(2022) Tout le monde peut se tromper

Exposé donné à la Médiathèque d'Avoine (communauté de communes Chinon Vienne Loire) dans le cadre du cycle de conférences grand public "C'est pas faux!" le 28 avril 2022

Transcript

1. Tout le monde peut se tromper Petites histoires de probabilités pour le quotidien Roger Mansuy Communauté de communes Chinon Vienne Loire 28 avril 2022
2. Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m?
3. Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m? ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m sachant qu’Usain Bolt y participe?
4. Introduction ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m? ⇝ Quelle est la probabilité que je gagne une course de 100m sachant qu’Usain Bolt y participe? Deux concepts mathématiques: P(A) probabilité que A advienne P(A|B) probabilité que A advienne sachant que l’on observe B
5. Une partie interrompue avec Blaise Pascal
6. Deux joueurs A et B jouent à un jeu de hasard au meilleur des cinq manches, chacun ayant initialement misé la même somme m. Le jeu est interrompu alors que le joueur A mène 2 manches à 1. Comment doit-on partager la totalité des mises, à savoir 2m?
7. 2 − 1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 2 − 3 1 2 1 2 1 2 1 2 B. Pascal à P. Fermat, 29 juillet 1654
8. Score Gain de A Probabilité Victoire 3 − 1 2m 1 2 Victoire 3 − 2 2m 1 4 Défaite 2 − 3 0 1 4 L’espérance de gain du joueur A est donc 1 2 · 2m + 1 4 · 2m + 1 4 · 0 = 3m 2 . Le partage équitable est donc de 3m 2 pour le joueur A et m 2 pour le joueur B. B. Pascal à P. Fermat, 29 juillet 1654
9. Espérance de vie avec Antoine Deparcieux
10. On parvient à estimer pk , la probabilité de mourir à l’âge k sachant qu’on a atteint cet âge. Essai sur les probabilités de la durée de la vie humaine, Antoine Deparcieux, 1746
11. 0 RIP 1 RIP 2 RIP 3 1 − p0 p0 1 − p1 p1 1 − p2 p2 · · ·
13. France Info, 05/05/2015
14. Pile ou Face dans l’Encyclopédie avec Jean le Rond D’Alembert
15. Article Croix ou pile, vol. IV (1754), ENCCRE
16. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers? Probabilité Croix puis Croix 1 4 Croix puis Pile 1 4 Pile puis Croix 1 4 Pile puis Pile 1 4 La probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers est 3 4 .
17. Ne faut-il pas réduire à une les deux combinaisons qui donnent croix au premier coup. Car, dès que croix est venu, le jeu est fini, & le second coup est compté pour rien. [...] Donc il n’y a que 2 contre 1 à parier. Probabilité Croix 1 3 Pile puis Croix 1 3 Pile puis Pile 1 3 Selon D’Alembert, la probabilité d’obtenir au moins une fois Croix en deux lancers est 2 3 .
18. Efficacité des vaccins avec Daniel Bernoulli
19. vacciné non vacciné hospitalisé Données factices
20. • Une personne choisie au hasard est vaccinée avec probabilité P(être vacciné) = 90 100 = 0, 9 Données factices
21. • Une personne choisie au hasard est vaccinée avec probabilité P(être vacciné) = 90 100 = 0, 9 • Une personne choisie au hasard est hospitalisée avec probabilité P(être hospitalisé) = 9 100 = 0, 09 Données factices
22. • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 Données factices
23. • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est non vaccinée avec probabilité P(ne pas être vacciné|être hospitalisé) = 3 9 ≃ 0, 33 Données factices
24. • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est vaccinée avec probabilité P(être vacciné|être hospitalisé) = 6 9 ≃ 0, 67 • Une personne choisie au hasard parmi les personnes hospitalisées est non vaccinée avec probabilité P(ne pas être vacciné|être hospitalisé) = 3 9 ≃ 0, 33 Une personne vaccinée a-t-elle deux fois plus de risque d’être hospitalisée? Données factices
25. P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Données factices
26. P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Une personne vaccinée a 4,5 fois moins de risque d’être hospitalisée! Données factices
27. P(être hospitalisé|être vacciné) = 6 90 ≃ 0, 07 P(être hospitalisé|ne pas être vacciné) = 3 10 = 0, 3 Une personne vaccinée a 4,5 fois moins de risque d’être hospitalisée! Confusion entre • P(être hospitalisé|être vacciné) • P(être vacciné|être hospitalisé) Données factices
28. vacciné non vacciné hospitalisé Données factices
29. Blinder les avions avec Abraham Wald
30. A Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors Statistical Research Group, CRC 432
32. impact bénin impact grave de retour
36. Social Science History Vol. 36, No. 1 (Spring 2012), pp. 23-54
38. Pour un chat, les chutes d’une hauteur inférieure à six étages sont plus graves que les chutes depuis de plus grandes hauteurs.
39. Soupçon de sexisme à Berkeley avec Edward H. Simpson
40. Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 Données arrangées
41. Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 La probabilité qu’une femme soit recrutée est 180 400 = 9 20 = 0, 45. Données arrangées
42. Une université recrute des étudiants (à un niveau avancé). Total Candidats Admis Hommes 600 420 Femmes 400 180 La probabilité qu’une femme soit recrutée est 180 400 = 9 20 = 0, 45. De même, la probabilité qu’un homme soit recruté est 420 600 = 14 20 = 0, 70. Données arrangées
43. L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 Données arrangées
