Introduction for Projective Geometric Algebra

Projective Geometric Algebra 入門レイトレ合宿 10 セミナー kinankomoti (10/14 追記)

質問突然ですが皆さんに質問です Twitter(現X)でこんな感じのを見たことはありませんか？ Question

何これ？なんか線とか点を扱ってる？ , とか変な記号がある基底っぽいのがなんかある What’s? ∧ ∨

何これ？気になってこれを調べてみると Eric Lengyel先生が書いた Foundations of GameEngine Developmentとか書いている方そういう数学の一分野らしい
ジオメトリの操作を表しているなんか気になる・・・ What’s?

Projective Geometric Algebra Illuminated 本が出るらしい(4月ぐらい?) Projective Geometric Algebra Illuminated(PGAI) 買ってみよう！(2万ぐらいした)
PGAI

Projective Geometric Algebra Illuminated 読んでみると… 全然わからん！ずっと謎の定義が続く! 記号がいっぱいある！何をしたいのかよくわからん・・・ギャー！
PGAI

今回の発表の目的 PGAのモチベーションがなんであるか何がやりたいのかが分かりにくい PGAIのごく最初の部分をちょっと解説する入門の手助けそこから先わかんないので・・・ Purpose of the presentation

先に知ったからって別に高速化につながるわけではない応用先はそこそこある(みたい)です知らない内に使っている（といっても過言ではない）今回はそういう数学の分野があるんだぐらいに思ってください用語は基本的にPGAIに従います特有の用語があったりします基本的にと書いたらベクトルだと思ってくださいスカラーは大体
と書きます Preface a s, t

目次 1. Projective Geometric Algebra(PGA)とは何か 2. 同次座標系 3. 同次座標系とジオメトリの表現 4.
PGAチュートリアル 5. アンチウェッジ積とIntersection 6. まとめ 7. おわり 8. 参考資料 9. Appendix

Projective Geometric Algebra(PGA)とは何か

Projective Geometric Algebra(PGA)とは何か射影幾何代数 Projective : 射影、ここでは同次座標系を使うことを意味している Geometric Albebra :
幾何代数 What’s Projective Geometric Algebra

幾何代数「幾何学的対象そのものやそれに対する操作を代数的に表現する」例えば直線や平面などのジオメトリを表す変数が用意できて、回転を表すRみたいなのがあったら、回転後の平面ををとかみたいな感じで表せられる代数系のことを言います Geometric Algebra g g′
g = ′ RgR−1 g = ′ Rg

幾何代数「幾何学的対象そのものやそれに対する操作を代数的に表現する」例えば直線や平面などのジオメトリを表す変数が用意できて、回転を表すRみたいなのがあったら、回転後の平面ををとかみたいな感じで表せられる代数系のことを言いますもともとは物理学で物体の移動とかを数学的に全部代数的に表現できないかという試みから生まれたもの私たちが普段使う「ベクトル」の発展に大きく貢献している内積や外積といった概念もこのあたりから生まれている Geometric
Algebra g g′ g = ′ RgR−1 g = ′ Rg

幾何代数実は知らないうちに使っています Geometric Algebra

幾何代数実は知らないうちに使っていますクオータニオン(ハミルトン代数)は幾何代数の一部クオータニオンでは点をとして表現できて、それに対する回転をあるクオータニオンによって次のように回転できる代数的に幾何的な操作を表現可能！ Geometric
Algebra r = (x, y, z, 0) q r = ′ qrq−1

幾何代数おおむね以下の代数系が幾何代数として扱われていますハミルトン代数(クオータニオン) グラスマン代数クリフォード代数共形クリフォード代数 Geometric Algebra

グラスマン代数 19世紀中期ぐらいにドイツ人の数学者Hermann Grassmannが考案した代数系幾何代数の基礎ジオメトリの表現やジオメトリ同士の変換についてを代数的に記述できる今回の発表ではこれを軽く触れます Grassmann Algebra

