ランダムを楽しもう / Algorithm with Randomness

ランダムを楽しもう作成：米田寛峻 (square1001) ～乱択アルゴリズムからランダムな入力の活用まで～

米田寛峻ー Hirotaka Yoneda 2002 年生まれ [2021. 6. 19
撮影] 競技プログラミングなどでは「square1001」として活動 IOI 2018・2020 銀メダル 2021 年東京大学入学自己紹介

競プロでは「square1001」 Algorithm Heuristics レーティング： 2707 （世界ランク 186 位）レーティング：
2860 （世界ランク 3 位） ※ 2022/4/16 時点 ※ 2022/4/16 時点

米田寛峻このスライドは「パ研合宿 2021」※ 3 日目の講義で使用したものです注意事項 • 90
分程度で読むことが想定されています • 本スライドは入門的な教材であるため、ランダム性を使ったアルゴリズムのすべてを網羅しているわけではありません ※ 「パ研合宿 2021」は、2022 年 3 月 27 日～ 30 日に開催された、中高生向けのプログラミング（主に競技プログラミング）の合宿です。 4 / 165

Chapter 0 この講義の内容 Content of this Lecture

0 ランダムを使う？「ランダム」という言葉にはどのようなイメージがありますか？ 2 分 • すごろくで振るサイコロとか… • パチンコやスロットなどの賭けとか…
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0 ランダムを使う？本講義では、2 つのトピックを解説します第 1 章第 2 章
乱択アルゴリズムランダムな入力に対するアルゴリズム 7 / 165

第 1 章「サイコロを振る」ことで、問題が効率的に解ける！？ 1-1. 1-2. 1-3. 数当てゲーム Quick
Select 乱択アルゴリズムを使う問題乱択アルゴリズム

第 2 章ランダムな入力に対するアルゴリズム入力がランダムなら効率的に解ける問題もある！ 2-1. 2-2. 2-3. 2-4. 「ランダムな入力」
の利点ソートナップザック問題ランダムな入力を利用できる問題例

Chapter 1 乱択アルゴリズム Randomized Algorithm

第 1 章乱択アルゴリズム 1-1. 1-2. 1-3. 数当てゲーム Quick Select
乱択アルゴリズムを使う問題

10 枚のカードに 1～100 までの整数が書かれています 1-1 数当てゲームどれか 1 枚のカードの数をいえば
「当たり」です 64 ですか？ Wrong Answer. 12 / 165

何回で当てられますか？数当てゲーム ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? 1-1 ※ もし可能ならば、2 人でプレイしてみましょう。答え（10 枚のカードに書かれた数）は次のスライドに書かれています。 13 / 165

答えは以下の通りです！何回でクリアできましたか？数当てゲーム 10 34 40 60 62 63 70 80
85 90 1-1 14 / 165

“人間的な” 数当てアルゴリズム数当てゲーム 1 1～100 までの数をランダムに選ぶ 2 カードに書かれた数か？ 3
ゲームクリア！ YES NO 1-1 15 / 165

「ランダムに」選ぶというのが重要数当てゲーム 1 1～100 までの数をランダムに選ぶ 2 カードに書かれた数か？ 3
ゲームクリア！ YES NO 1-1 16 / 165

とはいえ、実際の人間は決してランダムではないが… What happens if you ask people to pick a
number `at random’ between 1 and 100? 77 69 7 100 9 (N = 6750) (https://telescoper.wordpress.com/2018/04/11/what-happens-if-you-ask-people-to-pick-a-number-at-random-between-1-and-100/) 17 / 165

平均で何回聞く必要があるか？数当てゲーム 100.0% 1-1 1 回目の質問をする確率 = 90% 18 /
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平均で何回聞く必要があるか？数当てゲーム 1 回質問して当たる確率は 10% 100.0% YES NO 90.0% 10.0%
2 回目の質問をする確率 = 90% 1-1 19 / 165

平均で何回聞く必要があるか？数当てゲーム 1 回質問して当たる確率は 10% 100.0% YES NO 90.0% YES
NO 10.0% 9.0% 81.0% 3 回目の質問をする確率 = 81% 1-1 20 / 165

NO 10.0% 9.0% 81.0% YES NO 8.1% 72.9% 4 回目の質問をする確率 = 72.9% 1-1 21 / 165

NO 10.0% 9.0% 81.0% YES NO 8.1% 72.9% YES NO 7.3% 65.6% YES NO 5 回目の質問をする確率 = 65.61% 1-1 22 / 165

