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そろそろ「多項ロジットかネストロジットか」という話を更新しよう/Beyond-Multinomial-and-Nested-Logit

S-Katagiri
March 06, 2021

 そろそろ「多項ロジットかネストロジットか」という話を更新しよう/Beyond-Multinomial-and-Nested-Logit

Tokyo.R #90
残念ながら未完成です
(発表後誤字修正)

S-Katagiri

March 06, 2021
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Transcript

  1. そろそろ「多項ロジットかネストロジ
    ットか」という話を更新しよう
    多項ロジットからプロビット, そして最近 (?) の
    動向へ
    Katagiri, Satoshi (ill-identified)
    2021-03-06 (Tokyo.R #90)
    1

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  2. 初めに

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  3. 自己紹介
    • しがないサラリーマン
    • ブログで主語の大きい話するのが好き
    •『「全数調査なら何でもわかる」という誤解』
    •『計量経済学と機械学習の関係』
    •『おまえは万物を RSTUDIO で書ける』
    • 最近は 3 つくらい書き溜めているが完成しない
    2

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  4. 宣伝 (1): R Markdown Cookbook 翻訳中
    • CC-BY-NC-SA なので当然無料公開予定
    • 現在 9 章を翻訳中 (全 17 章 + Appendix)
    • PDF のみ翻訳中のものを随時更新
    • HTML 版をコンパイルすることも可
    3

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  5. 宣伝 (2): このスライドは rmdja パッケージで作成
    されました
    • https://github.com/Gedevan-Aleksizde/rmdja
    •「R Markdown ソースから HTML も PDF も簡単に作
    る」
    「日本語表示にも対応」を目標に
    • ドキュメント
    • R Markdown 全般の解説も兼ねている
    • 今は Cookbook 翻訳のため開発停滞中
    • 追加予定の機能は作業用ブランチにメモ
    4

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  6. お買い得物件の話はどうなったの
    • 進捗が中途半端
    • みなさんがお買い得物件を見つけるのにあまり役に
    立たない
    • R と関係ない話が多い
    • 近いうちにブログのほうになにか書く
    5

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  7. 今回話すこと
    • 離散選択モデルの解説
    • 混合ロジット, 多項プロビットと主要アルゴリズムの
    性能比較
    • そこまで目新しい内容ではない
    • 最新の手法が 2010 年提案
    • 各手法のサーベイが 2017 年
    • しかし日本語で言及してる教科書は少ない
    • 比較するのは R パッケージの範疇
    • 自分で書くには時間がなかった
    6

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  8. 補足: 前回の LT との関係
    • mns_econ さんの『需要関数推定入門』
    • 多項ロジットとネストロジットの話で終わった
    • 今回の位置づけは「より発展したロジットモデル」
    • 本人の名誉のため補足:
    • 彼が知らないことは無いはず
    • 引用している Nevo の論文 [15] にも書かれている
    • 5 分で全部紹介するのは無理
    • 彼の発表でずっと前に調査放置してたのを思い出し

    • 自分で発表する予定だったらごめん
    7

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  9. ある程度知ってる人向けの前置き
    • だいぶ簡略化されてしまった多項プロビットの説明
    1. IIA を気にしなくて良い
    2. 5 通り以上の選択肢の計算は不可能
    3. 計算が大変
    しかし実はこの指摘はあまり本質的ではない
    1. IIA と相関構造の対応
    2. それは 80 年代の話
    3. 最近もアルゴリズムが発展してる
    8

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  10. 認識共有

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  11. 今回の話を概ねカバーしてる教科書
    • 詳細は教科書に投げる
    • どれか 1 つで可
    • Train [18], Ch.3-5
    • Wooldridge [19], Ch.16
    • Hansen [6], Ch.26
    • Cameron and Trivedi [5], Ch.15
    • Train, Hansen は PDF が一般公開
    • Greene は読んだことがない
    • 日本語だと Hsiao [8]; 北村 [24]; 山本勲 [21] とか?
    • 日本語ではまだこの辺の話は少ない
    • 大昔に自分で書いたやつ1 (上記英書籍の要約)
    1https://ill-identified.hatenablog.com/entry/2014/07/22/015018
    9

