正準相関分析(仮)

正準相関分析

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1. 正準相関分析
   二つの群での相関構造を探る
   

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2. 国 数 英 理 社 専門1 専門2 専門3
   入学後中間テスト
   入試テスト
   計算のため、すべてテストごとに正規化しておく
   入試テストは5科目・中間テストは3科目であるが、説明のために変数u1,u2,v1,v2としておく
   入試テスト側の係数をa、中間テスト側の係数をbとする
   合成変数(主成分のような合成指標)を考える
   Y = a1u1 + a2u2
   Z = b1v1 + b2v2
   Y,Zのことを第一正準変数 とよぶ。(Y,Zに直交するものを第二とする)
   Y,Zの相関を第一正準相関係数 とよび、これを最大にするようなa,bを求める
   

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3. Y,Zの相関係数を求めるため、Yの分散,Zの分散,Y,Zの共分散を求める
   
   2 =
   1
   − 1
   ෍
   =1
   
   
   − ത
   2
   =෌
   =1
   
   1
   1
   + 2
   2
   2
   = 1
   2
   1 12
   12
   1
   1
   2
   
   = 1
   2
   11
   12
   21
   22
   1
   2
   
   =
   
   
   2
   2
   正規化しているため、YもZも平均は0,分散は1
   最大化の際はこれを制約としたラグランジュ法を使う
   

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4. 制約により分母は1となるため、最大化するのは
   , = Z
   −
   1
   2
   
   2 − 1 −
   1
   2
   Z
   2 − 1
   微分して0とおくと
   −
   +
   = 0
   
   −
   = 0
   = =
   
   連立を解くと
   以上からa,bを求め、Y,Z(正準相関得点)を計算する
   

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5. 正準負荷量
   1
   − 1
   ෍
   =1
   
   
   − ത
   1
   − 1
   = 1
   + 2
   12
   = 1
   =
   1
   
   21
   2
   = 1
   いま、u1に対して求めた。
   これをu2と、Zv1,Zv2についても求める
   Z1
   = 1
   + 2
   12
   Z2
   = 1
   12
   + 2
   1
   + 2
   12
   2
   12
   + 1
   主成分負荷量と同じように使用する
   

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6. 正準寄与率
   第m正準まで作り、その累積で説明できている割合を解釈する。
   冗長性係数
   Yと他方のv1,v2、Zとu1,u2の相関係数を考える
   他方の変数と合成変数との関係を分析する
   
   =
   1
   2
   1
   2 + 2
   2
   
   =
   1
   2
   1
   2 + 2
   2
   

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7. 正準相関分析
   

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