クリフォード代数複素数、クオータニオン、デュアルクオータニオンなどを一般化した代数系グラスマン代数もこれに含まれている幾何代数においては移動、回転などのジオメトリ自体の操作を表現するのに使う Grassmann Algebra

同次座標系とグラスマン代数グラスマン代数はそのままだと「原点を通るジオメトリ」しか扱えない同次座標系は実際使う3次元では原点を通らなくて済み、同時座標では原点を通っているものが扱える -> 同次座標系を使えば3次元上の任意の位置にあるジオメトリをグラスマン代数に使える! Homogeneous Coordinate and Grassmann Algebra

幾何代数 Geometric Algebra

同次座標系 Homogeneous Coordinate System

同次座標系 3次元座標系に対して、以下のような対応関係を持つ4次元座標系のことを同次座標系と呼ぶ N次元座標に対してもN+1次元の同時座標系を考えることができます Homogeneous Coordinate System (x,
y, z) (x, y, z) = (x, y, z, 1) = (wx, wy, wz, w)

同次座標系同時座標系はスカラー倍しても、表す座標は変化しない性質がある(同次性 Homogeneous) 幾何的には3次元の座標の点と原点を通る4次元の線を対応付けている Homogeneous Coordinate
System (x, y, z, w) k k(wx, xy, wz, w) = ( , , , 1) = kw kx kw kwy kw kwz (x, y, z, 1)

同次座標系の方向ベクトル方向ベクトルについて次のような対応付けを行うこれ自体はたぶん便利だったからそういう定義をしている Direction Vector in Homogeneous Coordinate System
d = (d , d , d ) x y z (d , d , d ) = x y z (d , d , d , 0) x y z

の同次座標の解釈は定義不能では・・・? 3次元座標をした点を考える。この同次座標はと表すことができる。 w =
0 Interpretation for Homogeneous Coordinate w = 0 w = 0 (x, y, z) α (ax, ay, az) (ax, ay, az) = (x, y, z, ) a 1

の同次座標の解釈ここでを無限大にすると・・・？は無限遠方へ同次座標系はへの同次座標は三次元座標の無限遠方点と対応付けられている(としている) 位置ベクトルとは被らないので区別できて嬉しい w
= 0 Interpretation for Homogeneous Coordinate w = 0 α (ax, ay, az) → (∞, ∞, ∞) (x, y, z, 0) w = 0

同次座標系とジオメトリの表現

直線の表現直線を決めるには6次元の情報が必要点を通る直線(上の点) は任意のスカラーを使って以下のように表現できますなので2点の位置座標で一つの直線を表すことは可能 6次元の座標でという感じに
Presentation for Line p, q l t l(t) = (q − p)t + p (p , p , p , q , q , q ) x y z x y z

プリュッカー座標陰関数的に表現することも可能、これをImplicit Formという Implicit Fromをちょっと展開すると以下のように書けるここでとをそれぞれDirectionとMomentと呼び、このベクトルでも直線を定義することが可能であるこのをまとめた座標
をプリュッカー座標とかみたいな感じで表せられる代数系のことを言いますある一つの直線を表す座標 Plücker Coordinate (q − p) × (l − p) = 0 (q − p) × l − q × p = 0 (q − p) −q × p v × l + m = 0 v, m (v , v , v , m , m , m ) x y z x y z

プリュッカー座標点とプリュッカー座標の関係プリュッカー座標はどんな直線を表している？ 1. Moment に対して垂直な半径の円に接する
直線の内 2. 右回りの方向でDirection に平行な直線を表しているそういう表し方があるぐらいに留めてください Plücker Coordinate p, q v m = (q − p , q − p , q − p ) x x y y z z = (p q − p q , p q − p q , p q − p q ) y z z y z x x z x y y x (1) (2) (v , v , v , m , m , m ) x y z x y z m ∣m∣/∣v∣ v

プリュッカー座標プリュッカー座標は同次性を持つ , とスカラー倍しても、Implicit Formは変わらないので同じ直線を表す同次座標系と相性がいい Plücker Coordinate km kv
km × l − kv = 0 k(m × l − v) = 0 m × l − v = 0