平均で何回聞く必要があるか？数当てゲーム質問回数の平均 = 100% + 90% + 81% +
72.9% + 65.61% + … = 1 + 0.9 + 0.92 + 0.93 + 0.94 + ⋯ = 10 平均的には 10 回でアタリを引ける！（実際の質問回数は運によって変わる） 1-1 23 / 165

クリアするまでの質問回数の確率分布数当てゲーム平均 10 回 1-1 24 / 165

クリアするまでの質問回数の確率分布数当てゲーム平均 10 回でも、どうして乱数を使わないといけないのか？ 1-1 25 /
165

数当てゲームアルゴリズム 1 1, 2, …, 100 の順に当てる当たったらゲームクリア 1-1
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数当てゲームアルゴリズム 1 1, 2, …, 100 の順に当てる当たったらゲームクリア意地悪な入力だと
91 回かかる！ 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1-1 27 / 165

数当てゲームアルゴリズム 1 1, 2, …, 100 の順に当てる当たったらゲームクリアアルゴリズム
2 100, 99, …, 1 の順に当てる当たったらゲームクリア意地悪な入力だと 91 回かかる！ 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 （今度は逆順にしてみたらどうだろうか？） 1-1 28 / 165

数当てゲームアルゴリズム 1 1, 2, …, 100 の順に当てる当たったらゲームクリアアルゴリズム
2 100, 99, …, 1 の順に当てる当たったらゲームクリア意地悪な入力だと 91 回かかる！意地悪な入力だと 91 回かかる！ 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1-1 29 / 165

数当てゲームこのように、紹介したアルゴリズムには大きな違いがある乱数を使わないアルゴリズム乱数を使うアルゴリズム • 平均的なケースで 10 回 • 意地悪なケースだと
91 回 → 意地悪なケースを必ず作れるので、そのときに非効率的になる • 平均的なケースで 10 回 • 意地悪なケースでも平均 10 回 → どんなケースでも本当に運が悪いと 91 回かかるが、そんなことはほぼあり得ない 1-1 30 / 165

乱数を使わないアルゴリズム • 平均的なケースで 10 回 • 意地悪なケースだと 91 回 →
意地悪なケースを必ず作れるので、そのときに非効率的になる数当てゲームこのように、紹介したアルゴリズムには大きな違いがある乱数を使うアルゴリズム • 平均的なケースで 10 回 • 意地悪なケースでも平均 10 回 → どんなケースでも本当に運が悪いと 91 回かかるが、そんなことはほぼあり得ない「サイコロを使う」アルゴリズムが利用できることもある！ 1-1 31 / 165

「数当てゲーム」の応用応用例 1 円周率 𝜋 の計算（「アルゴリズム×数学」 p. 96～97
参照）一辺が 1 の正方形にランダムに点を 𝑁 個打つ何個が「半径 1 の円」に入るか数える？ 1-1 32 / 165

「数当てゲーム」の応用応用例 1 円周率 𝜋 の計算（「アルゴリズム×数学」 p. 96～97
参照）一辺が 1 の正方形にランダムに点を 𝑁 個打つ何個が「半径 1 の円」に入るか数える？ 𝑵 100 1 万 100 万円内に入った数 80 7785 784772 （割合） × 4 3.2 3.114 3.139088 「円周率は大体 3.14」 1-1 33 / 165

数当てゲーム応用例 1 円周率 𝜋 の計算（「アルゴリズム×数学」 p. 96～97 参照）
一辺が 1 の正方形にランダムに点を 𝑁 個打つ何個が「半径 1 の円」に入るか数える？ 𝑵 100 1 万 100 万円内に入った数 80 7785 784772 （割合） × 4 3.2 3.114 3.139088 「円周率は大体 3.14」このような手法を「モンテカルロ法」という 1-1 34 / 165

「数当てゲーム」の応用素朴な疑問円周率 𝜋 なら他の方法を使っても精度よく求められるのでは？ 1-1 35
/ 165

「数当てゲーム」の応用応用例 2 連結な確率の計算 10×10 のマス目がある左上と右下以外の 98 マスに対して
• 50% の確率で通れる • 50% の確率で通れない左上 → 右下に行ける確率は？ S G 1-1 36 / 165

「数当てゲーム」の応用応用例 2 連結な確率の計算モンテカルロ法を使って計算しよう！ランダムにマス目を作って 100 万回シミュレーション
22,049 / 100 万回連結確率約 2.2 % (2.176% ～ 2.234%) S G 1-1 37 / 165

