そろそろ「多項ロジットかネストロジットか」という話を更新しよう/Beyond-Multinomial-and-Nested-Logit

そろそろ「多項ロジットかネストロジ
ットか」という話を更新しよう
多項ロジットからプロビット, そして最近 (?) の
動向へ
Katagiri, Satoshi (ill-identified)
2021-03-06 (Tokyo.R #90)
1

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初めに

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自己紹介
• しがないサラリーマン
• ブログで主語の大きい話するのが好き
•『「全数調査なら何でもわかる」という誤解』
•『計量経済学と機械学習の関係』
•『おまえは万物を RSTUDIO で書ける』
• 最近は 3 つくらい書き溜めているが完成しない
2

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宣伝 (1): R Markdown Cookbook 翻訳中
• CC-BY-NC-SA なので当然無料公開予定
• 現在 9 章を翻訳中 (全 17 章 + Appendix)
• PDF のみ翻訳中のものを随時更新
• HTML 版をコンパイルすることも可
3

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宣伝 (2): このスライドは rmdja パッケージで作成
されました
• https://github.com/Gedevan-Aleksizde/rmdja
•「R Markdown ソースから HTML も PDF も簡単に作
る」
「日本語表示にも対応」を目標に
• ドキュメント
• R Markdown 全般の解説も兼ねている
• 今は Cookbook 翻訳のため開発停滞中
• 追加予定の機能は作業用ブランチにメモ
4

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お買い得物件の話はどうなったの
• 進捗が中途半端
• みなさんがお買い得物件を見つけるのにあまり役に
立たない
• R と関係ない話が多い
• 近いうちにブログのほうになにか書く
5

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今回話すこと
• 離散選択モデルの解説
• 混合ロジット, 多項プロビットと主要アルゴリズムの
性能比較
• そこまで目新しい内容ではない
• 最新の手法が 2010 年提案
• 各手法のサーベイが 2017 年
• しかし日本語で言及してる教科書は少ない
• 比較するのは R パッケージの範疇
• 自分で書くには時間がなかった
6

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補足: 前回の LT との関係
• mns_econ さんの『需要関数推定入門』
• 多項ロジットとネストロジットの話で終わった
• 今回の位置づけは「より発展したロジットモデル」
• 本人の名誉のため補足:
• 彼が知らないことは無いはず
• 引用している Nevo の論文 [15] にも書かれている
• 5 分で全部紹介するのは無理
• 彼の発表でずっと前に調査放置してたのを思い出し
た
• 自分で発表する予定だったらごめん
7

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ある程度知ってる人向けの前置き
• だいぶ簡略化されてしまった多項プロビットの説明
1. IIA を気にしなくて良い
2. 5 通り以上の選択肢の計算は不可能
3. 計算が大変
しかし実はこの指摘はあまり本質的ではない
1. IIA と相関構造の対応
2. それは 80 年代の話
3. 最近もアルゴリズムが発展してる
8

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認識共有

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今回の話を概ねカバーしてる教科書
• 詳細は教科書に投げる
• どれか 1 つで可
• Train [18], Ch.3-5
• Wooldridge [19], Ch.16
• Hansen [6], Ch.26
• Cameron and Trivedi [5], Ch.15
• Train, Hansen は PDF が一般公開
• Greene は読んだことがない
• 日本語だと Hsiao [8]; 北村 [24]; 山本勲 [21] とか?
• 日本語ではまだこの辺の話は少ない
• 大昔に自分で書いたやつ1 (上記英書籍の要約)
1https://ill-identified.hatenablog.com/entry/2014/07/22/015018
9

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潜在効用モデルから多項ロジット導く (1/2)
• 効用理論に基づいて意思決定を分析するモデル
• 𝐽 個の選択肢をに対して効用 (utility) 𝑈𝑗
があり, 𝑉𝑗
,
𝜀𝑗
に分解できると仮定
𝑈𝑗
= 𝑉𝑗
+ 𝜀𝑗
, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝐽
• 𝑉 は変数で表現できる部分
• 例: 商品の価格
• 𝜀 は誤差項と観察できない意思決定者の属性
• 年齢や性別は分かっても「好み」は調べにくい
• 観測できれば 𝑉 に含めても良い (条件ロジット)
10

