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統計的学習理論の基礎 I

C612ab39597a17ba5948cae54d13f99f?s=47 Masanari Kimura
December 11, 2020

統計的学習理論の基礎 I

C612ab39597a17ba5948cae54d13f99f?s=128

Masanari Kimura

December 11, 2020
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Transcript

  1. CompML 統計的学習理論の基礎 I Masanari Kimura (@machinery81)

  2. CompML TL;DR • 統計的学習理論の基礎的な事項のまとめ • 第一回は以下のトピックについて: • 種々の収束概念 • 確率収束

    • 概収束 • UCEP property • ASCEP property • UCEM property • PAC Learning 2
  3. CompML Uniform Convergence

  4. CompML (, ):可測空間,:確率測度 からi.i.d.に生成された! , … , " から計算される ∈

    の経験確率 + ; " = ## ∈ = 1 1 #$! " % # 気になるのは, • + (; " )がちゃんと()に収束するのか? • もしそうならば,どのように収束するのか? 4 経験確率(Empirical Probability)
  5. CompML 確率収束(Converges in Probability) 定義.ある > 0について ! % ;

    ! − () > → 0 ( → ∞) のとき, % (; ! )は()に確率収束するという. 同値な表現として, ∀, > 0, ∃" , > 0 . . ! % ; ! − > ≤ ∀ ≥ "
  6. CompML 概収束(Converges almost surely) 定義.経験確率について # % ; ! →

    → ∞ = 1 となるとき, % (; ! )は()に概収束するという. 概収束は確率収束より強い: % ; ! $.&. () ⟹ % (; ! ) → ' ()
  7. CompML 経験確率は真の確率に確率収束する (証明)インジケータ関数( ()はBernoulli過程とみなせる: ( = 1 = 従って,Chernoffの不等式から !

    % ; ! − () > ≤ 2 exp −2) が得られる.従って, → ∞で ! % ; ! − () > → 0であるので, % (; ! )は()に確率収束することが証明された. □ 実はもっと強く,経験確率は真の確率に概収束する.
  8. CompML UCEP; Uniform Convergence of Empirical Probabilities 単一のではなく,その集合 ⊂ を考える.

    定義.あるについて, ! sup (∈ % − () > → 0 ( → 0) が成り立つとき,はUCEP propertyを持つという.
  9. CompML ASCEP; Almost Sure Convergence of Empirical Probabilities 定義.あるについて, #

    sup (∈ % ! − () → 0 → ∞ = 1 が成り立つとき,はASCEP propertyを持つという.
  10. CompML UCEM; Uniform Convergence of Empirical Means 確率変数についての関数の経験平均を以下のように書く: F ()

    = 1 I ,-. ! , 定義.ある関数クラスℱについて, ! sup /∈ℱ F − > → 0 ( → 0) が成り立つとき,ℱはUCEM propertyを持つという.
  11. CompML PAC Learning

  12. CompML Learning Concepts • 未知の関数または概念を学習するとはどういうことか? • より強くいうと,汎化するとはどういうことか? • 学習理論における基本的なパーツは ◦

    集合 ◦ 加法族 ◦ 可測空間(, )の確率測度のクラス ◦ conceptクラス ⊂ または関数クラスℱ
  13. CompML Concept Learning 目的は,観測. , … , ! に基づいて未知のtarget concept

    ∈ を学習すること. • 各, について,それがに含まれるかどうかを1 (, )で表す(オラクル) • これらのペアから,写像の族(アルゴリズム)を考える: ! : × 0,1 ! → このアルゴリズムによって生成される仮説(hypothesis) ! = ! . , 1 . , … , ! , 1 !
  14. CompML PAC学習可能;Probability Approximately Correct 定義.アルゴリズム! は以下を満たすとき精度でPAC学習可能であるという: sup 1∈2 ! 3

    , ! > → 0 ( → 0) ここで3 は仮説とtarget conceptの間の何らかのエラーに当たる. 同値な表現:! は任意の, > 0について,ある" (, )が存在して以下を満た すときPAC学習可能: ! 3 , ! > ≤ , ∀ ≥ "
  15. CompML まとめ • 統計的学習理論の準備として幾つかの基礎的な事項をまとめた • 確率収束,概収束 • PAC学習可能性

  16. CompML 参考文献 • Shalev-Shwartz, S., Ben-David, S. (2014). Understanding Machine

    Learning - From Theory to Algorithms.. Cambridge University Press. ISBN: 978-1-10-705713-5 • Mohri, Mehryar, Afshin Rostamizadeh, and Ameet Talwalkar. Foundations of machine learning. MIT press, 2018.