平面の表現平面についても同様の話ができます。平面のImplicit Formは平面の法線をとして、高さを (スカラー)で表示できます平面は法線の成分とによってで表現することができる
同様にこれは同次性を持ちます (平面はむしろImplicit Formの方が知られている気がします) Presentation for Plane n h n ⋅ g + h = 0 h (n , n , n , h) x y z kn ⋅ g + kh = 0 k(n ⋅ g + h) = 0 n ⋅ g + h = 0

同次座標系の良さ 4次元にすると座標に対してさらに+情報が入れられるのでなかなか便利位置ベクトルと方向ベクトルの区別がつく同時座標から3次元座標の変換は一意的に行える対応付けが明らかで楽原点を通らない3次元のオブジェクトは同次座標では原点を通るようになるグラスマン代数的には一番ありがたい任意の位置にあるものが扱えるようになる! Merit of
Homogeneous Coordinate System

PGAチュートリアル ~Intersectionまで~

グラスマン代数のウェッジ積グラスマン代数では次元ベクトルに対してウェッジ積という演算を定義します外積の一種として扱われます立ち位置としてはクロス積を任意の次元でも一般化したもの Wedge Product in
Glassmann Algebra n a, b ∈ Rn ∧ ∧ : R × n R → n ∧ R 2 n a ∧ b

グラスマン代数のウェッジ積ウェッジ積によってできたはBivectorと呼びます。 Bivectorはベクトルではありません新しい基底が作られたみたいなものと捉えてくださいはこれ以上まとめられない Wedge Product in Glassmann
Algebra a ∧ b (a ∧ b ∈ ∧ R ) 2 n a + a ∧ b

ウェッジ積の性質ウェッジ積は以下の性質を満たすものとして定義されています結合則分配則スカラー反可換性 Property of Wedge Product
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a + b) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c, a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c s ∧ t = t ∧ s = st s ∧ a = sa a ∧ b = −b ∧ a

ウェッジ積の反可換性反可換性(Anticommutativity)はウェッジ積で一番重要な性質この性質より、自分自身とのウェッジ積は0になる。 Proof. にを代入したら出てくる Anticommutativity of Wedge Product
a ∧ b = −b ∧ a a ∧ a = 0 b a a ∧ a 2a ∧ a a ∧ a = −a ∧ a = 0 = 0 (3) (4) (5)

k-Vector ウェッジ積はいくつもかけることができる(最大回まで) ウェッジ積をかけた回数に応じて、その結果はBivector, Trivector…と名前が付けられている一般化して回のウェッジ積を掛けたものはk-vectorと呼ぶ k-vector はと表記できます
この時のをGradeと言いますスカラーは0-Vectorとみなします k-vectorをいくつもまとめたものをMultivectorといいます k-Vector n a ∧ b ∧ c ∧ d ∧ ... k − 1 u u ∈ ∧ R k n k s + a + b + c + a ∧ b + b ∧ c + c ∧ a + a ∧ b ∧ c

3次元座標で考えてみる 3次元座標系について、各基底ベクトルをと表すもう一つの座標とウェッジ積をとってみる Grasmann Algebra in 3D
p = (p , p , p ) x y z e , e , e 1 2 3 p = p e + x 1 p e + y 2 p e z 3 q = (q , q , q ) x y z q = q e + x 1 q e + y 2 q e z 3 p ∧ q

3次元座標で考えてみる先ほどのウェッジ積の性質を用いて、展開してあげると Grasmann Algebra in 3D p ∧
q = (p e + p e + p e ) ∧ (q e + q e + q e ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p e ∧ e + p p e ∧ e + p p e ∧ e x 2 1 1 y x 2 1 z x 3 1 + p p e ∧ e + p e ∧ e + p p e ∧ e x y 1 2 y 2 2 2 z y 3 2 + p p e ∧ e + p p e ∧ e + p e ∧ e x z 1 3 y z 2 3 z 2 3 3 (6) (7) (8) (9)

