( R R E L i L i L         , ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 12 1 12 2 2 2          i L i L i L . Schema echivalentă operaţională este prezentată în Fig.7.7.b. Ecuaţiile de tensiuni în formă operaţională au expresiile:               ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 1 12 2 2 2 2 2 12 1 1 1 1 s I sL s I sL R s I sL s I sL R s E . Rezolvând sistemul în raport cu I2 (s) se obţine: ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )) 0 ( ) 0 ( ( ) ( 2 1 2 1 1 2 2 12 2 1 2 12 2 1 1 12 2 1 2 s Q s P R R L R L R s L L L s L E R L L s s I             . Notând cu s1 şi s2 rădăcinile polinomului Q(s), curentul i2 (t) va fi de forma: t s t s s Q s P s Q s P t i     2 1 e ) ( ' ) ( e ) ( ' ) ( ) ( 2 2 1 1 2 . Trebuie observat că rădăcinile s1 , s2 sunt reale şi negative pentru orice valori ale elementelor de circuit, fapt ce poate fi uşor verificat, regimul tranzitoriu fiind aperiodic cu 0 ) ( lim 2    t i t . În secundar apare un curent doar pe durata regimului tranzitoriu. Fig.7.7

Physics with authority

Physics with authority

Other Decks in Science

Featured

Transcript