Review of Scalable Quantum Simulation of Molecular Energies

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1. Review of “Scalable Quantum Simulation of Molecular Energies” 株式会社Quemix 須郷聖也 理化学研究所　中田真秀 blueqat株式会社　湊雄一郎
2. 読んだ論文 O’Malley, P. J. J. et al. Scalable quantum simulation of molecular energies. Phys. Rev. X 6, 031007 (2016) • 水素分子に対するVQEとPEAを スケーラブルな手法で実行し その精度等について議論した論文
3. 背景 • 量子コンピューターを構成するとき、スケーラブルなArchitectureで高いFidelityを 実現することが根本的な課題である • VQEとPEAには実機での先行研究がある ◦ VQEは光学[1]、イオントラップ[2]、PEAは光学[3]、核磁気共鳴[4]、窒素空孔中心[5] [1] Alberto Peruzzo, et al., “A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor,” Nature Communications 5, 1–7 (2014) [2] Yangchao Shen, et al., “Quantum Implementation of Unitary Coupled Cluster for Simulating Molecular Electronic Structure,” e-print arXiv: 1506:00443 (2015). [3] B P Lanyon, et al., “Towards quantum chemistry on a quantum computer.” Nature chemistry 2, 106–111 (2010). [4] Jiangfeng Du, et al., “NMR implementation of a molecular hydrogen quantum simulation with adiabatic state preparation.” Physical Review Letters 104, 030502 (2010). [5] Ya Wang, et al., “Quantum Simulation of Helium Hydride Cation in a Solid-State Spin Register,” ACS Nano 9, 7769–7774 (2015).
4. 問題点 • 先行実験は第二量子化のようなスケーラブルなqubit表現を用いていない ◦ Jordan-Wigner変換やBravyi-Kitaev変換は一部を除いて使用されていない ◦ 局所ハミルトニアンへの効率的な分解ができない ◦ 古典的な前処理として指数関数的に大きい行列の累乗計算が必要 • PEAの先行研究では分子を表すために単一のqubitまたはqutritを超えるものを 使用していない
5. 目的(この論文が行ったこと) • スケーラブルなアーキテクチャでVQE, PEAの精度を検証 ◦ 第二量子化ハミルトニアンの Bravyi-Kitaev変換を使用 • ハードは超電導Xmon qubitを使用 ◦ 今回ハードの面に関しては触れません • 化学精度の範囲で水素の解離のPESを計算する ◦ 最小基底を採用
6. VQE • 変分原理により最小エネルギーを求める(式2) • Unitary Coupled Clusterでパラメーターθを用いて状態準備(式3) ◦ 次スライドで • エネルギーを計算(式4)し、その結果に応じて 再度パラメーターθを古典最適化によって更新する • エネルギーはγ毎に別々に計算して最後に和を取る(下図) • 今回はパラメーターが1変数(θ)のみ ◦ -π ~ πまでの間の1000個の値で期待値を計算 (古典最適化をしたのではなく、決め打ち )
7. UCC(Unitary Coupled Cluster)[1-3] • 古典電子状態理論のゴールドスタンダードであるCCSD(T)よりも厳密に強力な手 法 ◦ 古典では扱いにくい • 相関電子系の扱いとして望ましい性質をいくつか備えている[3] ◦ size-extensive ◦ 変分的 ◦ ヘルマン・ファインマンの定理を満たす ◦ Tの極限において正確 ◦ 左右の固有状態に対して対称 [1] Mark R. Hoffmann and Jack Simons, “A unitary multiconfigurational coupled-cluster method: Theory and applications,” The Journal of Chemical Physics 88, 993 (1988). [2] Rodney J. Bartlett, Stanislaw A. Kucharski, and Jozef Noga, “Alternative coupled-cluster ans¨atze II. The unitary coupled-cluster method,” Chemical Physics Letters 155, 133–140 (1989). [3] Andrew G. Taube and Rodney J. Bartlett, “New perspectives on unitary coupled-cluster theory,” International Journal of Quantum Chemistry 106, 3393–3401 (2006).
8. VQEの結果(の一部、PEAとの比較のグラフは後ほど) • 各項ごとのエネルギー(図a)。黒線が理論値。系統誤差がでているが、和をとると キャンセリングするので全体としてはロバスト ◦ このことは[1]でも言及されている • 核間距離とパラメーターの関数で表したエネルギー(図b)とエラー(右図)のヒート マップ。白線が理論値。 • 指数関数的にコストのかかる事前コンパイルなしに化学的精度を達成 [1]Jarrod R McClean,et al., “The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms,” New Journal of Physics 18, 23023 (2016).
9. PEA • 反復位相推定を行う(IPEA)。測定用ビットは1つ(下図)。 • トロッター分解(式5)を用いた量子断熱過程シミュレーションで状態準備→IPEAで エネルギーを求める(式6)。 ◦ トロッターステップは 1 ◦ トロッター分解のエラーを軽減するために H γ の項の順番を変えて最適なものを古典的に探した点 は非効率
10. VQEとPEAの結果の比較 • VQEとPEAのPES比較(図a)。PEAはエラーが大きく出ている。 • パラメーターの実験と理論の比較(図b)。実験では系統誤差が出るので、理論的 に最適なパラメーターの値で良い結果がでるわけではない。実験でのパラメー ターの最適値は理論値とは異なるが、エラーは抑えられている。 • ゲートの個数 ◦ VQEは11個のシングルキュビットゲート、 2個のCZπゲート ◦ PEAは51個のシングルキュビットゲート、 4個のCZφ /= πゲート、10個のCZπゲート
11. 関連(後発)論文 • Shen, Y. et al., Quantum implementation of the unitary coupled cluster for simulating molecular electronic structure. Phys. Rev. A 95, 020501 (2017). ◦ イオントラップの実機で UCCを実装し、HeH+のPESを計算 ◦ 古典最適化はNelder-Mead法
12. 関連(後発)論文 • A. Kandala, et al,. “Hardware-Efficient Variational Quantum Eigensolver for Small Molecules and Quantum Magnets”, Nature (London) 549, 242 (2017). ◦ 超電導qubitで水素、水素化リチウム、水素化ベリリウムの PES計算 ◦ UCCではなくhardware-efficientなansatzsを使用 ◦ 古典最適化はSPSA(simultaneous perturbation stochastic approximation)
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