3D rotation representation and its implementation

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1. 3次元回転表現とその実装 石田 岳志 (@sonicair)
2. 石田 岳志 (@sonicair) 東京高専 専攻科2年 (B4) github.com/IshitaTakeshi 最近実装したもの ・SBA (Sparse Bundle Adjustment) ・DVO (Dense Visual Odometry)
3. なぜ回転表現？
4. Engel, Jakob, Thomas Schöps, and Daniel Cremers. "LSD-SLAM: Large-scale direct monocular SLAM." European conference on computer vision. Springer, Cham, 2014. リー代数による姿勢表現は論文にたくさん出てくる
5. 実装する際に中身を知っていると便利 • ライブラリとしてSophus1が存在する • 中身を知っていると ◦ 実装を効率化できる ◦ テストやデバッグに役立つ 1. https://github.com/strasdat/Sophus
6. そもそもなぜリー代数で表現するの？
7. そもそもなぜリー代数で表現するの？ Bundle Adjustment は E(P) を最小化する問題 a j はj番目のカメラの姿勢 b i はi番目の3次元点の座標 Lourakis, Manolis IA, and Antonis A. Argyros. "SBA: A software package for generic sparse bundle adjustment." ACM Transactions on Mathematical Softwae (TOMS) 36.1 (2009): 2.
8. a j としてアフィン行列 G j ∈ ℝ4×4 を選んだら...? Lourakis, Manolis IA, and Antonis A. Argyros. "SBA: A software package for generic sparse bundle adjustment." ACM Transactions on Mathematical Softwae (TOMS) 36.1 (2009): 2. そもそもなぜリー代数で表現するの？ → なんの制約もなく最適化すると 　 得られた解 R, t のうち，Rは回転行列にならない
9. ω ∈ ℝ3 から回転行列を定められるような写像があれば 姿勢パラメータ a j の自由度を6に減らせる → a j = [ω j , t j ] とすればよい → カメラの回転をリー代数で表現することで実現可能 Lourakis, Manolis IA, and Antonis A. Argyros. "SBA: A software package for generic sparse bundle adjustment." ACM Transactions on Mathematical Softwae (TOMS) 36.1 (2009): 2. 回転群のリー代数 so(3) を用いる
10. リー代数とは
11. リー代数 so(3) とは (ざっくり言うと) R = exp(K), (Rは回転行列) となる K ∈ ℝ3×3 の集合
12. Kは3つのパラメータで表せる Kは交代行列
13. Ma, Yi, et al. An invitation to 3-d vision: from images to geometric models. Vol. 26. Springer Science & Business Media, 2012.
14. Ma, Yi, et al. An invitation to 3-d vision: from images to geometric models. Vol. 26. Springer Science & Business Media, 2012.
15. K は R(t) の接ベクトル空間 Sarkis, Michel, and Klaus Diepold. "Camera-pose estimation via projective newton optimization on the manifold." IEEE Transactions on Image Processing 21.4 (2012): 1729-1741.
16. K は R(t) の接ベクトル空間
17. 実装
18. 指数写像 愚直に計算すると遅い
19. Rodriguesの公式 指数写像の代わりに効率よくRを計算する方法
21. 導出
23. OpenCVにおける実装 OpenCV, “Camera Calibration and 3D Reconstruction”, https://docs.opencv.org/2.4/modules/calib3d/doc/camera_calibration_and_3d_reconstruction.html#rodrigues
25. まとめ • できるだけ自由度を削減してカメラ姿勢を表現したい • 3次元回転は回転群のリー代数 K ∈ so(3) を 利用することで3つのパラメータで表現できる • Rodriguesの公式は指数写像と等価 • 中身を知っておくと 論文を読んだり実装したりするときに便利