「数当てゲーム」の応用応用例 2 連結な確率の計算モンテカルロ法を使って計算しよう！ランダムにマス目を作って 100 万回シミュレーション
22,049 / 100 万回連結確率約 2.2 % (2.176% ～ 2.234%) S G 1-1 条件が複雑なのでモンテカルロ法以外では求めにくい！ 38 / 165

ここで扱う問題問題 1-2 この中で 𝐾 番目に小さい数は？ 24 58 49 77
81 36 53 𝐾 = 4 番目に小さい数は「53」 𝑁 個の整数 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑁 が与えられる 40 / 165

ここで扱う問題問題 𝑁 個の整数 𝑎1 , 𝑎2 , … ,
𝑎𝑁 が与えられる 1-2 この中で 𝐾 番目に小さい数は？解法配列 𝐴 = 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑁 をソートするすると 𝐴𝐾 が答えになる 1 2 計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁 41 / 165

しかし、この問題も「乱数」をうまく使えば…

ここで扱う問題問題 𝑁 個の整数 𝑎1 , 𝑎2 , … ,
𝑎𝑁 が与えられる 1-2 この中で 𝐾 番目に小さい数は？解法配列 𝐴 = 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑁 をソートするすると 𝐴 𝐾 が答えになる 1 2 計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁 平均計算量 𝑶 𝑵 でこの問題が解けてしまう！ ※ 乱数を使わずに最悪計算量 𝑂 𝑁 で解くアルゴリズムもありますが、とても複雑です。 43 / 165

Quick Select この問題を平均計算量 𝑂 𝑁 で解く 1-2 Quick Select というアルゴリズムを紹介します
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Quick Select 1-2 アイデア値を 1 つランダムに選んで「それ以下のグループ」「それ以上のグループ」に分ける
53 58 24 77 81 49 90 37 19 𝐾 = 5 番目に小さい値を求めたい 45 / 165

53 58 24 77 81 49 90 37 19 𝐾 = 5 番目に小さい値を求めたい Step 1. ランダムに 1 つの値を選ぶ（紫色） 46 / 165

53 58 24 77 81 49 90 37 19 𝐾 = 5 番目に小さい値を求めたい Step 2. 「37 以下」「37 以上」のグループに分ける 47 / 165

24 19 37 53 58 77 81 49 90 𝐾 = 5 番目に小さい値を求めたい Step 3. これをグループごとに並べる 48 / 165

24 19 37 53 58 77 81 49 90 「6 個の中から 2 番目に小さい値」を求める問題になった！ ※ 補足：「37 未満のグループ」と「37」は “5 番目の値より小さい” ことが分かるので、より小さな問題に言い換えられる 49 / 165

Quick Select 1-2 24 19 37 53 58 77 81
49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にするこの処理を終わるまで繰り返す 53 58 24 77 81 49 90 37 19 50 / 165

Quick Select 1-2 この処理を終わるまで繰り返す 24 19 37 53 58 77
81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 53 58 24 77 81 49 90 37 19 51 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 52 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 53 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 [𝐾 = 2] 54 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 [𝐾 = 2] 55 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 [𝐾 = 2] 24 19 37 49 53 58 77 81 90 56 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. 「以下」「以上」の 2 グループに分ける Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 [𝐾 = 2] 24 19 37 49 53 58 77 81 90 [𝐾 = 1] 57 / 165

90 37 19 24 19 37 53 58 77 81 49 90 [𝐾 = 5] [𝐾 = 2] Step #1. 値を 1 つランダムに選ぶ Step #2. Step #3. グループごとに分けて並べる Step #4. より小さな問題にする 24 19 37 53 49 58 77 81 90 [𝐾 = 2] 24 19 37 49 53 58 77 81 90 [𝐾 = 1] 「以下」「以上」の 2 グループに分けるよって 5 番目に小さい値は「53」この問題が解けた 58 / 165

Quick Select の実装 1-2 再帰関数を使って実装できます int kth_element(vector<int> A, int
K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 59 / 165

Quick Select の実装 1-2 再帰関数を使って実装できます 1 値を 1 つランダムに選ぶ
int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 60 / 165

2 「選んだ値より小さい」「選んだ値より大きい」のグループに分割 int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 61 / 165

2 3 より小さな問題にする（ここで再帰関数を使う） int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 「選んだ値より小さい」「選んだ値より大きい」のグループに分割 62 / 165

