Tokyo.R #96 theory of probability

第96回Tokyo.Rでトークした際の資料です。

Transcript

1. @kilometer00 2022.01.29 確率論の基礎 95th #TokyoR
2. Who！？ 誰だ？
3. Who！？ 名前： 三村 @kilometer 職業： ポスドク (こうがくはくし) 専⾨： ⾏動神経科学(霊⻑類) 脳イメージング 医療システム⼯学 R歴： ~ 10年ぐらい 流⾏: むし社
4. 宣伝!!（書籍の翻訳に参加しました。）
5. 𝑋 ~ 𝑁(µ = 0, σ = 1) 「確率変数𝑋 は正規分布𝑁(0,1)に従う」 を完全に理解しよう。 【今⽇の⽬標】
6. よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ!
7. よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ! 標準偏差σ 平均µ
8. よく⾒る式（正規分布といえばコレ） 𝑝 𝑥 = 1 2πσ! exp −(𝑥 − µ)! 2σ! 標準偏差σ 平均µ あなたはだあれ？
9. Norm_p <- function(x, mu = 0, sigma = 1){ p <- (1 / sqrt(2 * pi * sigma^2)) * exp(- (x - mu)^2 / (2 * sigma^2)) return(p) } よく⾒る式を計算する関数を作る
10. よく⾒る式を計算する library(package = "tidyverse") dat <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1) %>% data.frame(x = .) %>% mutate(p = Norm_p(x)) # ここで計算してる
11. よく⾒る式を可視化する library(package = "tidyverse") dat <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1) %>% data.frame(x = .) %>% mutate(p = Norm_p(x)) # ここで計算してる ggplot(data = dat) + aes(x = x, y = p) + geom_path(color = "magenta")
12. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった
13. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった あなたはだあれ？
14. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は 約𝟎. 𝟒??
15. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は 約𝟎. 𝟒 ではなくて
16. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は ゼロ
17. よく⾒る式＝よく⾒るグラフだった あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は ゼロ
18. 写像 理解 【今⽇の地図】
19. 初⼿：写像
20. 集合𝑋 集合𝑌 要素𝑥 要素𝑦 写像 𝑓: 𝑋 → 𝑌もしくは𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑦 （始集合・定義域） （終集合・終域） 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に 対応づける規則
21. 地図空間 ⽣物種名空間 名空間 ⾦銭価値空間 (円) ⾦銭価値空間 (ドル) コーヒー ¥290 $2.53 [緯度, 経度] Homo sapiens 実存 写像 写像 写像 写像 写像 写像 情報 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則
22. 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑦 もしくは 𝑓 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 2 𝑦 = 8 𝑋 𝑌 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則 関数は写像
23. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃 確率は特殊な枠組みを持った写像
24. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃 【確率𝑝 】 ある事象ωについて写像𝑃により対応づけられた 集合[𝟎, 𝟏]の中のただ1つの実数(0 ≤ 𝑝 ≤ 1) 確率は特殊な枠組みを持った写像
25. 写像 理解 確率測度 事象族 事象 【今⽇の地図】
26. へ の へ の へ も も へ の へのへのもへサイコロ
27. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω へ の も 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写 像 𝑃 も へ の へのへのもへサイコロ
28. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω へ の も 事象族 𝓕 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写 像 𝑃 も へ の へのへのもへサイコロ
29. 事象族 ℱ
30. Encode Apple （Real） Apple （Information） Decode
31. Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information
32. Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information channel
33. 地図空間 ⽣物種名空間 名空間 ⾦銭価値空間 (円) ⾦銭価値空間 (ドル) コーヒー ¥290 $2.53 [緯度, 経度] Homo sapiens 実存 写像 写像 写像 写像 写像 写像 情報 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に対応づける規則
34. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω へ の も 事象族 𝓕 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 写 像 𝑃 も へ の へのへのもへサイコロ
35. 事象族 ℱは 写像のchannel
36. 事象族𝓕が満たすべき譲れない５条件 1. 事象族ℱは全事象Ωの部分集合である ℱ ⊆ Ω 2. 空集合∅と全事象Ωは事象族ℱの要素である ∅, Ω ∈ ℱ 3. 事象族ℱは空集合∅であってはならない ℱ ≠ ∅ 4. 事象ωを要素に持つ時、その余事象) ωも要素である ω ∈ ℱ ⇒ ) ω ∈ ℱ 5. 要素同⼠の和集合も要素である ℱ = 𝜔!, . . . , 𝜔" ⇒ . #$! 𝜔# ∈ ℱ
37. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 事象族ℱが譲れない５条件を満たす → σ-加法族ℱと呼ぶ（σ-加法性を満たす）
38. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 σ-加法族 ℱ
39. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] σ-加法族 ℱ
40. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] 2. 全事象の確率𝑃(Ω) = 1 σ-加法族 ℱ
41. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] 2. 全事象の確率𝑃(Ω) = 1 3. 可算加法性を満たす σ-加法族 ℱ
42. ∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 可算加法性を満たす
43. ∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 互いに排反ならば、 可算加法性を満たす
44. 可算加法性を満たす ∀ ω= ∩ ω> = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) ⇒ 𝑃 - =?@ ω= = . =?@ 𝑃(ω= ) 互いに排反ならば、 和事象の確率は、 事象の確率の和 （σ-加法性とか完全加法性ともいうけど同じもの）
45. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑷: ℱ → [0,1] 写像 𝑷が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑃: ℱ → [0,1]もしくは𝑃: ω ⊆ Ω ↦ 𝑝 ∈ [0,1] 2. 全事象の確率𝑃(Ω) = 1 3. 可算加法性を満たす σ-加法族 ℱ
46. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 写像 𝑃: ℱ → [0,1] 写像 𝑃が満たすべき譲れない３条件 事象族ℱが満たすべき譲れない５条件 σ-加法族 ℱ
47. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 写像 𝑃が譲れない３条件を満たす → 確率測度𝑃と呼ぶ 事象族ℱが譲れない５条件を満たす → σ-加法族ℱと呼ぶ（σ-加法性を満たす）
48. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃 σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 全事象𝛀: 起こりうる全ての事象を網羅した集合 事象族𝓕: σ-加法性を満たし写像のchannelを規定する 確率測度𝑷: 事象ωに対し確率𝑝を対応づける写像
49. 写像 理解 確率測度 事象族 事象 【今⽇の地図】
50. 写像 確率測度 確率分布 事象族 確率変数 事象 理解 【今⽇の地図】
51. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω へ の も 事象族 ℱ 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確 率 測 度 𝑃 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点 実数空間 𝑅 実現値 𝑥 写 像 𝑋
52. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 写像 𝑿: 𝜴 → 𝑹
53. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹
54. 確率変数 は 写像 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に 対応づける規則
55. 確率変数 は 写像 全事象Ωの要素(事象ω)を確率空間𝒫[Ω, ℱ, 𝑃]の 外側の実数集合𝑅のただ1つの要素(実現値𝑥)に 対応づける規則 全事象 Ω 実数集合 𝑅 事象 ω 実現値𝑥 確率変数 𝑋: ω ↦ 𝑥
56. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω へ の も 事象族 ℱ 事象 ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確 率 測 度 𝑃 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点 実数空間 𝑅 実現値 𝑥 確 率 変 数 𝑋
57. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹
58. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹 対応づけられる？
59. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数 𝑿: 𝜴 → 𝑹 対応づけられる？
60. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑿: 𝜴 → 𝑹 逆写像 𝑿"𝟏: 𝒙 ∈ 𝑹 ↦ ω ∈ 𝓕 σ-加法族 ℱ
61. 全事象 Ω 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 σ-加法族 ℱ 写像 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒑 集合 [0,1] 𝑋!"
62. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 𝑋!" 確率分布(写像) 𝒇: 𝒙 ↦ 𝒑 σ-加法族 ℱ
63. 確率分布 は 写像 【写像】 ある集合の要素を他の集合のただ1つの要素に 対応づける規則
64. 確率分布 は 写像 実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]の ただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則 実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝
65. 確率分布 は 写像 実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]の ただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則 実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、
66. 確率分布 は 写像 実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]の ただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則 実数集合 R 集合 [1,0] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、channelの規定が必要
67. Apple Encode Fruit Red 1 (image) Real Information channel
68. 確率分布 は 写像 実数集合Rの要素(実現値𝑥)を集合[0,1]の ただ1つの要素(確率𝑝)に対応づける規則 実数集合 R 集合 [1,0] 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 ただし、channel(族ℬ)の規定が必要 実現値𝑥 族 ℬ
69. 確率分布 は 写像 実数集合 R 集合 [1,0] 確率𝑝 確率分布 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑝 実現値𝑥 族 ℬ 族ℬが満たすべき譲れない５条件 → ボレルσ-加法族ℬと呼ぶ 実数集合上で定義されるσ-加法族をボレルσ-加法族と呼んで差し⽀えないが、 測度論的に厳密な定義にはもう少し⽤語の導⼊が必要になる。ボレル集合族ともいう。
70. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数空間 𝑅 実現値𝑥 確率変数(写像) 𝑋: 𝛺 → 𝑅 𝑋!" 確率分布(写像) 𝒇: 𝓑 → [𝟎, 𝟏] ボレルσ-加法族ℬ
71. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確 率 分 布 𝑓 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点 実数空間 𝑅 実現値 𝑥 確 率 変 数 𝑋 -1点 0点 3点 事象族 ℬ
72. 1. 写像という概念を導⼊しました 2. 確率測度と定義しました 3. 確率空間を定義しました 4. 実数空間（実現値）を導⼊しました 5. 実数空間と確率空間を写像で結びました 確率変数：事象から実現値への写像 確率分布：実現値から確率への写像 現在位置の確認 これにより「実現値に対する確率」を 考えることが出来るようになりました。 （ヨシッ！）
73. ふーん （それで？）
74. それでですね、
75. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 確率変数𝑋 𝑋!" 確率分布 𝑓: ℬ → [0,1] 実現値𝑥 ボレルσ-加法族ℬ
76. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] σ-加法族ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 確率変数𝑋 𝑋!" 確率分布 𝑓: ℬ → [0,1] 実現値𝑥 ボレルσ-加法族ℬ
77. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃 σ-加法族 ℱ 確率空間𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓 ボレルσ-加法族 ℬ
78. お前はもう、 （ご唱和ください）
79. お前はもう、 確率空間だ。
80. 実数集合 R 集合 [0,1] 実現値𝑥 確率𝑝 確率分布 𝑓 σ-加法族 ℬ 確率空間 𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 全事象𝐑: 起こりうる全ての事象を網羅した集合 事象族𝓑: σ-加法性を満たし写像のchannelを規定する 確率分布𝒇: 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像
81. 全事象 Ω 集合 [0,1] 事象 ω 確率𝑝 確率測度 𝑃: ℱ → [0,1] 事象族 ℱ 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 実数空間 𝑅 確率変数𝑋 𝑋!" 確率分布 𝑓: ℬ → [0,1] 確率空間 𝒳[𝑅, ℬ, 𝑃] 実現値𝑥 族ℬ
82. 確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける 確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓]
83. 確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 確率変数𝑋による事象ωの実現値 確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける
84. 確率空間𝒳[𝑅, ℬ, 𝑓] 確率変数𝑋による事象ωの実現値 確率空間 𝒫[Ω, ℱ, 𝑃] 確率分布𝑓が実数𝑥を確率𝑝に対応づける
85. 確率変数𝑋による実現値𝑥は 確率分布𝑓に従って確率𝑝に 対応づけられる
86. 確率変数𝑋による実現値𝑥は 確率分布𝑓に従って確率𝑝に 対応づけられる 確率変数𝑋による実現値𝑥は 確率分布𝑓に従って確率𝑝に 対応づけられるう
87. 𝑋 ~ 𝑁(0, 1) 「確率変数𝑋 は正規分布𝑁(0,1)に従う」 確率変数𝑋による実現値𝑥は 正規分布𝑁に従って確率𝑝 に対応づけられる
88. 宿題 あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率は ゼロ
