Lock in $30 Savings on PRO—Offer Ends Soon! ⏳

Introduction for Projective Geometric Algebra

kinakomoti-321
October 15, 2024
390

Introduction for Projective Geometric Algebra

レイトレ合宿10のセミナーで発表した資料です
Projective Geometric Algebraの初歩の初歩について簡単にまとめたスライドです
(10/16 用語等の修正、図の修正)

kinakomoti-321

October 15, 2024
Tweet

Transcript

  1. 目次 1. Projective Geometric Algebra(PGA)とは何か 2. 同次座標系 3. 同次座標系とジオメトリの表現 4.

    PGAチュートリアル 5. アンチウェッジ積とIntersection 6. まとめ 7. おわり 8. 参考資料 9. Appendix
  2. の同次座標の解釈 は定義不能では・・・? 3次元座標 を した点 を考える。こ の同次座標は と表すことができる。 w =

    0 Interpretation for Homogeneous Coordinate w = 0 w = 0 (x, y, z) α (ax, ay, az) (ax, ay, az) = (x, y, z, ​ ) a 1
  3. プリュッカー座標 陰関数的に表現することも可能、これをImplicit Formという Implicit Fromをちょっと展開すると以下のように書ける ここで と をそれぞれDirectionとMomentと呼び、このベクトルでも直線を定義することが可能である この をまとめた座標

    をプリュッカー座標とかみたいな感じで表せられる代数系のことを言います ある一つの直線を表す座標 Plücker Coordinate (q − p) × (l − p) = 0 (q − p) × l − q × p = 0 (q − p) −q × p v × l + m = 0 v, m (v ​ , v ​ , v ​ , m ​ , m ​ , m ​ ) x y z x y z
  4. プリュッカー座標 点 とプリュッカー座標の関係 プリュッカー座標 はどんな直線を 表している? 1. Moment に対して垂直な半径 の円に接する

    直線の内 2. 右回りの方向でDirection に平行な直線 を表している そういう表し方があるぐらいに留めてください Plücker Coordinate p, q ​ ​ v m = (q ​ − p ​ , q ​ − p ​ , q ​ − p ​ ) x x y y z z = (p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ ) y z z y z x x z x y y x (1) (2) (v ​ , v ​ , v ​ , m ​ , m ​ , m ​ ) x y z x y z m ∣m∣/∣v∣ v
  5. 平面の表現 平面についても同様の話ができます。平面のImplicit Formは 平面の法線を として、高さを (スカラー)で表示できます 平面は法線の成分と によって で表現するこ とができる

    同様にこれは同次性を持ちます (平面はむしろImplicit Formの方が知られている気がします) Presentation for Plane n h n ⋅ g + h = 0 h (n ​ , n ​ , n ​ , h) x y z kn ⋅ g + kh = 0 k(n ⋅ g + h) = 0 n ⋅ g + h = 0
  6. ウェッジ積の性質 ウェッジ積は以下の性質を満たすものとして定義されています 結合則 分配則 スカラー 反可換性 Property of Wedge Product

    (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a + b) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c, a ∧ (b + c) = a ∧ b + a ∧ c s ∧ t = t ∧ s = st s ∧ a = sa a ∧ b = −b ∧ a
  7. k-Vector ウェッジ積はいくつもかけることができる(最大 回まで) ウェッジ積をかけた回数に応じて、その結果はBivector, Trivector…と名前が付けられている 一般化して 回のウェッジ積を掛けたものはk-vectorと呼ぶ k-vector は と表記できます

    この時の をGradeと言います スカラーは0-Vectorとみなします k-vectorをいくつもまとめたものをMultivectorといいます k-Vector n a ∧ b ∧ c ∧ d ∧ ... k − 1 u u ∈ ∧ R k n k s + a + b + c + a ∧ b + b ∧ c + c ∧ a + a ∧ b ∧ c
  8. 3次元座標で考えてみる 3次元座標系 について、各基底ベクトルを と表す もう一つの座標 とウェッジ積をとってみる Grasmann Algebra in 3D