4 「選んだ値」が答えになったら終了 int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 2 3 より小さな問題にする（ここで再帰関数を使う）「選んだ値より小さい」「選んだ値より大きい」のグループに分割 63 / 165

Quick Select の実装 1-2 これで完成！ 1 値を 1 つランダムに選ぶ 4
「選んだ値」が答えになったら終了 int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 2 3 より小さな問題にする（ここで再帰関数を使う）「選んだ値より小さい」「選んだ値より大きい」のグループに分割 64 / 165

Quick Select の実装 1-2 これで完成！ 1 値を 1 つランダムに選ぶ 4
「選んだ値」が答えになったら終了 int kth_element(vector<int> A, int K) { int N = A.size(); int pos = rand() % N; vector<int> LA, RA; for (int i = 0; i < N; i++) { if (A[i] < A[pos]) { LA.push_back(i); } if (A[i] > A[pos]) { RA.push_back(i); } } if (LA.size() < K) { return kth_element(LA, K); } else if (N - RA.size() <= K) { return kth_element(RA, K - (N - RA.size())); } return A[pos]; } 2 3 より小さな問題にする（ここで再帰関数を使う）「選んだ値より小さい」「選んだ値より大きい」のグループに分割 Quick Select の計算量はどうなるのか？重要な課題 65 / 165

Quick Select の計算量 1-2 … 運が最悪の場合毎回「最小の値」 or 「最大の値」
を選びサイズが 1 ずつしか減らないパターン 𝑁 + 𝑁 − 1 + ⋯ + 1 = 1 2 𝑁 𝑁 + 1 = 𝑂 𝑁2 しかし、こんなことが起こる確率は実質的にゼロに等しい計算量 → 「平均的な運」の場合はどうなるか？ 66 / 165

Quick Select の計算量 1-2 1 ステップで、「平均的なケースで」サイズは何倍になるか？ 𝐾 = 2
の場合 𝐾 = 6 の場合平均 10 → 5.4 （0.54 倍）平均 10 → 6.6 （0.66 倍）具体例（𝑁 = 10 の場合）で考えてみよう 67 / 165

Quick Select の計算量 1-2 1 ステップでどのように分かれるのかを考えよう＜ 𝐾 = 6
の場合＞ 6 7 8 9 1 9 8 7 6 5 平均 0.66 倍どんな場合でも「平均 0.75 倍」以下になる！ ※ 𝐾 = 𝑁/2 のとき、𝑁 が大きくなれば「0.75 倍」に近づき、これが最悪ケースになる 68 / 165

Quick Select の計算量 1-2 「平均的な運」の場合 … 1 回目の長さの平均 =
N 2 回目の長さの平均 = 0.75 N 以下 3 回目の長さの平均 = 0.56 N 以下 4 回目の長さの平均 = 0.42 N 以下 5 回目の長さの平均 = 0.32 N 以下（長さの合計） ≦ N + 0.75N + 0.56N + … = 𝑁 ⋅ 1 + 0.75 + 0.752 + 0.753 + ⋯ = 4𝑁 = 𝑂 𝑁 × 0.75 × 0.75 × 0.75 × 0.75 69 / 165

Quick Select の計算量 1-2 「平均的な運」の場合 … 1 回目の長さの平均 =
N 2 回目の長さの平均 = 0.75 N 以下 3 回目の長さの平均 = 0.56 N 以下 4 回目の長さの平均 = 0.42 N 以下 5 回目の長さの平均 = 0.32 N 以下（長さの合計） ≦ N + 0.75N + 0.56N + … = 𝑁 ⋅ 1 + 0.75 + 0.752 + 0.753 + ⋯ = 4N × 0.75 × 0.75 × 0.75 × 0.75 よって全体計算量は 𝑶 𝑵 70 / 165

問題例 1-3 JOI 2018 本選 3 「団子職人」 H×W のマス目に赤・緑・白の団子がある
上→下、左→右の順に「赤・緑・白」なら取れる最大いくつ取れるか？制約（小課題 1） H, W ≦ 4 （小課題 2） H, W ≦ 10 （小課題 3） H, W ≦ 3000 今回は「小課題 2」（33 点解法）を扱います 72 / 165