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潜在効用モデルから多項ロジット導く (2/2)
• 人は最も効用の大きい選択肢を選ぶ
• 𝑗 が選ばれる確率 𝑝𝑗
は?
𝑝𝑗
= P(𝑉𝑗
> 𝑉𝑙
, ∀𝑙 ≠ 𝑗)
• 𝜀𝑗
が互いに独立なガンベル分布 (Type-I 極値分布) と
仮定する
• 極値分布: 複数の確率変数から最大値だけを選び続け
たらどんな分布になる?
𝐹(𝜀) = exp(− exp(−𝜀))
11

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(補足) ガンベル分布の形状
• 正規分布と違い期待値がゼロではない
• わかりにくいが少し歪んでいる
• 相対的な比較なので問題にはならない
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
12

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各選択肢を選ぶ確率
• この仮定から 𝑝𝑗
を求めるとソフトマックス関数が
現れる
𝑝𝑗
=
exp(𝑉𝑗
)
∑𝐽
𝑙=1
exp(𝑉𝑙
)
• それぞれ 0 ≤ 𝑝𝑗
≤ 1, かつ 𝑝1
, ⋯ , 𝑝𝐽
の合計が 1
• 確率として自然な制約になっている
13

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多項ロジットとロジスティック分布
• 通常は 𝑉1
= 0 に固定, 他の 𝑉𝑗
はその相対値,
̃
𝑉𝑗
= 𝑉𝑗
− 𝑉1
で置き換える
• 実際の計算を簡単にするため
• 𝑈𝑗
の絶対値は重要でないため
• 𝐽 = 2 だとロジスティック分布になる
0.0
0.5
1.0
-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
p
14

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多項ロジットモデルは最尤推定可能
• 個人 𝑖 が選んだ選択肢を 𝑦𝑖
と書く
• 𝑉𝑗
= 𝑥⊤
𝑗
𝛽 という線形モデルを考える
• 以下のような対数尤度
• 凹関数になると証明されている [12] ので最尤法の計
算は簡単
LL =
𝑁
∑
𝑖=1
𝐽
∑
𝑗=1
1{𝑦𝑖
= 𝑗} ln 𝑝𝑖,𝑗
(𝑥⊤
𝑗
𝛽)
𝑝𝑖,𝑗
(𝑥⊤
𝑗
𝛽) =
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽)
∑
𝑙
𝑥⊤
𝑙
𝛽
15

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MNL = ロジスティック/ソフトマックス回帰
• 𝐽 = 2 なら 𝑝2
はロジスティック分布になる
𝑝1
=
1
1 + exp( ̃
𝑉2
)
, 𝑝2
=
exp( ̃
𝑉2
)
1 + exp( ̃
𝑉2
)
• 2 値ロジットは GLM のロジスティック回帰と同一
• 少し記号を置き換えるとよく見る対数損失の符
号逆転
LL = ∑
𝑖
(𝑦𝑖
ln(𝑝𝑖
) + (1 − 𝑦𝑖
) ln(1 − 𝑝𝑖
))
• 𝐽 ≥ 2 の一般形なら機械学習のソフトマックス回帰
とほぼ同じ
• 線形予測子を基準化するかどうかの違い
16

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多項ロジットの暗黙の仮定
• 𝑝𝑗
対 𝑝ℎ
の対数オッズ比
ln
𝑝𝑗
𝑝ℎ
= (𝑥𝑗
− 𝑥ℎ
)⊤𝛽, 𝑗 ≠ ℎ
• オッズ比に 𝑗, ℎ 以外の他の選択肢の確率が含まれて
いない
• 無関係な選択肢からの独立の仮定 (IIA)
以降は各モデルの比較にオッズ比を見ていく
17