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  12. 潜在効用モデルから多項ロジット導く (1/2)
    • 効用理論に基づいて意思決定を分析するモデル
    • 𝐽 個の選択肢をに対して効用 (utility) 𝑈𝑗
    があり, 𝑉𝑗
    ,
    𝜀𝑗
    に分解できると仮定
    𝑈𝑗
    = 𝑉𝑗
    + 𝜀𝑗
    , 𝑗 = 1, ⋯ , 𝐽
    • 𝑉 は変数で表現できる部分
    • 例: 商品の価格
    • 𝜀 は誤差項と観察できない意思決定者の属性
    • 年齢や性別は分かっても「好み」は調べにくい
    • 観測できれば 𝑉 に含めても良い (条件ロジット)
    10

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  13. 潜在効用モデルから多項ロジット導く (2/2)
    • 人は最も効用の大きい選択肢を選ぶ
    • 𝑗 が選ばれる確率 𝑝𝑗
    は?
    𝑝𝑗
    = P(𝑉𝑗
    > 𝑉𝑙
    , ∀𝑙 ≠ 𝑗)
    • 𝜀𝑗
    が互いに独立なガンベル分布 (Type-I 極値分布) と
    仮定する
    • 極値分布: 複数の確率変数から最大値だけを選び続け
    たらどんな分布になる?
    𝐹(𝜀) = exp(− exp(−𝜀))
    11

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  14. (補足) ガンベル分布の形状
    • 正規分布と違い期待値がゼロではない
    • わかりにくいが少し歪んでいる
    • 相対的な比較なので問題にはならない
    -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
    12

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  15. 各選択肢を選ぶ確率
    • この仮定から 𝑝𝑗
    を求めるとソフトマックス関数が
    現れる
    𝑝𝑗
    =
    exp(𝑉𝑗
    )
    ∑𝐽
    𝑙=1
    exp(𝑉𝑙
    )
    • それぞれ 0 ≤ 𝑝𝑗
    ≤ 1, かつ 𝑝1
    , ⋯ , 𝑝𝐽
    の合計が 1
    • 確率として自然な制約になっている
    13

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  16. 多項ロジットとロジスティック分布
    • 通常は 𝑉1
    = 0 に固定, 他の 𝑉𝑗
    はその相対値,
    ̃
    𝑉𝑗
    = 𝑉𝑗
    − 𝑉1
    で置き換える
    • 実際の計算を簡単にするため
    • 𝑈𝑗
    の絶対値は重要でないため
    • 𝐽 = 2 だとロジスティック分布になる
    0.0
    0.5
    1.0
    -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
    p
    14

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  17. 多項ロジットモデルは最尤推定可能
    • 個人 𝑖 が選んだ選択肢を 𝑦𝑖
    と書く
    • 𝑉𝑗
    = 𝑥⊤
    𝑗
    𝛽 という線形モデルを考える
    • 以下のような対数尤度
    • 凹関数になると証明されている [12] ので最尤法の計
    算は簡単
    LL =
    𝑁

    𝑖=1
    𝐽

    𝑗=1
    1{𝑦𝑖
    = 𝑗} ln 𝑝𝑖,𝑗
    (𝑥⊤
    𝑗
    𝛽)
    𝑝𝑖,𝑗
    (𝑥⊤
    𝑗
    𝛽) =
    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽)

    𝑙
    𝑥⊤
    𝑙
    𝛽
    15

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  18. MNL = ロジスティック/ソフトマックス回帰
    • 𝐽 = 2 なら 𝑝2
    はロジスティック分布になる
    𝑝1
    =
    1
    1 + exp( ̃
    𝑉2
    )
    , 𝑝2
    =
    exp( ̃
    𝑉2
    )
    1 + exp( ̃
    𝑉2
    )
    • 2 値ロジットは GLM のロジスティック回帰と同一
    • 少し記号を置き換えるとよく見る対数損失の符
    号逆転
    LL = ∑
    𝑖
    (𝑦𝑖
    ln(𝑝𝑖
    ) + (1 − 𝑦𝑖
    ) ln(1 − 𝑝𝑖
    ))
    • 𝐽 ≥ 2 の一般形なら機械学習のソフトマックス回帰
    とほぼ同じ
    • 線形予測子を基準化するかどうかの違い
    16

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  19. 多項ロジットの暗黙の仮定
    • 𝑝𝑗
    対 𝑝ℎ
    の対数オッズ比
    ln
    𝑝𝑗
    𝑝ℎ
    = (𝑥𝑗
    − 𝑥ℎ
    )⊤𝛽, 𝑗 ≠ ℎ
    • オッズ比に 𝑗, ℎ 以外の他の選択肢の確率が含まれて
    いない
    • 無関係な選択肢からの独立の仮定 (IIA)
    以降は各モデルの比較にオッズ比を見ていく
    17

