Arnaud Breloy

(Université Paris-Nanterre, FR)

https://s3-seminar.github.io/seminars/arnaud-breloy

Title — Algorithmes d’estimation et de détection en contexte hétérogène rang faible

Abstract — Covariance Matrix (CM) estimation is an ubiquitous problem in statistical signal processing. In terms of application purposes, the accuracy of the CM estimate directly impacts the performance of the considered adaptive process. In the context of modern data-sets, two major problems are currently at stake: - Samples are often drawn from heterogeneous (non gaussian) distributions. - Only a low sample support is available. To respond to these problems, one has to develop new estimation tools that are based on an appropriate modeling of the data. Regarding to the first issue, the Complex Elliptically Symetric distributions framework have attracted lately lots of attention since it can account for the noise heterogeneity, thus lead to robusts estimators. As for the second the second issue, the true CM is often known to possess an inherent structure in many applications. This prior knowledge can be exploited to reduce the numbre of required samples in the estimation process. To enjoy best of both worlds, research currently focuses on ways to develop robust CM estimators with a constrained structure. In this talk, we will present a specific model, driven by radar applications (also more widely extendible), where the samples are drawn from a low rank low rank heterogeneous distribution (the so-called clutter) plus a white gaussian noise (thermal noise). We will present newly developed robust estimation methods of the CM parameters adapted to this context. The use of these new estimators will be illustrated in a Space time Adaptive Processing for airborne radar application.

Biography — Arnaud Breloy graduated from Ecole Centrale Marseille and recived a Master's degree of Signal and Image Processing from university of Aix-Marseille in 2012-13. Formerly Ph.D student at the SATIE and SONDRA laboratories, he is currently lecturer at University Institute of Technology of Ville d’Avray. His research interests focuses on statistical signal processing, array and radar signal processing, robust estimation methods and low rank methods.

Transcript

1. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Algorithmes d’Estimation et de D´ etection en contexte H´ et´ erog` ene Rang Faible Arnaud Breloy Besson Olivier Professeur Rapporteur Chevalier Pascal Professeur Rapporteur Comon Pierre Directeur de Recherche Examinateur Chong Chin Yuan Ing´ enieur de Recherche Examinateur Ginolhac Guillaume Professeur Examinateur (Directeur) Pascal Fr´ ed´ eric Professeur Examinateur (Encadrant) Forster Philippe Professeur Examinateur (Encadrant) A. Breloy 23 Nov 2015 1 / 46
2. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 2 / 46
3. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Introduction Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 3 / 46
4. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Application consid´ er´ ee : radar STAP a´ eroport´ e Signaux re¸ cu par le radar : R´ eponse de cibles mobiles (potentielle) R´ eponse de l’environnement (fouillis) Bruit des capteurs Signaux non d´ eterministes Bruit et r´ eponse de l’environnement consid´ er´ es comme al´ eatoires → Traitements statistiques ← A. Breloy 23 Nov 2015 4 / 46
5. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Traitement statistique du signal Signaux al´ eatoires multivari´ es zk observ´ es, diff´ erents traitements : Estimation de param` etres D´ etection des cibles Traitements ”optimaux” bas´ es sur la statistique d’ordre 2 (inconnue) : Estimation de la matrice de covariance Σ = E zk zH k Traitements adaptatifs : bas´ es sur un estimateur ˆ Σ A priori g´ en´ eraux Les performances des traitements adaptatifs d´ ependant de la pr´ ecision d’estimation de Σ. La pr´ ecision d’un estimateur d´ epend de son ad´ equation avec le mod` ele en amont des donn´ ees. A. Breloy 23 Nov 2015 5 / 46
6. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl´ ematiques actuelles 1) Haute r´ esolution : Fouillis h´ et´ erog` enes Potentielles donn´ ees aberrantes (outliers) 2) Grand nombre de capteurs/impulsions : Nombre de donn´ ees K limit´ e par rapport ` a la dimension M Pour avoir des traitements adaptatifs performants : → Construire des estimateurs pr´ ecis malgr´ e ces conditions ← → Robustes & N´ ecessitant peu de donn´ ees ← Un axe de r´ eponse... Consid´ erer des mod` eles statistiques adapt´ es ` a ces conditions A. Breloy 23 Nov 2015 6 / 46
7. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mod` ele Gaussien z ∼ CN(0, Σ) a pour densit´ e de probabilit´ e f (z) ∝ |Σ|−1exp −zH Σ−1z Sample Covariance Matrix (SCM) Maximum de vraisemblance de la matrice de covariance : ˆ ΣSCM = 1 K K k=1 zk zH k Si donn´ ees gaussiennes : Non biais´ e, consistant et efficace. Asymptotiquement consistant (par TLC). Peu pr´ ecis pour K < M. Peu robuste aux distributions h´ et´ erog` enes et aux outliers. A. Breloy 23 Nov 2015 7 / 46
8. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mod` ele Complexe Elliptique Sym´ etrique (CES) [Ollila12] z ∼ CE(0, Σ, g) a pour densit´ e de probabilit´ e f (z) ∝ |Σ|−1g zH Σ−1z g mod´ elise des distributions ` a queues plus ou moins lourdes que exp. Sous famille : Spherically Invariant Random Vectors (SIRV) z ∼ √ τc avec : - c ∼ CN(0, Σ) - τ un facteur de puissance al´ eatoire ind´ ependant (texture). A. Breloy 23 Nov 2015 8 / 46
9. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee M-estimateurs (ou estimateurs robustes) ˆ ΣM = 1 K K k=1 ψ zH k ˆ Σ−1 M zk zk zH k → ψ(t) = g′(t)/g(t) : maximum de vraisemblance pour z ∼ CE(0, Σ, g) → ψ autre : M-estimateur, e.g. ˆ ΣM = M K K k=1 zk zH k zH k ˆ Σ−1 M zk ψ(t) = M/t : estimateur du point fixe (FPE). [Tyler87, Pascal08] Existence soumise ` a conditions sur ψ et K > M. Calculable avec des it´ erations de point fixe. Asymptotiquement non biais´ e, et consistant. M-estimateurs robustes sur l’ensemble des CES et aux outliers. A. Breloy 23 Nov 2015 9 / 46
10. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl` eme K < M Diff´ erentes approches : Solution 1 : R´ egularisation d’estimateurs Solution 2 : Estimation structur´ ee A. Breloy 23 Nov 2015 10 / 46
11. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee K < M , solution 1 : SCM r´ egularis´ ee [Ledoit04] ˆ ΣSSCM (β) = (1 − β) 1 K K k=1 zk zH k + βIM Meilleures performances ` a K < M Non robuste aux distributions h´ et´ erog` enes. Impose un biais : probl` eme de choix du β. K < M , solution 1 : R´ egularisation d’estimateurs robustes Estimateur de Tyler r´ egularis´ e (SFPE) : [Chen12, Pascal13, Ollila14] ˆ ΣSFPE (β) = (1 − β) M K K k=1 zk zH k zH k ˆ Σ−1 SFPE (β)zk + βIM existe pour β ∈ [max(0, 1 − K/M) , 1]. Calculable avec des it´ erations de point fixe. Permet de calculer un estimateur robuste pour K < M. Impose un biais : probl` eme de choix du β. A. Breloy 23 Nov 2015 11 / 46
12. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee K < M , solution 2 : Estimation robuste structur´ ee Consid´ erations en amont sur le mod` ele/syst` eme : A priori sur la structure de la matrice de covariance Σ ∈ S. e.g. : Toeplitz, persym´ etrique, rang faible... R´ eduit les degr´ es degr´ es de libert´ e du probl` eme d’estimation : meilleures performances ` a K < M SCM sous contrainte de structure max Σ ln |Σ|−1 − K k=1 zH k Σ−1zk s.c. Σ ∈ S Algorithmes ` a ´ etablir selon la structure et la param´ etrisation. ◮ Exemple : RC-ML [Kang14], structure rang faible plus identit´ e. Probl` eme de robustesse persistant. A. Breloy 23 Nov 2015 12 / 46
13. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee M-estimateur sous contrainte de structure [Wiesel12, Sun15, Solov15] max Σ ln |Σ|−1 + K k=1 ln g zH k Σ−1zk s.c. Σ ∈ S Algorithmes ` a ´ etablir selon la structure et la param´ etrisation consid´ er´ ee. Existence pour K < M et unicit´ e non d´ emontr´ ee pour toutes les structures. Piste de recherche encore active. A. Breloy 23 Nov 2015 13 / 46
14. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Tableau r´ ecapitulatif Estimateurs Estimateurs Estimateurs non contraints r´ egularis´ es structur´ es K > M K < M K < M Biais´ es Mod` ele Gaussien SCM SSCM RC-ML Non robuste ... Mod` ele CES M-estimateurs SFPE [Sun15, Solov15] Robuste FPE →Breloy← Estimation robuste structur´ ee Bas´ es sur un ` a priori de structure Consid´ erer le mod` ele en amont des donn´ ees A. Breloy 23 Nov 2015 14 / 46
15. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Probl´ ematique consid´ er´ ee : application radar STAP a´ eroport´ e Mod` ele de donn´ ees observ´ ees : zk = ck + bk Fouillis ck H´ et´ erog` ene (CES, SIRV) Loi de Brennan : Matrice de covariance rang faible Σc = R<M r=1 cr vr vH r Bruit thermique bk Blanc gaussien Ind´ ependant Matrice de covariance totale de structure rang faible plus identit´ e → Probl´ ematique d’estimation robuste structur´ ee ! ← Diff´ erence avec les travaux pr´ ec´ edents Bruit blanc ind´ ependant : distribution consid´ er´ ee non CES. La solution propos´ ee n’est pas un M-estimateur ` a structure contrainte. A. Breloy 23 Nov 2015 15 / 46
16. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Contexte ´ Etat de l’art Probl´ ematique consid´ er´ ee Mes contributions : plan de la pr´ esentation Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible ◮ Maximum de vraisemblance du mod` ele consid´ er´ e ◮ Algorithmes de calcul ◮ Application ` a la d´ etection STAP Estimation du sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible ◮ Estimateurs des vecteurs propres dominants de la matrice de covariance (seulement) ◮ Nouveaux algorithmes ◮ Application au filtrage STAP rang faible A. Breloy 23 Nov 2015 16 / 46
17. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 17 / 46
18. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Mod` ele de distribution du fouillis rang faible Spherically Invariant Random Vector (SIRV) (sous famille des CES) Mod` ele couvrant de nombreuses distributions usuelles e.g. K-distribution, t-distribution, Weibull... Bonne correspondance avec des distributions empiriques mesur´ ees ck = √ τ k gk gk ∼ CN(0, Σc ) avec rang(Σc ) = R < M τk : facteur de puissance al´ eatoire ind´ ependant (texture). Mod` ele de distribution du bruit thermique bk ∼ CN(0, σ2IM ) A. Breloy 23 Nov 2015 18 / 46
19. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Distribution des signaux observ´ es xk = √ τk gk + bk SIRV rang faible g ∼ C N (0, Σc ) rang(Σc ) = R ≪ M connu τk d´ eterministes inconnus Bruit blanc gaussien b ∼ C N (0, σ2IM ) σ2 = 1 connu (xk |τk ) ∼ C N (0, τk Σc + σ2IM ) Probl` eme Estimer Σc par maximum de vraisemblance A. Breloy 23 Nov 2015 19 / 46
20. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations EMV solution du probl` eme : min Σk ,{τk },Σc K k=1 log det (Σk ) + K k=1 zH k Σ−1 k zk c.c. Σk = τk Σc + IM τk ≥ 0 rank (Σc ) ≤ R Probl` emes Pas de solution analytique directe Probl` eme non convexe en Σc , τk . Contrainte de rang non convexe A. Breloy 23 Nov 2015 20 / 46
21. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations EMV param´ etr´ e par SVD solution du probl` eme [Breloy15a] max {vr } R r=1 vH r ˆ Mr vr s.c. vH r vr = 1 , r ∈ [[1, R]] vH r vj = 0 , r, j ∈ [[1, R]] , r = j avec ˆ Mr = K k=1 ˆ cr ˆ τk 1 + ˆ cr ˆ τk zk zH k , et o` u ˆ cr ({ˆ vr }) et ˆ τk ({ˆ vr }) sont les EMV de cr et τk . Probl` emes Pas de solution analytique pour ˆ vr Param` etres ˆ cr et ˆ τk sans solution analytique et fonction de ˆ vr (d´ efinition ”point fixe”) ⇒ N´ ecessit´ e d’algorithmes it´ eratifs A. Breloy 23 Nov 2015 21 / 46
22. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esolution approch´ ee : Algorithme 2SR [Breloy15b] Principe : maximisation altern´ ee de la vraisemblance ◦ ´ Etape 1 : mise ` a jour des cr et τk pour vr fix´ es sous hypoth` ese de fort rapport fouillis ` a bruit : zk ∼ CN(0, Σk ) Σk ≈ Vc V⊥ c τk diag({cr }) + ✓ Ir 0 0 IM−R Vc V⊥ c H VH c zk ∼ CN(0, τk diag({cr })) → it´ erations de point fixe pour obtenir cr et τk ◦ ´ Etape 2 : mise ` a jour des vr pour cr et τk fix´ es, r´ esoudre : max {vr } R r=1 vH r K k=1 ˆ cr ˆ τk 1 + ˆ cr ˆ τk zk zH k vr s.c. vr orthonorm´ es → Descente de gradient sur la vari´ et´ e de Stiefel pour contraindre l’orthonormalit´ e des vecteurs propres A. Breloy 23 Nov 2015 22 / 46
23. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esolution exacte : Algorithme MM2 [SunBreloy15] Principe Majoration-Minimisation : Mettre a jour cycliquement les blocs {τk }, {cr } et {vr } en minimisant une fonction de substitution (borne sup´ erieure de l’objectif) Solutions analytiques ` a chaque mise ` a jour Garantie d’augmenter la vraisemblance ` a chaque it´ eration A. Breloy 23 Nov 2015 23 / 46
24. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Algorithme MM2 ◦ ´ Etape 1 : mise ` a jour des τk pour cr et vr fix´ es τt+1 k = 1 R · R r=1 skr τt k cr τt k cr +1 · R r=1 αkr 1+cr τt k R r=1 αkr cr 1+cr τt k ◦ ´ Etape 2 : mise ` a jour des cr pour τk et vr fix´ es ct+1 r = 1 K · K k=1 skr τk ct r τk ct r +1 · K k=1 αkr 1+ct r τk K k=1 αkr τk 1+ct r τk ◦ ´ Etape 3 : mise ` a jour des vr pour cr et τk fix´ es Mr = K k=1 (τk cr /(τk cr + 1))zk zH k . A = [M1v1 ; . . . ; MR vR ] A = VA DA UH A (SVD fine). Mettre ` a jour V avec V = VA UH A . A. Breloy 23 Nov 2015 24 / 46
25. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Param` etres de simulation Crit` ere NMSE : NMSE( ˆ Σ) = E || ˆ Σ − Σ||2 ||Σ||2 Param` etres : - M = 60 et R = 15 - Textures : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν - Σc matrice Toeplitz (tronqu´ ee) de param` etre ρ = 0.9 Estimateurs compar´ es ˆ ΣSCM : Sample Covariance Matrix ˆ ΣRCML : SCM ` a structure rang faible contrainte ˆ ΣS−FPE : Estimateur de Tyler r´ egularis´ e avec β minimum ˆ ΣEMV −2SR : EMV calcul´ e avec l’algorithme 2SR ˆ ΣEMV −MM2 : EMV calcul´ e avec l’algorithme MM2 A. Breloy 23 Nov 2015 25 / 46
26. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esultats de simulations : NMSE en fonction de K Observations Les m´ ethodes d´ evelopp´ ees sont plus performantes que l’´ etat de l’art 2SR plus performant ` a fort CNR (justifie l’approximation) A. Breloy 23 Nov 2015 26 / 46
27. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Application ` a la d´ etection STAP Test d’hypoth` ese : H0 : z0 = c0 + b0 ; zk = ck + bk , ∀k ∈ [[1, K]] H1 : z0 = d + c0 + b0 ; zk = ck + bk , ∀k ∈ [[1, K]] o` u d est la cible et c0 + b0 est le fouillis plus bruit. D´ etecteur Adaptive Normalized Matched Filter (ANMF) : ˆ Λ( ˆ Σ) = |dH ˆ Σ−1z0 |2 |dH ˆ Σ−1d||zH 0 ˆ Σ−1z0 | H1 ≷ H0 δ ˆ Σ o` u ˆ Σ est un estimateur calcul´ e ` a l’aide des donn´ ees secondaires zk . M´ ethodologie Seuil r´ egl´ e pour PFA de 10−3 pour chaque estimateur (via Monte-Carlo sous H0 ). On ´ etudie la PD en fonction du rapport signal ` a bruit. A. Breloy 23 Nov 2015 27 / 46
28. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations D´ etection STAP - Param` etres du Radar Antennes : N = 8 Impulsions : M = 8 Signal : f0 = 450 MHz, B = 4 MHz et fr = 600 Hz Vitesse plateforme : V = 100 m/s Cible : Vt = 35 m/s en azimut +10◦ Param` etre fouillis Rang du fouillis calcul´ e avec la loi de Brennan : ⇒ R = 15 ≪ NM = 64 : Rang faible τ : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν A. Breloy 23 Nov 2015 28 / 46
29. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations R´ esultats : PD en fonction du SNR Observations L’estimateur propos´ e conduit aux meilleures performances Le β optimal de SFPE est tr` es d´ ependant des param` etres RCML a de mauvaises performances ` a K faible et en contexte h´ et´ erog` ene A. Breloy 23 Nov 2015 29 / 46
30. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Mod` ele Expression du probl` eme Algorithmes d´ evelopp´ es R´ esultats Simulations Conclusions Maximum de vraisemblance du mod` ele SIRV + bruit blanc gaussien Algorithmes de calcul Meilleurs r´ esultats en terme de pr´ ecision d’estimation (NMSE) Application : am´ elioration des performance en d´ etection STAP Perspective R´ eduire la complexit´ e des algorithmes Certaines applications ne n´ ecessitent pas la connaissance des valeurs propres Se focaliser sur l’estimation du sous espace fouillis (vecteurs propres de Σc ) A. Breloy 23 Nov 2015 30 / 46
31. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Motivations : Approximation rang faible Probl` eme ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Conclusions et perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 31 / 46
32. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Approximation rang faible Matrice de covariance structur´ ee : Σtot = R r=1 (cr + 1) vr vH r + M r=R+1 vr vH r l’approximation rang faible consiste en : Σ−1 tot ≈ Π⊥ c ≈ IM − Πc avec Πc = R r=1 vr vH r Les traitements adaptatifs rang faible se basent sur un estimateur de projecteur ˆ Πc plutˆ ot qu’un estimateur de la matrice de covariance ˆ Σtot . Int´ erˆ et Requiert moins d’´ echantillons (coh´ erent avec K < M) A. Breloy 23 Nov 2015 32 / 46
33. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Bruit structur´ e rang faible xk = ck + bk c : Bruit gaussien corr´ el´ e Σc = R r=1 cr vr vH r b : bruit blanc gaussien σ2IM Filtrage rang faible ∼ annulation d’interf´ erence Filtre classique : ˆ w = ˆ Σ−1 SCM d Filtre rang faible : ˆ w = ˆ Π⊥ SCM d ˆ ΠSCM = R r=1 ˆ vr ˆ vH r de la SVD de ˆ ΣSCM ˆ w atteint −3dB de SINR-Loss pour K ≃ 2M ˆ wLR atteint −3dB de SINR-Loss pour K ≃ 2R ≪ 2M A. Breloy 23 Nov 2015 33 / 46
34. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Solution classique : SVD d’un estimateur de la matrice de covariance ˆ Σ −→ SVD −→ ˆ Π SVD de la SCM SVD d’un estimateur robuste SVD d’un estimateur r´ egularis´ e Nouvel outil d´ evelopp´ e pour le cas non gaussien Projecteur issu de l’EMV du mod` ele (diff´ erents algorithmes) Motivations D´ evelopper des algorithmes plus simples Utiliser des relaxations sur le mod` ele (s’affranchir des valeurs propres) Compr´ ehension/interpr´ etation des facteurs en jeu A. Breloy 23 Nov 2015 34 / 46
35. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateur AEMV [[Breloy13a] Hypoth` ese de valeurs propres ´ egales sur Σc (zk |τk ) ∼ CN(0, τk Πc + σ2I) Maximum de vraisemblance du projecteur : R vecteur propres dominants de ˆ M( ˆ Πc ) = K k=1 ˆ τk ˆ τk + 1 zk zH k , o` u ˆ τk est l’EMV des textures : ˆ τk = 1 R zH k ˆ Πc zk − 1 si|| ˆ Πc zk ||2 > R 0 sinon Int´ erˆ et Point fixe : algorithme de maximisation altern´ e simple et rapide Forme maniable (pour ´ eventuels calculs th´ eoriques) A. Breloy 23 Nov 2015 35 / 46
36. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Interpr´ etation de AEMV AEMV : SVD de M = K k=1 τk σ2 + τk zk zH k favorise les fortes textures τk adapt´ e pour l’estimation de projecteur A fort CNR ◮ τk /(σ2 + τk ) −→ 1 ◮ AEMV −→ SCM FPE : SVD de ˆ ΣFPE = K k=1 1 τk zk zH k rejette les fortes textures τk adapt´ e pour l’estimation de matrice de covariance Robustesse en terme d’estimation de projecteur Les estimateurs robustes peuvent rejeter des ´ echantillons pertinents la SCM est peu robuste aux outliers (AEMV aussi ?) On cherche un meilleur compromis performance-robustesse A. Breloy 23 Nov 2015 36 / 46
37. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateur RAEMV [Breloy16 ?] Hypoth` ese de valeurs propres ´ egales sur Σc , corruption par un SIRV orthogonal au fouillis (zk |τk ) ∼ CN(0, τk Πc + βk Π⊥ c + I) Maximum de vraisemblance du projecteur : R vecteur propres dominants de R = K k=1 max( 0 , τk − βk ) (βk + 1) (τk + 1) zk zH k , avec ˆ τk = zH k Πc zk /R − 1 si ||Πc zk ||2 > R 0 sinon , et ˆ βk = zH k Π⊥ c zk /(M − R) − 1 si ||Π⊥ c zk ||2 > M − R 0 sinon . int´ erˆ et Point fixe : algorithme de maximisation altern´ e simple et rapide Se comporte comme AEMV si βk = 0 mais p´ enalise d’´ eventuels outliers A. Breloy 23 Nov 2015 37 / 46
38. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Param` etres de simulation Crit` ere NMSE : NMSE( ˆ Πc ) = E || ˆ Πc − Πc ||2 ||Πc ||2 Param` etres : - M = 60 et R = 15 - Textures : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν - Σc matrice Toeplitz (tronqu´ ee) de param` etre ρ = 0.9 Estimateurs compar´ es ˆ ΠSCM : Sample Covariance Matrix ˆ ΠS−FPE : Estimateur de Tyler r´ egularis´ e avec β minimum ˆ ΠEMV −MM2 : EMV calcul´ e avec l’algorithme MM2 ˆ ΠAEMV : Estimateur AEMV ˆ ΠRAEMV : Estimateur RAEMV A. Breloy 23 Nov 2015 38 / 46
39. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation R´ esultats de simulations : NMSE en fonction de K Observations EMV, AEMV et RAEMV ont des performances similaires SCM proche de EMV si bruit gaussien (et fort CNR) SFPE moins performant pour ce crit` ere A. Breloy 23 Nov 2015 39 / 46
40. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation D´ etection STAP - Param` etres du Radar Antennes : N = 8 Impulsions : M = 8 Signal : f0 = 450 MHz, B = 4 MHz et fr = 600 Hz Vitesse plateforme : V = 100 m/s Cible : Vt = 35 m/s en azimut +10◦ Param` etre fouillis Rang du fouillis calcul´ e avec la loi de Brennan : ⇒ R = 15 ≪ NM = 64 : Rang faible τ : loi Gamma de param` etre de forme ν = 0.1 et d’´ echelle 1/ν A. Breloy 23 Nov 2015 40 / 46
41. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Estimateurs ˆ ΠSCM : Projecteur issu de la SVD de SCM ˆ ΠFPE : Projecteur issu de la SVD de FPE ˆ ΠS−FPE : Projecteur issu de la SVD de S-FPE (diff´ erents β) ˆ ΠRAEMV : Estimateur RAEMV Crit` ere : SINR-LOSS for an estimate ˆ Π : ρ = (dH ˆ Π⊥d)2 (dH ˆ Π⊥Σ ˆ Π⊥d)(dH Σ−1d) A. Breloy 23 Nov 2015 41 / 46
42. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation SINR-Loss en fonction de K Observations Fort CNR, fouillis mod´ er´ ement h´ et´ erog` ene : SCM ≃ RAEMV Faible CNR ou fouillis h´ et´ erog` ene : meilleures performances pour RAEMV et SFPE conduit ` a de moins bonnes performances pour ces conditions A. Breloy 23 Nov 2015 42 / 46
43. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Motivations : Approximation rang faible ´ Etat de l’art Nouveaux estimateurs de sous espace Simulation Robustesse ` a la contamination Observations SCM et AMLE peu robustes SFPE meilleur mais RAEMV plus robuste en g´ en´ eral (et meilleures performances si donn´ ees non contamin´ ees) A. Breloy 23 Nov 2015 43 / 46
44. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives A. Breloy 23 Nov 2015 44 / 46
45. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Conclusions Maximum de vraisemblance du mod` ele SIRV + bruit blanc gaussien ◮ Algorithmes de calcul ◮ Meilleurs r´ esultats en terme de pr´ ecision d’estimation (NMSE) ◮ Application : am´ elioration des performance en d´ etection STAP Estimateurs relax´ es du sous espace fouillis ◮ Algorithmes de calculs simplifi´ es ◮ Performances identiques au maximum de vraisemblance ◮ Estimateur robuste en terme de sous espace ◮ Application en filtrage rang faible A. Breloy 23 Nov 2015 45 / 46
46. Introduction Estimation de la matrice de covariance en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Estimation de sous espace fouillis en contexte h´ et´ erog` ene rang faible Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives Perspectives Application ` a d´ etection d’anomalies en imagerie hyperspectrale ◮ Rang et moyenne ` a estimer simultan´ ement ◮ d´ eveloppement de nouveaux d´ etecteurs rang faible Etude de performances th´ eoriques ◮ Distribution asymptotique de AEMV et RAEMV ◮ Bornes sur l’estimation sous espace (bornes contraintes ? g´ eod´ esiques ?) ◮ Un mauvais estimateur de matrice de covariance peut ˆ etre un bon estimateur de projecteur ? Estimation robuste pour d’autres structures/r´ egularisations ◮ R´ egularisation de la SVD (spectre et vecteurs propres dissoci´ es) ◮ Produit de Kronecker (applicable aussi au STAP) A. Breloy 23 Nov 2015 46 / 46