問題例 1-3 JOI 2018 本選 3 「団子職人」実は「乱択アルゴリズム」で解ける
「ランダムに取れる団子を選ぶ」を取れなくなるまで繰り返す 1 の処理を 10,000 回繰り返すその中でスコア最大のものを答える 1 2 → H, W ≦ 10 くらいなら最適解が出せる！ ※ 補足：筆者は本番で最初満点解法が思いつかなかったので、まずこの解法を実装して 33 点を取りました 1 2 3 4 5 73 / 165

1 章のまとめ 1-3 乱数を使うと得することもある！ 1 乱数を使って得することも例：計算量の改善 2 モンテカルロ法で
複雑な確率を見積もれる 3 「配列の K 番目に小さい値」は計算量 O(N) 43 66 79 28 61 12 71 94 64 35 74 / 165

Chapter 2 ランダムな入力に対するアルゴリズム Algorithm for random inputs

第 2 章ランダムな入力に対するアルゴリズム 2-1. 2-2. 2-3. 2-4. ランダムな入力の利点ソート
ナップザック問題「ランダムな入力」を利用できる問題

「ランダムな入力」とは？ 2-1 競技プログラミングの問題などでは問題文 𝑁 個の整数 𝐴1 , 𝐴2
, … , 𝐴𝑁 が与えられる． 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑁 を求めるプログラムを作れ．入力入力は以下の形式で標準入力から与えられる． 𝑁 𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑁 出力標準出力に，求める桁数を 1 行で出力せよ．制約 • 1 ≤ 𝑁 ≤ 100 000 • 0 ≤ 𝐴𝑖 ≤ 109 制約を満たすどんなケースでも「正解」するプログラムを作る必要がある ※ 1.2 節「数当てゲーム」の考え方と同じいつも最悪ケースを考える必要がある 77 / 165

「ランダムな入力」とは？ 2-1 一方で、現実の問題を解くときは問題文 𝑁 個の整数 𝐴1 , 𝐴2
, … , 𝐴𝑁 が与えられる． 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑁 を求めるプログラムを作れ．入力入力は以下の形式で標準入力から与えられる． 𝑁 𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑁 出力標準出力に，求める桁数を 1 行で出力せよ．制約 • 1 ≤ 𝑁 ≤ 100 000 • 0 ≤ 𝐴𝑖 ≤ 109 • 𝐴𝑖 はランダムに生成される  New! ランダムな入力とは？ランダムな入力とは、制約の範囲内で乱数を用いて作られた入力のこと特に断らなければ、それぞれの値（右の例だと 𝐴𝑖 ）が一様な乱数で生成されるものとする「入力はランダム」でも十分なときがある 78 / 165

「ランダムな入力」の利点 2-1 「一般のデータ」と「ランダムなデータ」はどう違うか？ランダムなデータデータは基本的に偏っていない一般のデータ
偏ってないデータも、意地悪なデータもある 79 / 165

一般のデータ偏ってないデータも、意地悪なデータもある「ランダムな入力」の利点 2-1 「一般のデータ」と「ランダムなデータ」はどう違うか？ランダムなデータ
データは基本的に偏っていない「偏っていない」を利用して効率的に解ける問題もある！ 80 / 165

ソートとは？ 2-2 ソート： 𝑁 個の数 𝐴1 , 𝐴2 , …
, 𝐴𝑁 を小さい順に並べる問題 43 66 79 28 61 12 71 94 64 35 12 28 35 43 61 64 66 71 79 94 マージソートや Quick Sort で計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁 なのは有名 82 / 165

でも、もし入力がランダムであれば…？

ソート： 𝑁 個の数 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑁
を小さい順に並べる問題ソートとは？ 2-2 43 66 79 28 61 12 71 94 64 35 12 28 35 43 61 64 66 71 79 94 マージソートや Quick Sort で計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁 なのは有名ソートが平均 O(N) でできる！ 84 / 165

ランダムな入力 2-2 目的 𝑁 個の実数 𝑎1 , 𝑎2 , …
, 𝑎𝑁 を小さい順に並べたい制約 • 0 ≤ 𝑎𝑖 < 1 • 𝒂𝒊 は制約の範囲で一様ランダムに生成されるやりたいのは、こういうこと 85 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 アイデア値を 1/𝑁 ごとに区切って、グループ分けする 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4
0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.28 0.61 0.94 86 / 165

0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.28 0.61 0.94 87 / 165

0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.28 0.61 0.94 88 / 165

0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.28 0.61 0.94 89 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 アルゴリズム 1 値を 1/𝑁 ごとに区切って、配列の値をグループ分けする 2 各グループに対して（計算量
𝑂 𝑛2 で）ソートする 3 ソートされた結果を全体でつなげる 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.28 0.61 0.94 90 / 165