3次元座標で考えてみる同じベクトル同士は0になる性質を利用すると Grasmann Algebra in 3D p ∧
q = (p e + p e + p e ) ∧ (q e + q e + q e ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p e ∧ e + p p e ∧ e + p p e ∧ e x 2 1 1 y x 2 1 z x 3 1 + p p e ∧ e + p e ∧ e + p p e ∧ e x y 1 2 y 2 2 2 z y 3 2 + p p e ∧ e + p p e ∧ e + p e ∧ e x z 1 3 y z 2 3 z 2 3 3 (10) (11) (12) (13)

3次元座標で考えてみる同じベクトル同士は0になる性質を利用すると Grasmann Algebra in 3D p ∧
q = (p e + p e + p e ) ∧ (q e + q e + q e ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p p e ∧ e + p p e ∧ e y x 2 1 z x 3 1 + p p e ∧ e + p p e ∧ e x y 1 2 z y 3 2 + p p e ∧ e + p p e ∧ e x z 1 3 y z 2 3 (14) (15) (16) (17)

3次元座標で考えてみる反可換性を使う Grasmann Algebra in 3D a ∧ b
= −b ∧ a p ∧ q = (p e + p e + p e ) ∧ (q e + q e + q e ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p p e ∧ e + p p e ∧ e y x 2 1 z x 3 1 + p p e ∧ e + p p e ∧ e x y 1 2 z y 3 2 + p p e ∧ e + p p e ∧ e x z 1 3 y z 2 3 (18) (19) (20) (21)

3次元座標で考えてみるまとめるとこうなる各係数がクロス積の各成分と一致しているウェッジ積はクロス積的な性質を持っていることがわかる(外積) Grasmann Algebra in 3D p ∧
q = (p q − y z p q )e ∧ z y 2 e + 3 (p q − z x p q )e ∧ x z 3 e + 1 (p q − x y p q )e ∧ y x 1 e 2

3次元座標で考えてみるさらにここにをさらにかけるとTri-Vectorが得られる (計算は省略します) Trivectorの係数はスカラー三重積の値になる k-vectorは１つにまとめられる(同じ基底の組み合わせは消えるので) Grasmann Algebra in
3D r = (r , r , r ) x y z p ∧ q ∧ r = det((p, q, r))e ∧ 1 e ∧ 2 e 3 p ⋅ (q × r)

任意次元のk-vector 各基底のウェッジ積をのように添え字で省略します先ほどの例を見ると3次元座標系ではk-vectorは次のように得られました s (スカラー) k-vectorの数はそれぞれのGradeよって変わる k-vector in Arbitrary
Dimension e ∧ 1 e = 2 e 12 e , e , e 1 2 3 e , e , e 23 31 12 e 123

任意次元のk-vector 自分自身を含まない順番は変えられる(符号の反転はあるが) ので、次元座標に置けるk-vectorの数は組み合わせで表される 3次元 : 1, 3,
3, 1 4次元 : 1, 4, 6, 4, 1 … 最終的に次元数のグレードを持つn-Vectorにまとまっていく次元数以上のk-vectorは作れない(どうあがいても基底が被るので) k-vector in Arbitrary Dimension n C n k n n

幾何的な対応ここから本題に入ります。前々章で幾何代数の説明で「代数的に幾何的対象を扱えるようにする」という話がありましたということで今から幾何的対象をグラスマン代数に組み込んでみましょう Geometric Correspondence

幾何的な対応試しに4次元同次座標にある2つの点についてウェッジ積を取ってみます計算してみるとこんな感じになります(計算は3次元と同様です) Geometric Correspondence (p ,
p , p , p )、(q , q , q , q ) x y z w x y z z p, q p ∧ q = (q p − p q )e + (q p − p q )e + (q p − p q )e x w x w 41 y w y w 42 z w z w 43 + (p q − p q )e + (p q − p q )e + (p q − p q )e y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (22) (23)

