化学プロセスシステム工学 第９回

講義に入る前に　確認事項
前回までの復習
流体加熱プロセス
連続槽型反応器
タンクの液面高さ(液レベル)制御
少し複雑な流体加熱プロセス：問題設定
少し複雑な流体加熱プロセス まとめ
差分であらわす
流体加熱プロセスのシミュレーション
設定値変更してみよう
外乱を加えてみよう
PID制御の問題点は？
PID制御の問題点
微分先行型PID制御 (PI-D制御)
PID制御の問題点
比例微分先行型PID制御 (I-PD制御)
比較してみよう！
PID制御 これまでのまとめ
PID制御 これから
微分方程式を解くことのメリット
簡単にやりたい！
ラプラス(逆)変換は、ただの道具！
ラプラス変換
よく使うラプラス変換の特性
よく使うラプラス(逆)変換
１次遅れモデルを思い出す
１次遅れモデルをラプラス変換してみよう
１次遅れモデルのラプラス変換
ステップ応答
ついに、Y(s) = ・・・ へ
ラプラス逆変換
ラプラス逆変換のための式変形
ついに、ラプラス逆変換
１次遅れモデルのステップ応答を計算できた
まとめ
[練習] 流体加熱プロセス
[練習] 流体加熱プロセス
[練習] 流体加熱プロセス
[練習] ラプラス変換
[練習] ステップ応答
[練習] ラプラス逆変換のための式変形
[練習] ラプラス逆変換
[練習] 流体加熱プロセス
１次遅れモデルとの比較
伝達関数
[練習] １次遅れ＋むだ時間 モデルの伝達関数は？
[練習] ラプラス変換
[練習] ２次遅れモデルの伝達関数は？
[練習] ラプラス変換
[練習] PID制御の伝達関数は？
[練習] ラプラス変換

Transcript

1. 化学プロセスシステム工学 第９回 2017年11月30日 (木) 0 理工学部 応用化学科 データ化学工学研究室 専任講師 ⾦⼦ 弘昌
2. 講義に入る前に 確認事項 このスライドはOh-o! Meiji の授業お知らせでダウンロード可能 出席︓Oh-o! Meiji 応用化学科 専任講師 ⾦⼦ 弘昌 • データ化学工学研究室 • 部屋: 第二校舎D館D409 • E-mail: hkaneko@meiji.ac.jp • Tel: 044-934-7197 • Website: http://datachemeng.com/ • Twitter: @hirokaneko226 1
3. 前回までの復習 制御したい対象があったとき、どうする︖ 2
4. 流体加熱プロセス 3 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 i ︓input o︓output
5. 連続槽型反応器 連続槽型反応器 (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) • 反応︓⼀次反応の A → B とする • 流入する A の濃度 CAi で流出する A の濃度 CA (Bの濃度) を制御 4 CAi , F CA , F V, T, rA F [m3・min-1]︓入⼝・出⼝流量 CAi [kmol・m-3]︓入⼝のAの濃度 CA [kmol・m-3]︓CSTR内のAの濃度 V [m3]︓CSTR内の液体体積 T [K]︓CSTR内の液体温度 i ︓input o︓output rA [kmol・m-3 m2]︓Aの反応速度
6. タンクの液面高さ(液レベル)制御 5 A Fi Fo Fi [m3・s-1]︓入⼝流量 Fo [m3・s-1]︓出⼝流量 L [m2]︓タンクの液レベル A [m2]︓タンクの断面積 (5 とする) x [-]︓バルブの弁解度 i ︓input o︓output バルブの弁開度 x で液面高さ (液レベル) L を制御 L x
7. 少し複雑な流体加熱プロセス︓問題設定 6 Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２ 加熱量 Q で、タンク２の温度 T を制御
8. 少し複雑な流体加熱プロセス まとめ 7 ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + Q Tm , V1 , ρ, cP F, Ti F, Tm F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 Tm [K]︓タンク１内流体の温度 T [K]︓タンク２内流体の温度 V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 T, V2 , ρ, cP F, T タンク１ タンク２
9. 差分であらわす 8 時刻 t を明示的に示すと、 ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m T t T t t T t t T T t t Q Q t t − − ∆ ∆ → ∆ ∆ → − ∆ → − ∆ ( ) 2 m dT F T T dt V = − ( ) m i m 1 P dT F Q T T dt V V c ρ = − + ( ) ( ) ( ) T t T t t T t t T T t t − − ∆ ∆ → ∆ ∆ → − ∆
10. 差分であらわす 9 よって、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m i m 1 1 P T t T t t Q t t F T T t t t V V c ρ − − ∆ − ∆ = − − ∆ + ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 2 T t T t t F T t t T t t t V − − ∆ = − ∆ − − ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m i m 1 1 P Q t t F T t T t t T T t t t V V c ρ   − ∆ = − ∆ + − − ∆ + ∆     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 2 F T t T t t T t t T t t t V   = − ∆ + − ∆ − − ∆ ∆    