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  20. ちょっと待て何に使うんじゃ
    • 選択肢から選ぶタイプの意思決定全般を扱える
    • 就業・就学モデル
    • (山口先生のスライド [20] が比較的単純)
    •「どの商品を選ぶか」を考慮した需要関数の推定
    • 商品選択 + 数量選択を考える (日本語の解説 [25])
    • 交通工学? でも応用例 [23]
    • どの交通機関を選ぶかの意思決定を分析
    • 交通政策や都市計画の参考に
    Q: 本当に何にでも使えるの?
    18

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  21. IIA は直感と矛盾? (1/2)
    • バスか自家用車か [12]
    • 2/3 が自家用車を選ぶとする
    • 1/3 はバス
    • オッズ比は 1/2
    • ではもう 1 つ別の交通会社のバスがあったら?
    • 2 つのバスはほとんど同一
    • あなたならどうする?
    19

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  22. IIA は直感と矛盾? (2/2)
    • 自然な予想: バスの 1/3 が均等に分かれる
    • IIA と矛盾
    • 各オッズ比は他の選択肢に影響されない
    • 1/2, 1/4, 1/4 であるべき
    表 1: IIA と直感の矛盾
    Auto Bus1 Bus2 Auto:Bus1 のオッズ比
    2 択 2/3 1/3 2
    直感 2/3 1/6 1/6 4
    IIA 1/2 1/4 1/4 2
    20

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  23. 脱 IIA: ネストロジット (NL)
    • みなさんが考えたのは段階的な意思決定
    • バスか車か
    • バスならばどっちか
    • これは IIA を満たさない
    • IIA でない意思決定が存在する
    • ネスト (入れ子) 状の意思決定
    • ネストロジットの出番
    • 選択肢をネストしたモデル
    • ネストを深くすることも可 (一般化 NL)
    21

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  24. 一般化極値 (GEV) モデル
    • 順序ロジットというのもある
    • 例: 寿司のグレード
    • 優先順位がある選択肢も IIA ではない
    • 一般化極値モデル [13]
    • 選択肢どうしで独立していない
    • = 相関関係があるという設定のモデルの総称
    • よって順序/ネストは MNL の拡張
    • 分散不均一なモデル (HEV) も含まれる
    •「GEV モデルを推定するアルゴリズム」はない
    • GEV モデル全般の研究は進んでない?
    • 現状 GLM のようなカテゴリと言う位置づけ?
    22

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  25. 特定化の検定とネストロジット
    • 特定化の検定 [7]
    • 帰無仮説が IIA の仮定に対応
    • ロジット系は同じ数式に一般化できる
    • ネストロジットのパラメータが特定の値なら多項に
    • 棄却されたらネストロジットのほうが好ましい
    23

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  26. 多項ロジットの「認識共有」の要約 [18]
    • 多項ロジットが推定できないケース
    1. IIA を満たさない意思決定
    2. random taste variation のある意思決定
    3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ
    る推定
    • ネストロジット (or GEV) は (1) のみ対処可能
    • Hausman 検定で多項ロジットかネストロジットか
    の判断が可能
    24

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  27. 認識更新 1: 理論面での進展

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  28. 多項プロビットモデル (1/2)
    • 効用最大化のモデル 𝑈 = 𝑉 + 𝜀 まで共通
    • ロジットモデル = 誤差項がガンベル分布
    • プロビットモデル = 誤差項が多変量正規分布
    • 単なる 𝐽 個の独立正規分布ではダメ
    • cf. 「IIA は選択肢どうしの独立性に対応」
    • cf
    𝜙(𝜀) =
    1
    (2𝜋)(𝐽/2) det(Σ)1/2
    exp(−
    𝜀⊤Σ−1𝜀
    2
    )
    𝜀 = [𝜀1
    ⋯ 𝜀𝐽
    ]