    p = (p ​ , p ​ , p ​ ) x y z e ​ , e ​ , e ​ 1 2 3 p = p ​ e ​ + x 1 p ​ e ​ + y 2 p ​ e ​ z 3 q = (q ​ , q ​ , q ​ ) x y z q = q ​ e ​ + x 1 q ​ e ​ + y 2 q ​ e ​ z 3 p ∧ q
  9. 3次元座標で考えてみる 先ほどのウェッジ積の性質を用いて、展開してあげると Grasmann Algebra in 3D ​ ​ p ∧

    q = (p ​ e ​ + p ​ e ​ + p ​ e ​ ) ∧ (q ​ e ​ + q ​ e ​ + q ​ e ​ ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x 2 1 1 y x 2 1 z x 3 1 + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x y 1 2 y 2 2 2 z y 3 2 + p ​ p ​ e ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ e ​ ∧ e ​ x z 1 3 y z 2 3 z 2 3 3 (6) (7) (8) (9)
  10. 3次元座標で考えてみる 同じベクトル同士は0になる性質を利用すると Grasmann Algebra in 3D ​ ​ p ∧

    q = (p ​ e ​ + p ​ e ​ + p ​ e ​ ) ∧ (q ​ e ​ + q ​ e ​ + q ​ e ​ ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x 2 1 1 y x 2 1 z x 3 1 + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x y 1 2 y 2 2 2 z y 3 2 + p ​ p ​ e ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ e ​ ∧ e ​ x z 1 3 y z 2 3 z 2 3 3 (10) (11) (12) (13)
  11. 3次元座標で考えてみる 同じベクトル同士は0になる性質を利用すると Grasmann Algebra in 3D ​ ​ p ∧

    q = (p ​ e ​ + p ​ e ​ + p ​ e ​ ) ∧ (q ​ e ​ + q ​ e ​ + q ​ e ​ ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ y x 2 1 z x 3 1 + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x y 1 2 z y 3 2 + p ​ p ​ e ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x z 1 3 y z 2 3 (14) (15) (16) (17)
  12. 3次元座標で考えてみる 反可換性 を使う Grasmann Algebra in 3D a ∧ b

    = −b ∧ a ​ ​ p ∧ q = (p ​ e ​ + p ​ e ​ + p ​ e ​ ) ∧ (q ​ e ​ + q ​ e ​ + q ​ e ​ ) x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 = p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ y x 2 1 z x 3 1 + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x y 1 2 z y 3 2 + p ​ p ​ e ∧ e ​ + p ​ p ​ e ​ ∧ e ​ x z 1 3 y z 2 3 (18) (19) (20) (21)
  13. 3次元座標で考えてみる まとめるとこうなる 各係数がクロス積の各成分と一致している ウェッジ積はクロス積的な性質を持っていることがわかる(外積) Grasmann Algebra in 3D p ∧

    q = (p ​ q ​ − y z p ​ q ​ )e ​ ∧ z y 2 e ​ + 3 (p ​ q ​ − z x p ​ q ​ )e ​ ∧ x z 3 e ​ + 1 (p ​ q ​ − x y p ​ q ​ )e ​ ∧ y x 1 e ​ 2
  14. 任意次元のk-vector 自分自身を含まない 順番は変えられる(符号の反転はあるが) ので、 次元座標に置けるk-vectorの数は組み合わせ で表される 3次元 : 1, 3,

    3, 1 4次元 : 1, 4, 6, 4, 1 … 最終的に次元数 のグレードを持つn-Vectorにまとまっていく 次元数 以上のk-vectorは作れない(どうあがいても基底が被るので) k-vector in Arbitrary Dimension n ​ C ​ n k n n
  15. 幾何的な対応 試しに4次元同次座標 にある2つの点 についてウェッジ積を取ってみます 計算してみるとこんな感じになります(計算は3次元と同様です) Geometric Correspondence (p ​ ,

    p ​ , p ​ , p ​ )、(q ​ , q ​ , q ​ , q ​ ) x y z w x y z z p, q ​ ​ p ∧ q = (q ​ p ​ − p ​ q ​ )e ​ + (q ​ p ​ − p ​ q ​ )e ​ + (q ​ p ​ − p ​ q ​ )e ​ x w x w 41 y w y w 42 z w z w 43 + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (22) (23)
  16. 幾何的な対応 ここで3次元( )に投影してみると・・・? Geometric Correspondence w = 1 ​ ​

    p ∧ q = (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ x x 41 y y 42 z z 43 + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (24) (25)
  17. 幾何的な対応 ウェッジ積の結果 点を を通るプリュッカー座標 Geometric Correspondence ​ ​ p ∧

    q = (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ x x 41 y y 42 z z 43 + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (26) (27) p, q ​ ​ v m = (q ​ − p ​ , q ​ − p ​ , q ​ − p ​ ) x x y y z z = (p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ ) y z z y z x x z x y y x (28) (29)
  18. 幾何的な対応 ウェッジ積の結果 点を を通るプリュッカー座標 各Bi-Vectorの係数は点 , を通る直線のプリュッカー座標と一致している Geometric Correspondence ​