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ちょっと待て何に使うんじゃ
• 選択肢から選ぶタイプの意思決定全般を扱える
• 就業・就学モデル
• (山口先生のスライド [20] が比較的単純)
•「どの商品を選ぶか」を考慮した需要関数の推定
• 商品選択 + 数量選択を考える (日本語の解説 [25])
• 交通工学? でも応用例 [23]
• どの交通機関を選ぶかの意思決定を分析
• 交通政策や都市計画の参考に
Q: 本当に何にでも使えるの?
18

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IIA は直感と矛盾? (1/2)
• バスか自家用車か [12]
• 2/3 が自家用車を選ぶとする
• 1/3 はバス
• オッズ比は 1/2
• ではもう 1 つ別の交通会社のバスがあったら?
• 2 つのバスはほとんど同一
• あなたならどうする?
19

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IIA は直感と矛盾? (2/2)
• 自然な予想: バスの 1/3 が均等に分かれる
• IIA と矛盾
• 各オッズ比は他の選択肢に影響されない
• 1/2, 1/4, 1/4 であるべき
表 1: IIA と直感の矛盾
Auto Bus1 Bus2 Auto:Bus1 のオッズ比
2 択 2/3 1/3 2
直感 2/3 1/6 1/6 4
IIA 1/2 1/4 1/4 2
20

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脱 IIA: ネストロジット (NL)
• みなさんが考えたのは段階的な意思決定
• バスか車か
• バスならばどっちか
• これは IIA を満たさない
• IIA でない意思決定が存在する
• ネスト (入れ子) 状の意思決定
• ネストロジットの出番
• 選択肢をネストしたモデル
• ネストを深くすることも可 (一般化 NL)
21

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一般化極値 (GEV) モデル
• 順序ロジットというのもある
• 例: 寿司のグレード
• 優先順位がある選択肢も IIA ではない
• 一般化極値モデル [13]
• 選択肢どうしで独立していない
• = 相関関係があるという設定のモデルの総称
• よって順序/ネストは MNL の拡張
• 分散不均一なモデル (HEV) も含まれる
•「GEV モデルを推定するアルゴリズム」はない
• GEV モデル全般の研究は進んでない?
• 現状 GLM のようなカテゴリと言う位置づけ?
22

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特定化の検定とネストロジット
• 特定化の検定 [7]
• 帰無仮説が IIA の仮定に対応
• ロジット系は同じ数式に一般化できる
• ネストロジットのパラメータが特定の値なら多項に
• 棄却されたらネストロジットのほうが好ましい
23

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多項ロジットの「認識共有」の要約 [18]
• 多項ロジットが推定できないケース
1. IIA を満たさない意思決定
2. random taste variation のある意思決定
3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ
る推定
• ネストロジット (or GEV) は (1) のみ対処可能
• Hausman 検定で多項ロジットかネストロジットか
の判断が可能
24

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認識更新 1: 理論面での進展

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多項プロビットモデル (1/2)
• 効用最大化のモデル 𝑈 = 𝑉 + 𝜀 まで共通
• ロジットモデル = 誤差項がガンベル分布
• プロビットモデル = 誤差項が多変量正規分布
• 単なる 𝐽 個の独立正規分布ではダメ
• cf. 「IIA は選択肢どうしの独立性に対応」
• cf
𝜙(𝜀) =
1
(2𝜋)(𝐽/2) det(Σ)1/2
exp(−
𝜀⊤Σ−1𝜀
2
)
𝜀 = [𝜀1
⋯ 𝜀𝐽
]
⊤
25