    25

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  29. 多項プロビットモデル (2/2)
    • 同じように選択確率を求めても閉形式にできない
    • 𝐽 個の 𝜀𝑗
    に対する積分が必要
    • オッズ比 𝑝𝑗
    /𝑝ℎ
    は全ての選択確率に依存しうる
    • IIA は要求されない
    𝑝𝑗
    =P(𝑈𝑗
    > 𝑈ℎ
    ∀ℎ ≠ 𝑗)
    = ∫ 1(𝑈𝑗
    > 𝑈ℎ
    ∀ℎ ≠ 𝑗)𝜙(𝜀)𝑑𝜀
    = ∫
    𝜀∈𝐵𝑗
    𝜙(𝜀)𝑑𝜀,
    𝐵𝑗
    ∶= {𝜀 ∶ 𝑉𝑗
    + 𝜀𝑗
    > 𝑉ℎ
    + 𝜀ℎ
    ∀ℎ ≠ 𝑗}
    26

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  30. 多項プロビットモデルの特徴
    • 意思決定が IIA でなくてもよい
    • オッズ比が全ての選択肢に依存しうるため
    それだけではない
    • ネストロジットや GEV が対処できない 2 つのケース
    も対処可能 [18]
    2. random taste variation のある意思決定
    3. 観測できない要素が時間相関するパネルデータによ
    る推定
    • 説明してると時間足りないので省略
    • 離散選択の応用ではいろいろな状況を考える必要
    27

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  31. MLP のまとめ
    • 多変量正規分布を使うといろいろな利点
    • IIA の仮定なし
    • 様々な状況に対応しやすい
    • 逆に問題点
    • 計算が複雑に
    • そもそもの効用モデルと定式化が違う
    28

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  32. ロジットはもう要らない? -> 混合ロジット
    • McFadden and Train [14] で整備される
    • 一部の分野で latent class model と呼ばれているもの
    と同じ?
    • 多項ロジットの係数 𝛽 を確率変数にする
    𝑝𝑗
    =
    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽)


    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽))
    従来の多項ロジット
    𝑝𝑗
    = ∫
    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽)


    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽))
    𝑓(𝛽)𝑑𝛽 混合ロジット
    29

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  33. 混合ロジットの性質
    • Mixed だと閉形式でなくなってしまう
    • MLP に対する優位が消えてない?
    1. IIA の制約が消える
    • オッズ比に現れる
    2. 標準的なロジットを近似できる [18]
    • ランダム効用モデル本来の仮定に沿ったモデル
    • 一般論としては近似的な数値計算がないほうが望
    ましい
    30

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  34. なぜ混合ロジットなら IIA の仮定が不要になるか
    • 𝑥⊤
    𝑗
    𝛽 が 𝜀𝑗
    同様ランダムに
    • 多項ロジットはオッズ比 𝑝𝑗
    /𝑝ℎ
    は確定的だった
    • 今度は確率的なので相関関係に注意
    • ヒント: 共分散は Cov(𝑈𝑗
    , 𝑈ℎ
    ) = 𝑥⊤
    𝑗
    V(𝛽)𝑥ℎ
    31

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  35. 混合ロジットの「混合」とは
    • 𝑓(𝛽) をどうする?
    1. 有限混合
    2. 無限混合ガウシアン (普通はこちらを mixed という)
    𝑝𝑗
    =
    𝑀

    𝑚=1
    𝑓𝑚
    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽
    𝑚
    )


    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽
    𝑚
    ))
    有限混合
    𝑝𝑗
    = ∫
    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽)


    exp(𝑥⊤
    𝑗
    𝛽))
    𝜙(𝛽)𝑑𝛽 無限混合
    32

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  36. ロジット・プロビットのまとめ
    • 多項 L: 最も単純, IIA や個別効果があるとやりづらい
    • ネスト L: IIA に対処, 計算も比較的簡単
    • 混合 L: IIA に対処, 計算大変?
    • 多項 P: IIA に対処, 計算大変?
    • 理論面では 2000 年までにだいたい固まっている
    • ではどういうアルゴリズムで計算するか
    33

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  37. 認識更新 2: アルゴリズムの進展

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  38. 多項プロビットは計算量が多い?
    • 𝐽 − 1 次元の数値積分と 𝐽(𝐽 − 1)/2 − 1 個の共分散行
    列パラメータ
    • 今はノート PC でも MCMC できる
    • 𝐽 ≥ 5 だと計算困難
    • それはたぶん 80 年代頃の話
    • 応用例自体がなかった?
    • 現在は新しいアルゴリズムもある
    • 精度にも注意すべき
    • 統計的性質 / 数値計算の精度
    34