    ​ p ∧ q = (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ + (q ​ − p ​ )e ​ x x 41 y y 42 z z 43 + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ + (p ​ q ​ − p ​ q ​ )e ​ y z z y 23 z x x z 31 x y y x 12 (30) (31) p, q ​ ​ v m = (q ​ − p ​ , q ​ − p ​ , q ​ − p ​ ) x x y y z z = (p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ , p ​ q ​ − p ​ q ​ ) y z z y z x x z x y y x (32) (33) p q
  19. 幾何的な対応 ではさらに点 を追加すると・・・? これは点 を含む平面の座標と一致する!(詳しくは Appendix参照) Geometric Correspondence r ​

    ​ p ∧ q ∧ r = l ∧ r = (v ​ r ​ − v ​ r ​ + m ​ )e ​ y z z y x 234 + (v ​ p ​ − v ​ p ​ + m ​ )e ​ z x x z y 341 + (v ​ p ​ − v ​ p ​ + m ​ )e ​ x y y x z 241 − (m ​ p ​ + m ​ p ​ + m ​ p ​ )e ​ x x y y z z 123 p, q, r
  20. k-vectorと幾何的対象の関係 各k-vectorは対応するジオメトリを表現することができる - 1-vector : 点 - 2-vector : 直線

    - 3-vector : 平面 Wedge積は2つのジオメトリが含まれるような高次のジオメトリを返す関数として働く(Meet関数) なんとなくジオメトリが変数的に扱えて、その生成を代数的に扱えることがこれでわかったと思います Relation between k-vector and Geometry
  21. 補数の幾何的関係性 補数も一つのジオメトリとして見なすことができる k-vector complement 0-vector(スカラー) 4-Vector(アンチスカラー) 1-vector(点) 3-Vector(平面) 2-vector(直線) 2-Vector(直線)

    3-vector(平面) 1-Vector(点) 4-vector(アンチスカラー) 0-Vector(スカラー) 各ジオメトリは対となるジオメトリを補数として持っている Geometric Relation of Complement
  22. アンチウェッジ積 ウェッジ積に対して、対となるような演算アンチウェッジ積というのが定義される Example Antiwedge Product a ∨ b = ​

    ∧ a b e ​ ∨ 1234 e ​ = 1 e ​ 1 e ​ ∨ 321 e ​ = 42 e ​ 2 e ​ ∨ 412 e ​ = 321 e ​ 12 e ​ ∨ 1 e ​ = 423 1
  23. 平面と直線のアンチウェッジ積の結果は何? そういうことで、平面 と直線 のアンチウェッジ積のアンチウェッジ 積について実際に計算すると この点 が表す座標は平面 と直線 の衝突点の座標に一致 する

    アンチウェッジ積はIntersectionを表現できる! What’s Result of Antiwedge Product between Plane and Line? g l p = g ∨ l ​ ​ g ∨ l = (m ​ n ​ − m ​ n ​ + v ​ h)e ​ y z z y x 1 + (m ​ n ​ − m ​ n ​ + v ​ h)e ​ z x x z y 2 + (m ​ n ​ − m ​ n ​ + v ​ h)e ​ x y y x z 3 − (v ​ g ​ + v ​ g ​ + v ​ h)e ​ x x y y z 4 (34) (35) (36) (37) p g l
  24. 参考資料 Projective Geometric Algebra Projective Geometric Algebra Illumination, Eric Lengyel

    Geometric Algebra for Computer Science, Leo Dorst, Daniel Fontijne, Stephen Mann A HISTROY OF VECTOR ANALYSIS, Michael J. Crowe 幾何学と代数系, 金谷健一 著 古典力学の形成, 山本義隆 著 四元数の発見, 矢野忠 著 Reference