三大作図問題を解決してみた

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August 03, 2020

 三大作図問題を解決してみた

UEC19LTのネタです
質問はTwitterのbokuroroまで

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August 03, 2020
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  1. 三⼤作図問題を解決してみた

  2. ざっと⾃⼰紹介 bokuroro Twitter 始めたのは1年の夏頃 あんまり活動してないので知らない⼈ もいるかも 好きなもの:とあるシリーズ ジョジョ 数学 競プロなど

    にわかオタク 所属: III類 MMA会計 競プロやってます Atcoder 緑!!!!
  3. 今回の⽬的 注意書き 有名な問題の三⼤作図問題を、解決する 難しい話も所々出るけど、 できるだけ分かりやすく説明していくよ!! 中の⼈がポンコツなのでスライドは簡素だよ

  4. そもそも作図とは ? コンパスと定規を⽤いて作図すること 以下の制限あり • 定規は2点を結んで直線を引く以外に使ってはいけない • コンパスは円を描く以外に使ってはいけない • 操作は有限回のみ

  5. 三⼤作図問題とは? • 与えられた⽴⽅体の体積の2倍の体積を持つ⽴⽅体を作図せよ。

  6. 三⼤作図問題とは? • 任意の⾓を三等分せよ。

  7. 三⼤作図問題とは? • 円と同じ⾯積の正⽅形を作図せよ。

  8. 三⼤作図問題とは? ギリシアの時代に考えられた問題である。 2000年以上も解決できなかった! 代数学の発展により、作図不可能であることが証明された その証明を追ってみる!

  9. そもそも作図可能とは? 正三⾓形は作図可能である。

  10. そもそも作図可能とは? 正三⾓形が作図可能である ⾓60°が作図可能である。 cos60°が作図可能である。 と⾔い換えることができる!

  11. そもそも作図可能とは? つまり、⾓や図形を作図することでなく、必要⼗分条件を使って⾔ い換えることで 線分を作図することを考える そうした⽅がこれからの議論に都合が良い!!

  12. そもそも作図可能とは? 与えられた⽴⽅体の2倍の体積を持つ⽴⽅体を作図する ó⽴⽅体の⼀辺を1としたら、2倍の体積を持つ⽴⽅体の体積は2 ⼀辺の⻑さ! 2 ó線分! 2を作図せよ

  13. そもそも作図可能とは? 任意の⾓を三等分することが不可能とは ある⾓について三等分不可能であることを証明すれば良い。 60°が与えられたとき20°は作図不可能 cos 60°が与えられたときcos 20°が作図不可能

  14. そもそも作図可能とは? 円と同じ⾯積の正⽅形を作図せよ ó半径1の円の⾯積はとなる 同じ⾯積の正⽅形を作図 ó⼀辺が の正⽅形 ó を作図する

  15. 作図可能数 定規とコンパスを使って作図できる、線分の⻑さのことを 作図可能数という! 作図可能数がどう⾔ったものか⾒ていく

  16. 作図できる数 まず、次のように考えれば有理数は作図可能である。 ! " の作図をしてみる。 1. まず線分1を⽤意する(前提条件) 2. 図のように線分3と線分4をとる

  17. 作図できる数 つまり、任意の有理数は作図可能である

  18. 作図できる数 (開平 ルートの作図) 右の図のように円をかく ⽅べきの定理より ) = 1 ) 3

    となるので = 3となる
  19. 作図できる数 同じようにすれば、 も作図することができる!!

  20. 作図できる数 つまり、有理数と平⽅根で構成できる数が作図可能数であることがわかる。 (本当はもっと厳密な議論が必要だが...) 3 5 2 1 + 2 3

    + 3 ! 2 7 + 1 ! 2 + " 5
  21. ガウスさん(休題) • リアルチート • リアルなろう • 数学界のビートたけし • ⾼速フーリエ変換(FFT)をコンピュータが普及するだいぶ前からなぜか使ってい た。

    (I,IIの⼈は勉強する?) • 正n⾓形の作図できる条件を発⾒
  22. 体の導⼊ 作図可能性を証明するため、体という概念を導⼊する (現数B勢は説明要らなそう) 体とは、加減乗除ができる数の集合のことである。

