a cada suceso elemental de un experimento aleatorio le asigna un n´ umero. Las variables aleatorias pueden ser discretas (cuando pueden tomar un n´ umero finito o infinito de valores numerables) o continuas (cuando pueden tomar cualquier valor dentro de un rango). 2
a cada suceso elemental de un experimento aleatorio le asigna un n´ umero. Las variables aleatorias pueden ser discretas (cuando pueden tomar un n´ umero finito o infinito de valores numerables) o continuas (cuando pueden tomar cualquier valor dentro de un rango). Conocer la distribuci´ on de probabilidad de una variable aleatoria X discreta consiste en asignar una probabilidad a cada uno de los posibles resultados de dicha variable aleatoria. 2
variable aleatoria son la media, la varianza y la desviaci´ on t´ ıpica: Media (µ) µ = n i=1 pi · xi = p1 · x1 + p2 · x2 + · · · + pn · xn Varianza (σ2) σ = n i=1 pi · (xi − µ)2 = n i=1 pi · x2 i − µ2 3
variable aleatoria son la media, la varianza y la desviaci´ on t´ ıpica: Media (µ) µ = n i=1 pi · xi = p1 · x1 + p2 · x2 + · · · + pn · xn Varianza (σ2) σ = n i=1 pi · (xi − µ)2 = n i=1 pi · x2 i − µ2 Desviaci´ on t´ ıpica (σ) σ = n i=1 pi · (xi − µ)2 = n i=1 pi · x2 i − µ2 3
3 alumnos de una clase formada por 20, de los cuales 8 son chicos y 12 chicas. Se considera la variable aleatoria, X, que cuenta el n´ umero de chicas que aparecen en la muestra. Calcula los valores de la variable aleatoria y sus probabilidades. Calcula los par´ ametros de esta variable aleatoria. 4
3 alumnos de una clase formada por 20, de los cuales 8 son chicos y 12 chicas. Se considera la variable aleatoria, X, que cuenta el n´ umero de chicas que aparecen en la muestra. Calcula los valores de la variable aleatoria y sus probabilidades. Calcula los par´ ametros de esta variable aleatoria. Los valores de la variable aleatoria son: X = {0, 1, 2, 3} Vamos a utilizar la combinatoria y la regla de Laplace para el c´ alculo de las probabilidades. Si hay 20 alumnos y tomamos 3 los posibles grupos son C3 20 = 1140 Calculamos cuantos grupos hay seg´ un el n´ umero de chicas y dividiendo entre el n´ umero total de grupos tendremos su probabilidad: 4
se cumplen las condiciones siguientes: 1. El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes. 6
se cumplen las condiciones siguientes: 1. El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes. 2. En cada prueba se tiene una misma probabilidad de ´ exito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ¯ A ), que es igual a q = 1 − p. 6
se cumplen las condiciones siguientes: 1. El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes. 2. En cada prueba se tiene una misma probabilidad de ´ exito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ¯ A ), que es igual a q = 1 − p. 3. El objetivo de la distribuci´ on binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto n´ umero de ´ exitos. La variable aleatoria X, que indica el n´ umero de veces que aparece el suceso A (´ exito), es discreta, y sus valores son {0, 1, 2, 3, · · · , n}. 6
´ exitos viene dado por: Probabilidad de k ´ exitos X : B(n, p) → p(X = k) = n k pk qn−k Donde: 1. pk qn−k es la probabilidad de que aparezcan k ´ exitos y n − k fracasos, por ejemplo, que los ´ exitos sean los primeros k y los fracasos los ´ ultimos n − k AA · · · A k aciertos ¯ A ¯ A · · · ¯ A n−k fracasos 2. n k nos indica el n´ umero de formas en las que pueden aparecer esos k ´ exitos 7
una canasta de 3 puntos es 0, 3. ¿ Cu´ al es la probabilidad de que enceste, exactamente dos canastas de cinco lanzamientos? X es B(5; 0, 3) P(X = 2) = p(2) = 5 2 · 0, 32 · 0, 73 = 0, 3087 9
es el 1 %. Si en un envase hay 10 galletas, ¿cu´ al es la probabilidad de que al menos una galleta est´ e rota debido a la operaci´ on de envasado? X es B(10; 0, 01) 10
es el 1 %. Si en un envase hay 10 galletas, ¿cu´ al es la probabilidad de que al menos una galleta est´ e rota debido a la operaci´ on de envasado? X es B(10; 0, 01) P(X ≥ 1) = 1−P(X < 1) = 1−p(0) = 1− 10 0 ·0, 010·0, 9910 = 1−0, 9044 = 0, 096 10
est´ an rotos. Halla la probabilidad de que un cliente que compra media docena de huevos encuentre como mucho un huevo roto. X es B(6; 0, 1) P(X ≤ 1) = p(0) + p(1) = 6 0 · 0, 10 · 0, 96 + 6 1 · 0, 11 · 0, 95 = = 0, 5314 + 0, 3543 = 0, 8857 11