11. 流体加熱プロセスのシミュレーション F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 = 0.00005 Ti [K]︓入⼝流体の温度 = 20 [℃] V1 [m3]︓タンク１内流体の体積 = 0.01 V2 [m3]︓タンク２内流体の体積 = 0.015 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 = 1000 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 = 4200 Q [J・s-1] (加熱量) の最大値 = 3000 Δt = 0.1 ヒーターの熱が熱電対に伝わるまで 60 s かかるとする • 0 s でも試してみよう ヒーターを最大にして、5000 s シミュレーションしてみよう︕ 30℃を目標にして PID 制御してみよう 10
12. 設定値変更してみよう 2500 s・・・まで設定値 25℃ それ以降・・・設定値 30℃ 11
13. 外乱を加えてみよう 設定値︓ 25 ℃ 2500 s から F を 0.00003 に 12
14. PID制御の問題点は︖ PID制御の問題点は何か考えてみよう︕ 13
15. PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) 14
16. 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) PID制御の微分項について、e(t) ではなく制御変数 y(t) を微分する 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K e t e r dr T u T dt   = + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数
17. PID制御の問題点 出⼒変数が細かく上下に振動したときに、微分項が不安定になる • 微分時間を小さくする • PI制御にする 設定値を変更したときに、誤差 e(t) が急激に変化するため • 微分項が不安定になる ⁃ 微分先⾏型PID制御 (PI-D制御) • ⽐例項の影響により、入⼒変数もステップ状になる ⁃ ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) 16
18. ⽐例微分先⾏型PID制御 (I-PD制御) PID制御の⽐例項についても、e(t) ではなく制御変数 y(t) にする 外乱に対してはPID制御と同じ挙動 17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D de t u t K e t e r dr T u T dt   = + + +      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 0 t P D dy t u t K y t e r dr T u T dt   = − + − +      ( ) ( ) target e t y y t = − t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数
19. ⽐較してみよう︕ PID制御 PI-D制御 I-PD制御 をシミュレーションの設定値変更で⽐較してみよう︕ 18
20. PID制御 これまでのまとめ PID制御のパラメータを決める • ① プロセスモデル (理論的なモデル) にもとづいて決める • ② ステップ応答の結果にもとづいて決める 制御する 19
21. PID制御 これから ⼀次遅れモデル 二次遅れモデルでは︖ 20 ( ) ( ) ( ) C p dy t T y t K u t dt + = ( ) p C 1 exp t y t K T     = − −           のステップ応答が になったのはどうして︖ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = 微分方程式を解いたり式変形したりする必要がある
22. 微分方程式を解くことのメリット 複雑な系におけるモデリングにおいて、⾒通しがよくなる シミュレーションによる試⾏錯誤ではなく、 理論的に制御性能を検討できる 21
23. 簡単にやりたい︕ ラプラス変換を使おう︕ 22 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界)
24. ラプラス(逆)変換は、ただの道具︕ ラプラス変換を覚える必要はない ラプラスさんに敬意を表して、辞書的に使おう ラプラス(逆)変換をどう使うかを考えるのが大事 23
25. ラプラス変換 24 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 exp L f t F s f t st dt ∞   = = −    時刻 t の関数 f(t) をラプラス変換 L(s) すると、変換後の関数 F(s) は、 s︓複素数 ( s = a + jb, j は虚数単位)
26. よく使うラプラス変換の特性 ① 線形性 ② 合成積 ③ 積分 ④ 微分 25 ( ) ( ) ( ) ( ) L a f t b g t a L f t b L g t       + = +       ( ) ( ) ( ) ( ) 0 L f t r g r dr L f t L g t ∞       − =          ( ) ( ) 0 1 L f r dr L f t s ∞     =        ( ) ( ) ( ) 0 df t L sL f t f dt     = −      