幾何的な対応ここで3次元( )に投影してみると・・・？ Geometric Correspondence w = 1
p ∧ q = (q − p )e + (q − p )e + (q − p )e x x 41 y y 42 z z 43 + (p q − p q )e + (p q − p q )e + (p q − p q )e y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (24) (25)

おや・・・・？

幾何的な対応ウェッジ積の結果点をを通るプリュッカー座標 Geometric Correspondence p ∧
q = (q − p )e + (q − p )e + (q − p )e x x 41 y y 42 z z 43 + (p q − p q )e + (p q − p q )e + (p q − p q )e y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (26) (27) p, q v m = (q − p , q − p , q − p ) x x y y z z = (p q − p q , p q − p q , p q − p q ) y z z y z x x z x y y x (28) (29)

幾何的な対応ウェッジ積の結果点をを通るプリュッカー座標各Bi-Vectorの係数は点 , を通る直線のプリュッカー座標と一致している Geometric Correspondence
p ∧ q = (q − p )e + (q − p )e + (q − p )e x x 41 y y 42 z z 43 + (p q − p q )e + (p q − p q )e + (p q − p q )e y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (30) (31) p, q v m = (q − p , q − p , q − p ) x x y y z z = (p q − p q , p q − p q , p q − p q ) y z z y z x x z x y y x (32) (33) p q

幾何的な対応つまりは点 , を通る直線の情報を持っている！ Geometric Correspondence p ∧ q
p q

幾何的な対応ではさらに点を追加すると・・・？これは点を含む平面の座標と一致する!(詳しくは Appendix参照) Geometric Correspondence r
p ∧ q ∧ r = l ∧ r = (v r − v r + m )e y z z y x 234 + (v p − v p + m )e z x x z y 341 + (v p − v p + m )e x y y x z 241 − (m p + m p + m p )e x x y y z z 123 p, q, r

k-vectorと幾何的対象の関係各k-vectorは対応するジオメトリを表現することができる - 1-vector : 点 - 2-vector : 直線
- 3-vector : 平面 Wedge積は２つのジオメトリが含まれるような高次のジオメトリを返す関数として働く(Meet関数) なんとなくジオメトリが変数的に扱えて、その生成を代数的に扱えることがこれでわかったと思います Relation between k-vector and Geometry

アンチウェッジ積とIntersection

補数 k-vector に対して、ウェッジ積をとると最大のグレードのn-vectorになるをの補数 Complementと呼びますただし、ウェッジ積は反交換則を持つので補数も左右を考える必要がある (符号が違うぐらいなので本質は変わらない) Complement u
u u u ∧ = u e 123...n u ∧ = u e : 123...n 右補数 ∧ u u = e : 123...n 左補数

4次元同次座標系での補数最大のグレードを持つk-Vectorはアンチスカラーと呼びと表記します足りてない基底を組み合わせたk-ectorが補数となる Example Complement in 4D Homogeneous Coordinate
I e = 1234 I = e 1 e 234 = e 23 e 14 = e 123 e 4 = e 1234 1

補数の幾何的関係性補数も一つのジオメトリとして見なすことができる k-vector complement 0-vector(スカラー) 4-Vector(アンチスカラー) 1-vector(点) 3-Vector(平面) 2-vector(直線) 2-Vector(直線)
3-vector(平面) 1-Vector(点) 4-vector(アンチスカラー) 0-Vector(スカラー) 各ジオメトリは対となるジオメトリを補数として持っている Geometric Relation of Complement

アンチウェッジ積ウェッジ積に対して、対となるような演算アンチウェッジ積というのが定義される Example Antiwedge Product a ∨ b =
∧ a b e ∨ 1234 e = 1 e 1 e ∨ 321 e = 42 e 2 e ∨ 412 e = 321 e 12 e ∨ 1 e = 423 1