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  39. 代表的なアルゴリズム (古い順)
    1. 受容-棄却 (A-R) 法 (80 年代) * 古いので詳細略
    2. GHK (Geweke, Hajivassiliou, Keane) (80-90s)
    3. マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) (90-00s)
    4. 最大近似合成周辺尤度推定法 (MACML) (10s-)
    35

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  40. MLP のアルゴリズム 1: GHK
    • 別名, シミュレーション最尤法 (Simulated
    Maximum Likelihood)
    • 誤差項が互いに相関しているのがネック
    • コレスキ分解で相関関係を打ち消して各 𝑝𝑗
    をモンテ
    カルロ積分 (分からない)
    • 長くなるので教科書を読んでください ([18], § 5.6)
    36

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  41. MLP のアルゴリズム 2: MCMC
    • 文字通り有名な MCMC で計算 [11]
    • 今井 & van Dyk[10, 9] の実装
    • data augmentation [17] + M-H sampler
    • MNP パッケージとして CRAN に登録
    • Stan は時間がなかったので省略
    37

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  42. MLP のアルゴリズム 3: MACML
    • 最大近似合成周辺尤度推定法 ([3, 4])
    • 日本語の解説スライド [26]
    • 𝑝𝑗
    の近似計算を最小自乗法の応用で GHK より効率
    化してるらしい
    • 尤度の同時分布も (時間とか個人とかで) 分解し次元
    を減らす
    • 交通工学? 分野で普及し始めてる?
    • 最近少し批判的な話 [2] が出たらしいが読めてない
    38

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  43. 性能比較の実験 (未完成)

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  44. モデル/アルゴリズムはどれがいいの?
    • 先行研究:
    • 数値積分も工夫した GHK より MACML が精度も計算
    時間も優れ, MCMC も場合によっては同等に優秀
    [16]
    • GHK や MCMC より変分ベイズが 16 倍速い [1]
    • 他にもありそうだが読んでない
    •「多項プロビット vs 混合ロジット」という論点は
    ない?
    • MNL, NL, 3 種の MNP で性能比較
    39

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  45. 試すモデルとアルゴリズム
    • MNL (最尤法): mlogit::mlogit
    • Mixed Logit: mlogit + rpar オプション
    • MLP:
    • GHK: mlogit + probit オプション
    • MCMC: MNP::mnp
    • MACML: 著者のソースコード2
    • 実験のソースコードはここ
    2https://www.caee.utexas.edu/prof/bhat/MACML.html
    40

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  46. データ
    • MACML 著者のデータセット使用
    • MACML だけパッケージ化されてない
    • true value のわかる実験用データ
    41

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  47. 構文の例
    mnl <- mlogit(choice ~ ., data = df)
    mixl <- mlogit(choice ~ .,
    data = df,
    rpar = c(x1 = "n", ...), R = 10
    )
    mnp <- mlogit(choice ~ ., data = df_mlogit,
    probit = T, R = 10)

    mnp2 <- mnp(choice ~ 1,
    choiceX = list(
    c1 = cbind(x1.c1, ...),
    c2 = cbind(x1.c2, ...)
    ),
    cXnames = c("x1", ...), data = df_wide
    42

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  48. 結果
    (作業中)
    43

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  49. さいごに
    • MACML の実装がアレなので遅い
    • 逆に言えば C++ なら相当速いはず
    •「IIA の制約があるから使いにくい」はよくない
    • Hansen「全部試したほうがいいよ」
    • MNL は IIA を満たしているかの検証に使える
    44

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  50. わからなかったこと
    • 𝐽 をめちゃくちゃ大きくした場合の挙動
    • 誰かの卒論? 修論?[22] では 𝐽 = 8 でも普通にできる
    らしい
    • MNP は実装でどれだけ変わるか
    • 共役事前分布? あるいは別の事前分布?
    • 計算効率化のための新機能の効果は?
    • 変分ベイズも試してない
    • MACML を C++ とかで書き直すべき
    • 混合ロジット versus 多項プロビット
    • 交通系の人はロジットに執着がない?
    45

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  51. 参考文献

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  52. Bansal, Prateek, Rico Krueger, Michel Bierlaire, Ricardo A.
    Daziano, Taha H. Rashidi (2020). “Bayesian Estimation of
    Mixed Multinomial Logit Models: Advances and
    Simulation-Based Evaluations”. In: Transportation Research Part
    B: Methodological 131, pp. 124–142. ISSN: 01912615. DOI:
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