ir´ a a la universidad despu´ es de acabar los estudios. Si se cogen ocho estudiantes, calcular: 1. La probabilidad de que alguno vaya a la universidad 2. La probabilidad de mas de seis vayan a la universidad 3. Calcular la media y la desviaci´ on t´ ıpica. X es B(8; 0,65) 1. p(x ≥ 1) = 1 − p(0) = 1 − 8 0 · 0,650 · 0,358 = 0,9997 12
ir´ a a la universidad despu´ es de acabar los estudios. Si se cogen ocho estudiantes, calcular: 1. La probabilidad de que alguno vaya a la universidad 2. La probabilidad de mas de seis vayan a la universidad 3. Calcular la media y la desviaci´ on t´ ıpica. X es B(8; 0,65) 1. p(x ≥ 1) = 1 − p(0) = 1 − 8 0 · 0,650 · 0,358 = 0,9997 2. p(x > 6) = p(7) + p(8) = 8 7 · 0,657 · 0,351 + 8 8 · 0,6580 · 0,350 = 0,1691 12
ir´ a a la universidad despu´ es de acabar los estudios. Si se cogen ocho estudiantes, calcular: 1. La probabilidad de que alguno vaya a la universidad 2. La probabilidad de mas de seis vayan a la universidad 3. Calcular la media y la desviaci´ on t´ ıpica. X es B(8; 0,65) 1. p(x ≥ 1) = 1 − p(0) = 1 − 8 0 · 0,650 · 0,358 = 0,9997 2. p(x > 6) = p(7) + p(8) = 8 7 · 0,657 · 0,351 + 8 8 · 0,6580 · 0,350 = 0,1691 3. µ = n · p = 8 · 0,65 = 5,24 σ = n · p · (1 − p) = √ 8 · 0,65 · 0,35 = 1,35 12
on de probabilidad continua descrita por primera vez por el matem´ atico alem´ an Gauss, conoci´ endola como campana de Gauss. Para cada valor de µ y de σ hay una distribuci´ on normal con funci´ on de densidad: f (x) = 1 σ √ 2π e − 1 2 x − µ σ 2 14
N(0, 2), X : N(5, 2) y X : N(5, 1) x µ = 0 µ = 5 N(0, 2) N(5, 2) N(5, 1) Las distribuciones normales que tienen la misma desviaci´ on t´ ıpica tienen la misma gr´ afica pero desplazada. Cuanto m´ as grande es la desviaci´ on t´ ıpica mas achatada ser´ a la gr´ afica. Para calcular las probabilidades con la distribuci´ on normal Z : N(0, 1) se usa la siguiente tabla. 16
probabilidades que aparecen en la tabla siempre son mayores o iguales que 0,5 o menores o iguales 1 y siempre asociadas al signo ≤, estudiemos los casos que pueden aparecer: 24
probabilidades que aparecen en la tabla siempre son mayores o iguales que 0,5 o menores o iguales 1 y siempre asociadas al signo ≤, estudiemos los casos que pueden aparecer: p(z ≤ k) ≥ 0,5 p(z ≤ k) = 0,7834 Es la situaci´ on de la tabla y s´ olo hay que buscar dicha probabilidad. En nuestro caso, la probabilidad no aparece siendo las mas cercanas: p(z ≤ 0,78) = 0,7823 p(z ≤ 0,79) = 0,7852 Nuestra probabilidad est´ a casi en medio de las dos y por tanto cogeremos el valor del medio: k = 0,78 + 0,79 2 = 0,785 24
as peque˜ na que 0,5 el valor que buscamos es negativo: z k p(z ≤ k) = 0,2345 z −k 0,2345 0,7655 Buscamos en la tabla el valor 0,7655 → −k = 0,725 → k = 0,725 27
probabilidad p(x ≤ 10) = p z ≤ 10 − 7 2 = p(z ≤ 1,5) = 0,9932 2. C´ alculo del valor p(x ≤ k) = 0,25 → p z ≤ k − 7 2 = 0,25 z k − 7 2 0,25 z − k − 7 2 0,75 0,25 Buscamos 0,75 en la tabla y: − k − 7 2 = 0,675 → k − 7 2 = −0,675 → k = 7 − 2 · (0,675) = 5,65 29
duraci´ on de sus aparatos sin efectuar reparaciones, sigue una distribuci´ on normal de media 9 a˜ nos y desviaci´ on t´ ıpica 1,2 a˜ nos. 1. Calcular la probabilidad de que un aparato de televisi´ on dure entre 8 y 11 a˜ nos. 30
duraci´ on de sus aparatos sin efectuar reparaciones, sigue una distribuci´ on normal de media 9 a˜ nos y desviaci´ on t´ ıpica 1,2 a˜ nos. 1. Calcular la probabilidad de que un aparato de televisi´ on dure entre 8 y 11 a˜ nos. p(8 ≤ X ≤ 11) = p 8 − 9 1,2 ≤ z ≤ 11 − 9 1,2 = p(−0,83 ≤ z ≤ 1,67) = p(z ≤ 1,67) − p(z ≤ −0,83) p(z ≤ 1,67) = 0,9525 p(z ≤ −0,83) = p(z ≥ 0,83) = 1 − p(z ≤ 0,83) = 1 − 0,7967 = 0,2033 → p(8 ≤ X ≤ 11) = 0,9525 − 0,2033 = 0,7492 30
duraci´ on de sus aparatos sin efectuar reparaciones, sigue una distribuci´ on normal de media 9 a˜ nos y desviaci´ on t´ ıpica 1,2 a˜ nos. 1. 2. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de los televisores durante 5,5 a˜ nos. ¿Qu´ e porcentaje de televisores se espera que no cumplan la garant´ ıa? 30
