(2022) Le désordre n'existe pas

Ce support indique le contenu d'un atelier visant à faire découvrir la théorie de Ramsey à des élèves de quatrième et troisième du collège George Sand de La Châtre. 23 février 2022

Transcript

1. Le désordre n’existe pas! un aperçu de théorie de Ramsey Roger Mansuy
2. Qu’est-ce que le désordre?
3. Qu’est-ce que le désordre?
12. Activité 1 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible.
13. Si vous avez trois points consécutifs de la même couleur, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné
14. Si vous avez l’un des motifs suivants, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné ? ? ? ?
15. Si vous avez l’un des motifs suivants, votre coloriage n’est pas tout à fait désordonné ? ? ? ? ? ? ? ?
16. Voici un essai
17. Voici un essai Il n’est pas tout à fait désordonné!
18. Activité 2 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible.
19. Activité 2 Sur le dessin suivant, colorier chaque point l’une des deux couleurs de la manière la plus désordonnée possible. On peut vérifier que le coloriage suivant est bien une solution.
20. Théorème de van der Waerden, 1927 À partir de neuf points, il n’est pas possible de colorier avec deux couleurs de manière tout à fait désordonnée.
21. Théorème de van der Waerden, 1927 À partir de neuf points, il n’est pas possible de colorier avec deux couleurs de manière tout à fait désordonnée. Le désordre total n’existe plus au delà de neuf points.
22. Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1
23. Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1 Par exemple, on ne peut avoir 1, 2 et 3 dans la même boite.
24. Activité 3 Mettre les nombres 2, 3 et 4 dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 1 Peut-on mettre le nombre 5?
25. Activité 4 Mettre les nombres 2, 3, ... dans les trois boites suivantes en respectant la même consigne. 1
26. Activité 4 Mettre les nombres 2, 3, ... dans les trois boites suivantes en respectant la même consigne. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
27. Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente.
28. Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente. • pour deux boites, on bloque à 5 • pour trois boites, on bloque à 14 • pour quatre boites, on bloque à 45 • pour cinq boites, on bloque à 161
29. Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente. • pour deux boites, on bloque à 5 • pour trois boites, on bloque à 14 • pour quatre boites, on bloque à 45 • pour cinq boites, on bloque à 161 (démontré en 2018)
30. Théorème de Schur (1916) Peu importe le nombre de boites, on est toujours coincé à un moment quand on essaie d’y mettre les nombres 1, 2,... en respectant la consigne précédente. • pour deux boites, on bloque à 5 • pour trois boites, on bloque à 14 • pour quatre boites, on bloque à 45 • pour cinq boites, on bloque à 161 • pour six boites, on ne sait pas encore!
31. Activité 5 Mettre les nombres 2022, 2023... dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 2022
32. Activité 5 Mettre les nombres 2022, 2023... dans les deux boites suivantes de sorte à ce qu’aucun nombre ne soit la somme de deux nombres, éventuellement égaux, de sa boite. 2022 Expliquer pourquoi on ne peut pas aller jusqu’à 10110. Peut-on aller jusqu’à 10109?
33. Activité 6 Est-il possible de colorier les arêtes sans tracer de triangles d’une seule couleur?
34. En revanche avec seulement cinq sommets, c’est possible.
35. Activité 7 Est-il possible de prolonger le carré ”désordonné” exhibé en introduction?