𝑂 𝑛2 で）ソートする 3 ソートされた結果を全体でつなげる 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.43 0.66 0.79 0.28 0.61 0.12 0.71 0.94 0.64 0.35 91 / 165

𝑂 𝑛2 で）ソートする 3 ソートされた結果を全体でつなげる 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.43 0.66 0.79 0.28 0.61 0.12 0.71 0.94 0.64 0.35 ソート完了！ 92 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 でも、1 つのグループに密集したら、ソートに時間がかかるのでは？素朴な疑問 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5
0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 0.63 0.61 0.67 93 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8
0.8～0.9 0.9～1.0 一般のデータの場合一般のデータの場合、1 つのグループに密集する「意地悪な」ケースが作れるすると、アルゴリズムの計算量が 𝑂 𝑁2 になる x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 10 x 0 x 0 x 0 コスト = 100 ※ コストは各箱に対する「入っている個数の 2 乗」の合計とする（計算量の目安になる） 94 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 ランダムなデータの場合でも、ランダムなら、前のような例は普通起こらない（相当運が悪くない限り）理由は、ランダム = 「偏りがない」から 0.0～0.1
0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8 0.8～0.9 0.9～1.0 x 0 x 0 x 1 x 2 x 1 x 0 x 2 x 1 x 1 x 2 コスト = 16 Example 1 95 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 0.0～0.1 0.1～0.2 0.2～0.3 0.3～0.4 0.4～0.5 0.5～0.6 0.6～0.7 0.7～0.8
0.8～0.9 0.9～1.0 ランダムなデータの場合でも、ランダムなら、前のような例は普通起こらない（相当運が悪くない限り）理由は、ランダム = 「偏りがない」から x 1 x 3 x 0 x 0 x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 0 コスト = 20 Example 2 96 / 165

ソートのアルゴリズム 2-2 どのくらい偏りがないか、実験してみよう • 0～9 の乱数を 10 回生成して、コストはいくつになるかな？ • Google
で「乱数」と検索 3 分 97 / 165

ソートの計算量 2-2 N = 10 の場合コストの確率分布は次の通りです（100 万回シミュレーション）最頻値
18 98 / 165

ソートの計算量 2-2 N = 100 の場合コストの確率分布は次の通りです（100 万回シミュレーション）最頻値
196 99 / 165

最頻値 196 ソートの計算量 2-2 N = 100 の場合コストの確率分布は次の通りです（100
万回シミュレーション）あれ、𝑶 𝑵𝟐 ではなさそう？ 100 / 165

ソートの計算量 2-2 実は「1 つの箱に入る個数の 2 乗」の期待値は 2 –
1/N 𝐴𝑖 がその箱に入っている場合 𝑥𝑖 = 1 （確率 1/𝑁）、そうでない場合 𝑥𝑖 = 0 とする証明 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑁 2 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥𝑁 2 + 2 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑁−1 𝑥𝑁 の期待値を求めたい期待値は全部 1/𝑁 （𝑥𝑖 = 1 のときだけ 𝑥𝑖 2 = 1 なので）期待値は全部 1/𝑁2 （𝑥𝑖 = 1 かつ 𝑥𝑗 = 1 のときだけ 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 1 なので） = 𝑁 ⋅ 1 𝑁 + 2 ⋅ 1 2 𝑁 𝑁 − 1 ⋅ 1 𝑁2 = 2 − 1 𝑁 期待値 101 / 165

ソートの計算量 2-2 よって、全体のコストの期待値は 2N - 1 これは、ランダムケースでは「ソートの計算量の平均が O(N)」を意味します！
※ 最悪ケースでは計算量 𝑂 𝑁2 かかりますランダムで得するときもある！ 102 / 165

ナップザック問題 2-3 次のような問題を考えよう「500 円以内で最大何 kcal まで食べられる？」 220 円 350
kcal 290 円 380 kcal 180 円 250 kcal 110 円 200 kcal ※ 1 つの食品につき最大 1 回しか選べない 104 / 165

ナップザック問題 2-3 次のような問題を考えよう「500 円以内で最大何 kcal まで食べられる？」 220 円 350
kcal 290 円 380 kcal 180 円 250 kcal 110 円 200 kcal ※ 1 つの食品につき最大 1 回しか選べない答え 630 kcal 105 / 165