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多項プロビットモデル (2/2)
• 同じように選択確率を求めても閉形式にできない
• 𝐽 個の 𝜀𝑗
に対する積分が必要
• オッズ比 𝑝𝑗
/𝑝ℎ
は全ての選択確率に依存しうる
• IIA は要求されない
𝑝𝑗
=P(𝑈𝑗
> 𝑈ℎ
∀ℎ ≠ 𝑗)
= ∫ 1(𝑈𝑗
> 𝑈ℎ
∀ℎ ≠ 𝑗)𝜙(𝜀)𝑑𝜀
= ∫
𝜀∈𝐵𝑗
𝜙(𝜀)𝑑𝜀,
𝐵𝑗
∶= {𝜀 ∶ 𝑉𝑗
+ 𝜀𝑗
> 𝑉ℎ
+ 𝜀ℎ
∀ℎ ≠ 𝑗}
26

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多項プロビットモデルの特徴
• 意思決定が IIA でなくてもよい
• オッズ比が全ての選択肢に依存しうるため
それだけではない
• ネストロジットや GEV が対処できない 2 つのケース
も対処可能 [18]
2. random taste variation のある意思決定
3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ
る推定
• 説明してると時間足りないので省略
• 離散選択の応用ではいろいろな状況を考える必要
27

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MLP のまとめ
• 多変量正規分布を使うといろいろな利点
• IIA の仮定なし
• 様々な状況に対応しやすい
• 逆に問題点
• 計算が複雑に
• そもそもの効用モデルと定式化が違う
28

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ロジットはもう要らない? -> 混合ロジット
• McFadden and Train [14] で整備される
• 一部の分野で latent class model と呼ばれているもの
と同じ?
• 多項ロジットの係数 𝛽 を確率変数にする
𝑝𝑗
=
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽)
∑
ℎ
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽))
従来の多項ロジット
𝑝𝑗
= ∫
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽)
∑
ℎ
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽))
𝑓(𝛽)𝑑𝛽 混合ロジット
29

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混合ロジットの性質
• Mixed だと閉形式でなくなってしまう
• MLP に対する優位が消えてない?
1. IIA の制約が消える
• オッズ比に現れる
2. 標準的なロジットを近似できる [18]
• ランダム効用モデル本来の仮定に沿ったモデル
• 一般論としては近似的な数値計算がないほうが望
ましい
30

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なぜ混合ロジットなら IIA の仮定が不要になるか
• 𝑥⊤
𝑗
𝛽 が 𝜀𝑗
同様ランダムに
• 多項ロジットはオッズ比 𝑝𝑗
/𝑝ℎ
は確定的だった
• 今度は確率的なので相関関係に注意
• ヒント: 共分散は Cov(𝑈𝑗
, 𝑈ℎ
) = 𝑥⊤
𝑗
V(𝛽)𝑥ℎ
31

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混合ロジットの「混合」とは
• 𝑓(𝛽) をどうする?
1. 有限混合
2. 無限混合ガウシアン (普通はこちらを mixed という)
𝑝𝑗
=
𝑀
∑
𝑚=1
𝑓𝑚
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽
𝑚
)
∑
ℎ
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽
𝑚
))
有限混合
𝑝𝑗
= ∫
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽)
∑
ℎ
exp(𝑥⊤
𝑗
𝛽))
𝜙(𝛽)𝑑𝛽 無限混合
32

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ロジット・プロビットのまとめ
• 多項 L: 最も単純, IIA や個別効果があるとやりづらい
• ネスト L: IIA に対処, 計算も比較的簡単
• 混合 L: IIA に対処, 計算大変?
• 多項 P: IIA に対処, 計算大変?
• 理論面では 2000 年までにだいたい固まっている
• ではどういうアルゴリズムで計算するか
33

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認識更新 2: アルゴリズムの進展

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多項プロビットは計算量が多い?
• 𝐽 − 1 次元の数値積分と 𝐽(𝐽 − 1)/2 − 1 個の共分散行
列パラメータ
• 今はノート PC でも MCMC できる
• 𝐽 ≥ 5 だと計算困難
• それはたぶん 80 年代頃の話
• 応用例自体がなかった?
• 現在は新しいアルゴリズムもある
• 精度にも注意すべき
• 統計的性質 / 数値計算の精度
34