44. L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 En commission Sciences, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 100 = 9 10 contre 400 500 = 8 10 pour un homme. Données arrangées
45. L’université recrute à l’aide de deux commissions: Sciences Candidats Admis Hommes 500 400 Femmes 100 90 Lettres Candidats Admis Hommes 100 20 Femmes 300 90 En commission Sciences, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 100 = 9 10 contre 400 500 = 8 10 pour un homme. En commission Lettres, la probabilité qu’une femme soit recrutée est de 90 300 = 3 10 contre 20 100 = 2 10 pour un homme. Données arrangées
46. 100 100 Admis Candidats Sciences Données arrangées
47. 100 100 Admis Candidats Lettres Données arrangées
48. 100 100 Admis Candidats Total Données arrangées
49. Science. 1975 Feb 7;187(4175):398-404
50. Morts Non vaccinés Vaccinés moins de 50 ans 70 126 50 ans ou plus 552 1675 • Taux de vaccination des moins de 50 ans: 50% • Taux de vaccination des plus de 50 ans: 95% • Taux de vaccination dans l’ensemble de la population: 67% Données britanniques entre le 21 juin et le 12 septembre 2021
51. ▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna
52. ▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Chez les plus de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 6, 3 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna
53. ▷ Chez les moins de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 8 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Chez les plus de 50 ans, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 6, 3 plus grande que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. ▷ Au total, la probabilité de mourir sachant que l’on est non vacciné est 1, 3 plus petite que la probabilité de mourir sachant que l’on est vacciné. Travail de Quentin Berger, Francesco Caravenna
54. Expertises dans l’affaire Dreyfus avec Henri Poincaré
57. Rapport de MM les experts Darboux, Appel, et Poincaré (1904) Nous en avons dit assez pour faire comprendre la nécessité d’une base de raisonnement plus solides. C’est ce que les fondateurs du calcul des probabilités ont cherché, pour les questions de ce genre, mais nous ne pouvons l’expliquer sans entrer dans quelques détails techniques. Ils ont distingué la probabilité des effets et la probabilité des causes.
58. Des tests médicaux imparfaits avec Thomas Bayes
59. Considérons le test d’un dépistage d’une maladie courante (1% de la population) dont voici les caractéristiques: • 2% des patients malades sont déclarés sains, • 5% des patients sains sont déclarés malades. Données arrangées
60. Considérons le test d’un dépistage d’une maladie courante (1% de la population) dont voici les caractéristiques: • 2% des patients malades sont déclarés sains, • 5% des patients sains sont déclarés malades. Je viens de recevoir un test positif; quelle est la probabilité que je sois malade? Données arrangées
61. dans les locaux de l’entreprise Autonomy
62. Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) .
63. Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) . P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A) .
64. Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, A et B des événements non négligeables. Alors, P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) . P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A) . On exprime la probabilité P(A|B) en fonction de P(B|A) et P(B|A).
65. Notons • T pour ”le test est positif” • M pour ”le patient est malade”. Alors, P(M|T) = P(T|M)P(M) P(T|M)P(M) + P(T|M)P(M) = 0, 05 × 0, 99 0, 05 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 01 Données arrangées
66. Notons • T pour ”le test est positif” • M pour ”le patient est malade”. Alors, P(M|T) = P(T|M)P(M) P(T|M)P(M) + P(T|M)P(M) = 0, 05 × 0, 99 0, 05 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 01 ≃ 0, 835. En conclusion, environ 83, 5% des patients déclarés malades sont sains. Données arrangées
68. Hypothèses de travail (pire des cas prévu par la norme): • 5% de la population touchée par COVID (estimation Institut Pasteur, printemps 2020) • 20% des patients malades sont déclarés sains, • 1% des patients sains sont déclarés malades.
69. Hypothèses de travail (pire des cas prévu par la norme): • 5% de la population touchée par COVID (estimation Institut Pasteur, printemps 2020) • 20% des patients malades sont déclarés sains, • 1% des patients sains sont déclarés malades. Résultats des calculs: • P(M|T) ≃ 0, 19 • P(M|T) ≃ 0, 99
70. Je choisis au hasard l’une des deux pièces dont on dispose: • la pièce A est une pièce de deux euros ordinaire, • la pièce B est une pièce factice avec deux côtés Pile. Ensuite, je joue à Pile ou Face et vous devez deviner quelle est la pièce choisie.
71. Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est 0
72. Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 8 9 ≃ 0, 89
73. Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 16 17 ≃ 0, 94
74. Voici les résultats des premiers lancers: Sachant ce résultat, la probabilité que cela soit la pièce B est d’après la formule de Bayes 32 33 ≃ 0, 97
75. Pour poursuivre... • Les Maths au tribunal, Leïla Schneps et Coralie Colmez, Seuil, 2015 • L’art de ne pas dire n’importe quoi, Jordan Ellenberg, Cassini, 2018 • La Formule du Savoir, Lê Nguyên Hoang, EDP Sciences, 2018