ナップザック問題 2-3 このように、以下の問題を「0-1 ナップザック問題」という 𝑁 種類の商品が 1 つずつある
商品 𝑖 の価値は 𝑣𝑖 で、重さは 𝑤𝑖 （𝑣𝑖 , 𝑤𝑖 は正の実数）全体の重さが 𝑊 以下になる選び方の中で、価値の合計は最大いくつになるか？その中でいくつかの商品を選んで持ち帰ることを考える 106 / 165

ナップザック問題 2-3 ナップザック問題を高速に解くのは、難しいとされる（NP 困難）解法 1 全探索すると、計算量 𝑂 2𝑁
かかる解法 2 半分全列挙をしても、計算量 𝑂 2𝑁/2 かかる 𝑁 ≤ 30 程度までしか通用しない 𝑁 ≤ 60 程度までしか通用しない解法 3? 動的計画法 (DP) を使った解法は「𝑣𝑖 , 𝑤𝑖 が実数」なので通用しない！ 107 / 165

ナップザック問題 2-3 このように、以下の問題を「0-1 ナップザック問題」という 𝑁 個の商品が 1 つずつある
商品 𝑖 の価値は 𝑣𝑖 で、重さは 𝑤𝑖 （𝑣𝑖 , 𝑤𝑖 は正の実数）全体の重さが 𝑊 以下になる選び方の中で、価値の合計は最大いくつになるか？解法 1 全パターン調べ上げる： 𝑂 2𝑁 解法 2 半分全列挙： 𝑂 2𝑁/2 解法 3? 動的計画法は、𝑣𝑖 , 𝑤𝑖 が整数とは限らないので通用しないでも、入力がランダムだとどうなる？

ランダムな入力 2-3 目的 𝑁 個の商品に対して、ナップザック問題を解きたい制約 • 0 ≤ 𝑣𝑖
< 1, 0 ≤ 𝑤𝑖 ≤ 1 • 𝒗𝒊 , 𝒘𝒊 は制約の範囲で一様ランダムに生成されるやりたいのは、こういうこと 109 / 165

「緩和問題」を考えよう 2-3 問題ところで、ナップザック問題は、次のように定式化できます 𝑥1 , 𝑥2 , …
, 𝑥𝑛 を 𝑥𝑖 ∈ 0, 1 となるように定めるここで、𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝑥𝑁 ≤ 𝑊 を満たす必要があるこのとき、𝑣1 𝑥1 + 𝑣2 𝑥2 + ⋯ + 𝑣𝑁 𝑥𝑁 の最大値は？ ※ 「𝑥𝑖 が 0 または 1」という意味 110 / 165

「緩和問題」を考えよう 2-3 問題突然ですが、この条件を “緩和” した問題を考えてみましょう 𝑥1 , 𝑥2
, … , 𝑥𝑛 を 𝟎 ≤ 𝒙𝒊 ≤ 𝟏 となるように定めるここで、𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝑥𝑁 ≤ 𝑊 を満たす必要があるこのとき、𝑣1 𝑥1 + 𝑣2 𝑥2 + ⋯ + 𝑣𝑁 𝑥𝑁 の最大値は？つまり「ある商品を 0.5 個取る」などを許すということ 111 / 165

「緩和問題」を考えよう 2-3 問題突然ですが、この条件を “緩和” した問題を考えてみましょう 𝑥1 , 𝑥2
, … , 𝑥𝑛 を 𝟎 ≤ 𝒙𝒊 ≤ 𝟏 となるように定めるここで、𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + ⋯ + 𝑤𝑁 𝑥𝑁 ≤ 𝑊 を満たす必要があるこのとき、𝑣1 𝑥1 + 𝑣2 𝑥2 + ⋯ + 𝑣𝑁 𝑥𝑁 の最大値は？緩和問題は、貪欲法で解ける 112 / 165

「緩和問題」の解法 2-3 220 円 350 kcal 290 円 380
kcal 180 円 250 kcal 110 円 200 kcal アイデア（カロリー） ÷ （値段）の高い順に取るのが絶対に得！現在 0 kcal 残り 500 円 113 / 165

「緩和問題」の解法 2-3 220 円 350 kcal 290 円 380
kcal 180 円 250 kcal 110 円 200 kcal アイデア（カロリー） ÷ （値段）の高い順に取るのが絶対に得！現在 200 kcal 残り 390 円 +200 kcal 114 / 165