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代表的なアルゴリズム (古い順)
1. 受容-棄却 (A-R) 法 (80 年代) * 古いので詳細略
2. GHK (Geweke, Hajivassiliou, Keane) (80-90s)
3. マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) (90-00s)
4. 最大近似合成周辺尤度推定法 (MACML) (10s-)
35

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MLP のアルゴリズム 1: GHK
• 別名, シミュレーション最尤法 (Simulated
Maximum Likelihood)
• 誤差項が互いに相関しているのがネック
• コレスキ分解で相関関係を打ち消して各 𝑝𝑗
をモンテ
カルロ積分 (分からない)
• 長くなるので教科書を読んでください ([18], § 5.6)
36

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MLP のアルゴリズム 2: MCMC
• 文字通り有名な MCMC で計算 [11]
• 今井 & van Dyk[10, 9] の実装
• data augmentation [17] + M-H sampler
• MNP パッケージとして CRAN に登録
• Stan は時間がなかったので省略
37

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MLP のアルゴリズム 3: MACML
• 最大近似合成周辺尤度推定法 ([3, 4])
• 日本語の解説スライド [26]
• 𝑝𝑗
の近似計算を最小自乗法の応用で GHK より効率
化してるらしい
• 尤度の同時分布も (時間とか個人とかで) 分解し次元
を減らす
• 交通工学? 分野で普及し始めてる?
• 最近少し批判的な話 [2] が出たらしいが読めてない
38

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性能比較の実験 (未完成)

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モデル/アルゴリズムはどれがいいの?
• 先行研究:
• 数値積分も工夫した GHK より MACML が精度も計算
時間も優れ, MCMC も場合によっては同等に優秀
[16]
• GHK や MCMC より変分ベイズが 16 倍速い [1]
• 他にもありそうだが読んでない
•「多項プロビット vs 混合ロジット」という論点は
ない?
• MNL, NL, 3 種の MNP で性能比較
39

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試すモデルとアルゴリズム
• MNL (最尤法): mlogit::mlogit
• Mixed Logit: mlogit + rpar オプション
• MLP:
• GHK: mlogit + probit オプション
• MCMC: MNP::mnp
• MACML: 著者のソースコード2
• 実験のソースコードはここ
2https://www.caee.utexas.edu/prof/bhat/MACML.html
40

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データ
• MACML 著者のデータセット使用
• MACML だけパッケージ化されてない
• true value のわかる実験用データ
41

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構文の例
mnl <- mlogit(choice ~ ., data = df)
mixl <- mlogit(choice ~ .,
data = df,
rpar = c(x1 = "n", ...), R = 10
)
mnp <- mlogit(choice ~ ., data = df_mlogit,
probit = T, R = 10)
↪
mnp2 <- mnp(choice ~ 1,
choiceX = list(
c1 = cbind(x1.c1, ...),
c2 = cbind(x1.c2, ...)
),
cXnames = c("x1", ...), data = df_wide
42

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結果
(作業中)
43

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さいごに
• MACML の実装がアレなので遅い
• 逆に言えば C++ なら相当速いはず
•「IIA の制約があるから使いにくい」はよくない
• Hansen「全部試したほうがいいよ」
• MNL は IIA を満たしているかの検証に使える
44

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わからなかったこと
• 𝐽 をめちゃくちゃ大きくした場合の挙動
• 誰かの卒論? 修論?[22] では 𝐽 = 8 でも普通にできる
らしい
• MNP は実装でどれだけ変わるか
• 共役事前分布? あるいは別の事前分布?
• 計算効率化のための新機能の効果は?
• 変分ベイズも試してない
• MACML を C++ とかで書き直すべき
• 混合ロジット versus 多項プロビット
• 交通系の人はロジットに執着がない?
45

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参考文献

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柳沼秀樹 (2014). “集中理論談話会 #9”. URL: here.
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そろそろ「多項ロジットかネストロジットか」という話を更新しよう/Beyond-Multinomial-and-Nested-Logit

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