89. 写像 確率測度 確率分布 事象族 確率変数 理解 【今⽇の地図】
90. 写像 確率測度 確率分布 確率密度 事象族 確率変数 理解 連続確率 【今⽇の地図】
91. ⾯ 1 : へ ⾯ 2 : の ⾯ 3 : へ ⾯ 4 : の ⾯ 5 : も ⾯ 6 : へ 全事象 Ω 集合[1,0] 確率 𝑝 1 2 1 3 1 6 確 率 分 布 𝑓 -1点 0点 -1点 0点 3点 -1点 実数空間 𝑅 実現値 𝑥 確 率 変 数 𝑋 -1点 0点 3点 事象族 ℬ
92. 確率分布𝑓を可視化する 𝑝 = 𝑓 𝑥
93. ・必ず1つの⾯が出る ・⾯は均等に出る ・各⾯には数値(実現値𝑥)が1つ書かれている ・ 𝑥 ∈ seq(form = 0, to = 1, length = N) ・ 確率分布𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑝すなわち𝑓 𝑥 = 𝑝とする 理想的なN⾯体サイコロ
94. 理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 6 𝑖 ∈ {1, 2, … , 6}
95. 理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 15 𝑖 ∈ {1, 2, … , 15}
96. 理想的なN⾯体サイコロ 𝑖 ∈ {1, 2, … , ∞} 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞
97. 理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0 𝑖 ∈ {1, 2, … , ∞} 𝑥$ ∈ [0,1] この区間に含まれる 実数全体
98. 連続確率分布𝑓 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像のうち 𝑥が連続した1つの区間[𝑎, 𝑏]で定義されるもの。 ただし(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏)を満たす。
99. 連続確率分布𝑓 実現値𝑥に対し確率𝑝を対応づける写像のうち 𝑥が連続した1つの区間[𝑎, 𝑏]で定義されるもの。 ただし(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏)を満たす。 特定の実現値𝑥# に対する確率𝑝# は必ず0になる。 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0
100. 確率𝑝# は実現値𝑥# の⽣じやすさを表す数値 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]だと全ての𝑥# について𝑝# = 0 従って「どの⾯も出ない」 「必ず1つの⾯が出る」（定義） ⽭盾
101. 実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝒇: ℬ → [0,1] 確率分布 𝒇が満たすべき譲れない３条件 1. 写像𝑓: ℬ → [0,1] 2.全事象の確率𝑓(𝑅) = 1 3. 可算加法性を満たす σ-加法族 ℬ
102. 実数集合 𝑅 集合 [0,1] 実現値 𝑥 確率𝑝 確率分布 𝒇: ℬ → [0,1] 確率分布 𝒇が満たすべき譲れない３条件より σ-加法族 ℬ 𝑓 𝑅 = 0 !" " 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
103. 理想的なN⾯体サイコロ 𝑝$ = 𝑓 𝑥$ = 1 ∞ = 0 コレの積分が1 𝑓 𝑅 = O "% % 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
104. そうだ、累積確率を考えよう
105. 𝐹 𝑥 = 2 !" # 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 4 ##$# 𝑓(𝑥% ) 累積確率𝐹 連続確率分布𝑓について 離散確率分布𝑓について
106. 𝑓 𝑥 𝐹 𝑥 確率分布 累積確率
107. 𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 連続確率分布𝑓について 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 無限に⼩さい数を⾜し上げている 累積確率𝑭は𝒙の定義域内で微分可能 確率分布 累積確率
108. 微分可能？よろしい、 ならば微分しよう。
109. 𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 確率分布 累積確率 f 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 確率密度 連続確率分布𝑓について
110. 確率分布 𝑓 𝑥 累積確率 𝐹 𝑥 確率密度 f 𝑥
111. 確率分布 𝑓 𝑥 累積確率 𝐹 𝑥 確率密度 f 𝑥 𝑝 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = ? ! " 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ? ! " f 𝑥 𝑑𝑥 a b a b
112. 𝐹 𝑥 = 5 PQ R 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 1 ∞ 確率分布 累積確率 f 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 確率密度 例外なく定式化できない 𝑓 𝑥 こっちで定式化する 連続確率分布𝑓について
113. 正規分布の確率密度f f 𝑥 = 1 2πσU exp −(𝑥 − µ)U 2σU 例のあの式！
114. 確率分布𝑓 𝑥 累積確率𝐹 𝑥 確率密度f 𝑥 正規分布 ⼀様分布
115. 例のグラフは正規分布の確率密度fを表す Q. あなたはだあれ？ 𝒙 = 𝟎の確率𝑝は ゼロ A. 確率密度
116. 写像 確率測度 確率分布 確率密度 事象族 確率変数 正規分布 連続確率 事象 【今⽇の地図】
117. 確率分布を取り扱うための関数 in R
118. 確率分布関数 𝑓 𝑥 𝐹 𝑥 f 𝑥 確率分布関数 確率分布関数 確率質量関数 (実現値が離散量なのを強調したい?) 累積確率分布関数 累積確率分布関数 累積確率分布関数 累積確率分布関数 確率密度分布関数 確率密度分布関数 呼び⽅いろいろ問題 累積確率分布関数 (他にもあるかも) 確率密度分布関数
119. &OKPZ