  23. 体の導⼊ 例えば、有理数の集合ℚは体である。 1 3 + 2 5 = 11 15

    のように(有理数)+(有理数)=(有理数)となるからである。 実数の集合ℝの集合も同じく体である。
  24. 体の導⼊ 作図可能数の話題につなげるため、有理数と 2を使って表される数について考え る。 4 + 2 2とか!" # $"

    # とかである。 このような数たちをℚ 2 と呼ぶ。 イメージとしては、有理数の集合に 2を加えて、表せる数をちょっと増やしたイ メージである。
  25. 体の導⼊ さっき紹介したℚ 2 は有理化したりすると、 + 2の形に必ず表すことができる!! (ただし、a,bは有理数) ここで拡⼤次数というのを考える

  26. 拡⼤次数 ℚ 2 は + 2の形に必ず表すことができる これは、とという⼆つの有理数が必要になる!! このとき、ℚからℚ 2 に拡張したときに、

    ⾃由度が2倍になったと考える
  27. 拡⼤次数 これを ℚ 2 : ℚ = 2 とか書いて、拡⼤次数と呼ぶ

  28. 拡⼤次数(続き) さらに考えを発展させる ℚ 2 に 3を添加することを考える これで作ることができる数は + 2 +

    3 + 6 となる。(, , , は有理数として)
  29. 拡⼤次数(続き) ℚ 2 : ℚ 2, 3 = 2 になった!

    つまり、 を添加していくと、2倍に増えていく...? 実際にこれは正しい
  30. 拡⼤次数(続き) つまり、 を添加していくことを繰り替えすと、 拡⼤次数は2倍2倍で増えていく これで拡張した体をとおくと ℚ: = 2% と書ける!

  31. 作図可能数 作図可能数とは、ルートと有理数で表現可能な数だった を添加していった結果作られる体とも考えられる つまり作図可能数の拡⼤次数は2%となる!!

  32. 作図不可能性の証明(1)(いよいよ) 2倍の体積を持つ⽴⽅体は作図不可能 ! 2は作図不可能であることを証明すれば良い

  33. 作図不可能性の証明(1) ℚ: ℚ ! 2 = 3 である!! なぜなら、! 2を使って作ることができる数は

    + ! 2 + ! 4 と書けるからである。(有理化できるから)
  34. 作図不可能性の証明(1) 作図可能だったら、拡⼤次数は2%でなくてはならなかった しかし、! 2を添加した体は、 3になってしまう どう頑張っても2% = 3にはなれない よって、作図不可能

  35. 作図不可能性の証明(2) ⼀般の⾓を三等分する⽅法は存在しない cos 60°に対してcos 20°が作図できない (⼀つだけ反例を⽰せば良い)

  36. 作図不可能性の証明(2) 三倍⾓の公式より cos 60 ° = 4 cos" 20° −

    3 cos 20° となる。cos 60° = # $ だったから = 2 cos 20° と置いて整理すると " − 3 − 1 = 0 と書ける
  37. 作図不可能性の証明(2) $ − 3 − 1 = 0 は三次⽅程式だから、三乗根が出てきそう! これは正しく、拡⼤次数は3になる

    よって、同じように、cos 20°も作図不可能である
  38. 作図不可能性の証明(3) 円と同じ⾯積の正⽅形を作図せよ を作図せよ

  39. 作図不可能性の証明(3) πは超越数らしい 例えば、 + + $ + " + %

    + ⋯ とかやっていけば無限に増やせる 拡⼤次数が∞と⾔える どう考えても作図不可能
  40. 終わりに ⻑くなってしまったけど 作図問題も体の概念を導⼊すれば、鮮やかに解くことができる! 体の性質を調べる数学理論をガロア理論という ちょうど、現代数学⼊⾨Bでやってる内容になってる ガロアさん

  41. 終わりに 作図可能数の問題は、かなり⾯⽩い内容なのに、 現数Bで取り扱わないみたいなのでLTのネタにしてみた この体の理論を群論とかと結びつけることで、作図不可能であることを調べたように 五次⽅程式の解の公式が存在しないことを証明できる

  42. 終わりに ⼀緒にガロア理論勉強してくれる⼈募集中 ⼀⼈だとモチベ続かなそう 拙い発表でしたが、ご清聴ありがとうございました!!