アンチウェッジ積は何を表すか？ウェッジ積とアンチウェッジ積はドモルガンの法則のような関係がある (雑に考えて)集合で例えれば補数は補集合ウェッジ積は和集合アンチウェッジ積は積集合 What Antiwedge Product represent?
= a ∨ b ∧ a b = a ∧ b ∨ a b

アンチウェッジ積は何を表すか？定義の式を分解して考える。例として平面と直線のアンチウェッジ積の結果はどうなるか？は点、は線を表すの結果は平面は点何らかの点を返す演算となっている What
Antiwedge Product represent? g l g ∨ l = ∧ g l g l ∧ g l ∧ g l

アンチウェッジ積は何を表すか？アンチウェッジ積の集合的な性質を考えると出てきたものは平面と直線の積集合的な性質を持つジオメトリと推測「アンチウェッジ積は2つのジオメトリの共通部分のジオメトリを抜き出す演算」 What Antiwedge Product represent?

平面と直線のアンチウェッジ積の結果は何？そういうことで、平面と直線のアンチウェッジ積のアンチウェッジ積について実際に計算するとこの点が表す座標は平面と直線の衝突点の座標に一致する
アンチウェッジ積はIntersectionを表現できる! What’s Result of Antiwedge Product between Plane and Line? g l p = g ∨ l g ∨ l = (m n − m n + v h)e y z z y x 1 + (m n − m n + v h)e z x x z y 2 + (m n − m n + v h)e x y y x z 3 − (v g + v g + v h)e x x y y z 4 (34) (35) (36) (37) p g l

平面同士でのアンチウェッジ積は？他にも… 平面のアンチウェッジ積はPlane同士の交線が　現れる確かに「アンチウェッジ積は2つのジオメトリの共通部分のジオメトリを抜き出す演算」であることがわかる What’s Result
of Antiwedge Product between Plane and other Plane? g , g 1 2 l g ∨ 1 g = 2 l

アンチウェッジ積のIntesection表現だからと言って別にあらゆるジオメトリの衝突がそう表現できるかは別平面、直線、点というPrimitiveなものしか考えていない球とかは共形空間を考えなくてはいけない Triangleはアルゴリズムとして判定する必要がある平面との衝突判定後、トライアングル内にあるかウェッジ積で計算とは言え一般化された形で表現されるのは面白い Intersection Presentation by
Antiwedge Product

まとめ PGAとはジオメトリを代数的に取り扱えるようにした数学の分野ジオメトリの表現、操作をわずかな演算子で定義できるようになる Intersectionの演算を考えることもできる一般的な次元にも拡張可能理論的にはとてもシンプルに記述可能 (理解しやすいとは言っていない) Summery

おわりここまでの話はほんの一端(教科書の1割も行っていない) 更に様々な幾何的な変換を一般化していく大変だが知ってみるとなんだか面白いのでやってみて下さい数学的な理解が深まったので勉強としてはいいかも C++ライブラリが公開されている https://github.com/EricLengyel/Terathon-Math- Library End

参考資料 Projective Geometric Algebra Projective Geometric Algebra Illumination, Eric Lengyel
Geometric Algebra for Computer Science, Leo Dorst, Daniel Fontijne, Stephen Mann A HISTROY OF VECTOR ANALYSIS, Michael J. Crowe 幾何学と代数系, 金谷健一著古典力学の形成, 山本義隆著四元数の発見, 矢野忠著 Reference

Appendix

直線と点を含む平面 3点を含む平面の法線は次のように表示されるまた、高さについてはを使えば Plane including Line
and Point p, q, r n n = (q − p) × (r − p) = (q − p) × r − q × p h n h = −n ⋅ r

直線と点を含む平面ここでを通る直線のプリュッカー座標( )を用いると法線はと書き換えることができる。また、高さについてはという形で、直線と点の座標によって表示することができる。はこの結果の成分を全て係数として持っていることが分解すれば分かる。
Plane including Line and Point p, q l m, v n = v × r + m h = −(v × r + m) ⋅ r = −m ⋅ r l r l ∧ r

Introduction for Projective Geometric Algebra

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