27. よく使うラプラス変換の特性 ⑤ n 回微分 ⑥ むだ時間 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 ' 0 0 n n n n n n d f t L s L f t s f s f f dt − − −     = − − −       ⋯ ( ) ( ) ( ) exp L f t r rs L f s     − = −    
28. よく使うラプラス(逆)変換 27 t (時間) 領域 s 領域 (あっちの世界) a s 2 1 s 1 s a + ( ) exp at − ( ) sin t ω ( ) cos t ω 2 2 s ω ω + 2 2 s s ω + a t
29. １次遅れモデルを思い出す １次遅れモデル (１次遅れ系、１次遅れプロセス、１次遅れ要素) 28 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数 TC ︓時定数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ⼊⼒変数を0 → 1 としたステップ応答 (単位ステップ応答)のとき、 となります [後で詳しくやります]
30. １次遅れモデルをラプラス変換してみよう 29 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = をラプラス変換して、 出⼒・⼊⼒をそれぞれまとめると︖ ただし、y(0) = 0 とする
31. １次遅れモデルのラプラス変換 30 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C S 0 T sL y t y L y t K L u t       − + =       ( ) ( ) L y t Y s   =   ( ) ( ) L u t U s   =   とすると、 y(0) = 0 より、 ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + =
32. ステップ応答 31 ( ) ( ) S C 1 K Y s U s T s = + ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ⼊⼒変数 u(t) を 0 → 1 とするステップ応答のとき、U(s) は︖ つまり、1 のラプラス変換は︖
33. ついに、Y(s) = ・・・ へ 32 ( ) ( ) ( ) S S S C C C 1 1 1 1 K K K Y s U s T s T s s s T s = = ⋅ = + + + ( ) 1 U s s = 0 → 1 のステップ応答のとき、 より、
34. ラプラス逆変換 33 a s 1 s a + ( ) exp at − a 使えそうな ラプラス逆変換は、 と これを ラプラス逆変換すれば、 y(t) = ・・・ になる︕ ( ) ( ) S C 1 K Y s s T s = + どうやって ( ) ( ) S C 1 K Y s s T s = + を式変形して、 上の２つのラプラス逆変換を使えるようにするか︖
35. ラプラス逆変換のための式変形 34 ( ) S C C 1 1 K a b s T s s T s = + + + とする、 ( ) ( ) ( ) C S C C 1 1 aT b s a K s T s s T s + + = + + よって、 C 0 aT b + = S a K = ２つの式より、 S C b K T = −
36. ついに、ラプラス逆変換 35 ( ) ( ) S S S C S S C C C 1 1 1 K K K T K K Y s s T s s T s s s T = = − = − + + + ラプラス逆変換すると、 ( ) S S S C C exp 1 exp t t y t K K K T T       = − − = − −              
37. １次遅れモデルのステップ応答を計算できた １次遅れモデル (１次遅れ系、１次遅れプロセス、１次遅れ要素) 36 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = t︓時刻 y︓出⼒変数 u︓入⼒変数 TC ︓時定数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数) ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ⼊⼒変数を0 → 1 としたステップ応答 (単位ステップ応答)のとき、 となります [後で詳しくやります] → OK︕ ラプラス変換によって、微分方程式を解くことができた︕
38. まとめ 37 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) S S C 1 K K Y s s s T = − + ( ) ( ) ( ) C S T sY s Y s K U s + = ステップ応答 ( ) 1 U s s = ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −          
39. [練習] 流体加熱プロセス 38 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 ( ) i P dT F Q T T dt V V c ρ = − +
40. [練習] 流体加熱プロセス 39 Q T, V, ρ, cP F, Ti F, T F [m3・s-1]︓入⼝流量・出⼝流量 Ti [K]︓入⼝流体の温度 T [K]︓タンク内流体の温度 V [m3]︓タンク内流体の体積 ρ [kg・m-3]︓流体の密度 cP [J・ kg -1・ K-1]︓流体の⽐熱 Q [J・s-1 (=W)]︓加熱量 DIFF DIFF P dT F Q T dt V V c ρ = − + DIFF i T T T = − として、