duraci´ on de sus aparatos sin efectuar reparaciones, sigue una distribuci´ on normal de media 9 a˜ nos y desviaci´ on t´ ıpica 1,2 a˜ nos. 1. 2. El fabricante garantiza el buen funcionamiento de los televisores durante 5,5 a˜ nos. ¿Qu´ e porcentaje de televisores se espera que no cumplan la garant´ ıa? p(X ≤ 5,5) = p z ≤ 5,5 − 9 1,2 = p(z ≤ −2,92) p(z ≤ −2,92) = p(z ≥ 2,92) = 1 − p(z ≤ 2,92) = 1 − 0, 9982 = 0,0018 Luego el porcentaje de televisores que no cumplen la garant´ ıa es del 0,18 % 30
se realiza un experimento en una distribuci´ on binomial es muy grande y n · p y n · q son mayores que 3 la distribuci´ on binomial se aproxima a una distribuci´ on normal y si superan a 5 la aproximaci´ on es perfecta. La media y la desviaci´ on t´ ıpica de la normal ser´ an la media y la desviaci´ on t´ ıpica de la binomial. n · p ≥ 5 n · q ≥ 5 X : B(n, p) → X : N(n · p, √ n · p · q) 31
se realiza un experimento en una distribuci´ on binomial es muy grande y n · p y n · q son mayores que 3 la distribuci´ on binomial se aproxima a una distribuci´ on normal y si superan a 5 la aproximaci´ on es perfecta. La media y la desviaci´ on t´ ıpica de la normal ser´ an la media y la desviaci´ on t´ ıpica de la binomial. n · p ≥ 5 n · q ≥ 5 X : B(n, p) → X : N(n · p, √ n · p · q) Como se pasa de una distribuci´ on discreta a una continua tenemos que usar un factor de correci´ on: Binomial Normal p(x < k) p(x ≤ k − 0,5) p(x ≤ k) p(x ≤ k + 0,5) p(x > k) p(x ≤ k + 0,5) p(x ≥ k) p(x ≤ k − 0,5) p(x = k) p(k − 0,5 ≤ x ≤ k + 0,5) 31
del carnet de conducir es p = 0,7. Si un d´ ıa se presentan 80 alumnos, ¿ cu´ al es la probabilidad de que aprueben por los menos 60 personas? X : B(80, 0,7) np = 80 · 0,7 = 56 nq = 80 · 0,3 = 24 32
del carnet de conducir es p = 0,7. Si un d´ ıa se presentan 80 alumnos, ¿ cu´ al es la probabilidad de que aprueben por los menos 60 personas? X : B(80, 0,7) np = 80 · 0,7 = 56 nq = 80 · 0,3 = 24 → µ = np = 56 σ = √ npq = √ 80 · 0,7 · 0,3 = 4,1 32
del carnet de conducir es p = 0,7. Si un d´ ıa se presentan 80 alumnos, ¿ cu´ al es la probabilidad de que aprueben por los menos 60 personas? X : B(80, 0,7) np = 80 · 0,7 = 56 nq = 80 · 0,3 = 24 → µ = np = 56 σ = √ npq = √ 80 · 0,7 · 0,3 = 4,1 → X : N(56, 4,1) 32
Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tama˜ no igual a 150. 1. ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de mujeres? 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que, como m´ ınimo, 100 sean mujeres? 3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya m´ as de 85 y menos de 95 mujeres?. 33
Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tama˜ no igual a 150. 1. ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de mujeres? 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que, como m´ ınimo, 100 sean mujeres? 3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya m´ as de 85 y menos de 95 mujeres?. 1. µ = 93 33
Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tama˜ no igual a 150. 1. ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de mujeres? 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que, como m´ ınimo, 100 sean mujeres? 3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya m´ as de 85 y menos de 95 mujeres?. 1. µ = 93 2. X : B(150, 0,62) → X : N(93, 5,94) → p(x ≥ 100) = p(x ≥ 99,5) = 0,1379 33
Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tama˜ no igual a 150. 1. ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de mujeres? 2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que, como m´ ınimo, 100 sean mujeres? 3. ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya m´ as de 85 y menos de 95 mujeres?. 1. µ = 93 2. X : B(150, 0,62) → X : N(93, 5,94) → p(x ≥ 100) = p(x ≥ 99,5) = 0,1379 3. p(85 < x < 95) = p(85,5 ≤ x ≤ 94,5) = 0,4949 33
irocho
kfujita
matleenalaakso
hugaomarques
tosseto
2720japanoke
expajp
copilot
yuko_yokouchi
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nonxxxizm
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hannesfritz
michaelherold
soudai
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zenorocha
marcelosomers
addyosmani
reverentgeek
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