41. [練習] 流体加熱プロセス 40 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ︖ ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +
42. [練習] ラプラス変換 41 をラプラス変換すると、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF DIFF P DIFF DIFF P DIFF P 1 0 1 1 1 F sL T t T L T t L Q t V V c F sT s T s Q s V V c T s Q s F V c s V ρ ρ ρ       − = − +       = − + = + ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − +
43. [練習] ステップ応答 42 ( ) 1 Q s s = 0 → 1 のステップ応答のとき、 より、 ( ) DIFF P P 1 1 1 1 T s F V c s s V F V c s s V ρ ρ = + =   +    
44. [練習] ラプラス逆変換のための式変形 43 1 a b F F s s s s V V = +   + +     とする、 ( ) 1 F a b s a V F F s s s s V V + + =     + +         よって、 0 a b + = 1 F a V = ２つの式より、 V b F = − V a F =
45. [練習] ラプラス逆変換 44 ( ) DIFF P P P 1 1 1 1 1 1 1 T s F V c s s V V F F V c F s F c s s s V V ρ ρ ρ =   +             = − = −         + +     ラプラス逆変換すると、 ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        
46. [練習] 流体加熱プロセス 45 微分方程式など 答え 難しい ラプラス変換 普通の代数方程式 式変形後 ラプラス逆変換 式変形 やさしい s 領域 (あっちの世界) t (時間) 領域 (こっちの世界) ステップ応答 ( ) ( ) ( ) DIFF DIFF P dT t Q t F T t dt V V c ρ = − + ( ) DIFF P 1 1 F T t t F c V ρ   = −    
47. １次遅れモデルとの⽐較 46 時定数 (TC ) は︖ 定常ゲイン (KS ) は︖ 以前に計算したものと⽐較してみよう ( ) C 1 exp S t y t K T     = − −           ( ) DIFF P 1 1 exp F T t t F c V ρ     = − −        
48. 伝達関数 47 ( ) ( ) ( ) S C 1 Y s K G s U s T s = = + G(s) を 伝達関数 と呼び、プロセスの入⼒と出⼒との間の関係を表す Y(s) = G(s)U(s) 出⼒ = 伝達関数 × 入⼒ ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 １次遅れモデル
49. [練習] １次遅れ＋むだ時間 モデルの伝達関数は︖ tD [s]︓むだ時間 48 ( ) ( ) ( ) C S dy t T y t K u t dt + = ( ) ( ) ( ) C S 1 T s Y s K U s + = ラプラス変換 １次遅れモデル ( ) ( ) ( ) C S D dy t T y t K u t t dt + = − １次遅れ+むだ時間 モデル ラプラス変換 ︖
50. [練習] ラプラス変換 49 ( ) ( ) ( ) ( ) C S 1 exp D T s Y s K t s U s + = − ( ) ( ) ( ) ( ) S C exp 1 D Y s K G s t s U s T s = = − +
51. [練習] ２次遅れモデルの伝達関数は︖ ２次遅れモデル (２次遅れ系、２次遅れプロセス、２次遅れ要素) 減衰係数 DF の値 (の範囲) によって異なる挙動を示す • 後で詳しくやります ただし、y(0) = 0, y’(0) = 0 とする 50 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = a︓パラメータ (定数) DF ︓減衰係数 (定数) KS ︓定常ゲイン (定数)
52. [練習] ラプラス変換 51 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 2 d y t dy t a D a y t K u t dt dt + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F p 2 a s Y t D asY t Y t K U s + + = ( ) ( ) ( ) P 2 2 F 2 1 Y s K G s U s a s D as = = + +
53. [練習] PID制御の伝達関数は︖ PID制御 ただし、u(0) = 0, e(0) = 0 とする 52 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      t [s]︓時刻 e︓制御変数の偏差 u︓操作変数 KP ︓⽐例ゲイン (定数) TI ︓積分時間 (定数) TD [s]︓微分時間 (定数)
54. [練習] ラプラス変換 53 ( ) ( ) ( ) I 1 1 P D U s G s K T s E s T s   = = + +     ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I 1 t P D de t u t K e t e r dr T T dt   = + +      ( ) ( ) ( ) ( ) I 1 P D U s K E s E s T sE s T s   = + +    