「緩和問題」の解法 2-3 220 円 350 kcal 290 円 380

「緩和問題」の解法 2-3 220 円 350 kcal 290 円 380
kcal 180 円 250 kcal 110 円 200 kcal アイデア（カロリー） ÷ （値段）の高い順に取るのが絶対に得！現在 786 kcal 残り 0 円 +236 kcal これが最適！ 117 / 165

「緩和問題」の性質 2-3 重要な性質 ≦ ナップザック問題の解「緩和問題」の解理由：
ナップザック問題の方が、条件が真にきついから 118 / 165

「緩和問題」の性質 2-3 重要な性質 ≦ ナップザック問題の解 786 kcal 理由：
ナップザック問題の方が、条件が真にきついから 119 / 165

「緩和問題」の性質 2-3 重要な性質 ≦ 786 kcal 理由：ナップザック問題の方が、条件が真にきついから確実に
786 kcal 以下 120 / 165

「緩和問題」の性質 2-3 重要な性質 ≦ 786 kcal 理由：ナップザック問題の方が、条件が真にきついから確実に
786 kcal 以下このように、緩和問題には「上界」が分かるという性質がある 121 / 165

分枝限定法 2-3 これを上手く利用した「分枝限定法」という探索手法がある 122 / 165

分枝限定法 2-3 分枝限定法とは？ • 前から順（ここでは 𝑣𝑖 /𝑤𝑖 の大きい順）
に決めていく DFS のように探索する • （現在得られている最良の解） ≧ （緩和問題の解）になったら、探索を枝刈りする • この枝刈りによって、高速化を図る 80 = BEST 78? 87? 87? 分枝限定法のイメージ • DFS の各ステップで緩和解を計算 123 / 165

分枝限定法 2-3 これをナップザック問題に適用してみよう！ A B C D E kcal 100
80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 124 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 257 kcal 257? 125 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 100 kcal 残り 110 円 257? 257? • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 257 kcal 126 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 180 kcal 残り 60 円 257? 257? 257? • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 257 kcal 127 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 180 kcal 残り 60 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 233 kcal 257? 257? 257? 233? 128 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 220 kcal 残り 20 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 233 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 129 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 220 kcal 残り 20 円 • これで「ベストな解」は 220 kcal に 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 130 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 180 kcal 残り 60 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 233 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 131 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 180 kcal 残り 60 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 200 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? 132 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 180 kcal 残り 60 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 200 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? BEST を超える望みはないので枝刈りできる！ 133 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 100 kcal 残り 110 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 257 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? 134 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 100 kcal 残り 110 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 230 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? 230? 135 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 190 kcal 残り 40 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 230 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? 230? 230? 136 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 230 kcal 残り 0 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 230 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 (BEST) 200? 230? 230? 230? 137 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 230 kcal 残り 0 円 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? • これで「ベストな解」は 230 kcal に 230 (BEST) 138 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 230 kcal 残り 0 円 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? • これで「ベストな解」は 230 kcal に 230 (BEST) （中略…） 139 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 257 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 140 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 216 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 216? 141 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 216 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 216? これは、BEST な解より小さい！ 142 / 165

80 90 40 20 price 60 50 70 40 30 𝑣𝑖 ÷ 𝑤𝑖 1.667 1.600 1.286 1.000 0.667 現在 0 kcal 残り 170 円 • 緩和解 = 「これ以上あり得ない」は 216 kcal 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230? 230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 216? これで、最適解 = 230 が分かった 143 / 165

分枝限定法 2-3 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230?
230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 216? 分枝限定法の利用 • 今回は、𝑣𝑖 /𝑤𝑖 の大きい順に探索 • 右図のように「バッサリ」枝刈ることができるのが、分枝限定法の利点 144 / 165

分枝限定法 2-3 257? 257? 257? 233? 233? 220 200? 230?
230? 230? 230 (BEST) 160? 210? 216? 分枝限定法の利用 • 今回は、𝑣𝑖 /𝑤𝑖 の大きい順に探索 • 右図のように「バッサリ」枝刈ることができるのが、分枝限定法の利点探索する状態数は 𝟐𝑵 通りからどのくらい減る？重要な課題 145 / 165

分枝限定法 2-3 N = 100 の場合本来の全探索なら、探索すべき状態数は 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
通りしかし、分枝限定法をすると…？ 146 / 165

分枝限定法 2-3 N = 100 の場合（10,000 回の試行結果）探索状態数 147
/ 165

/ 165

分枝限定法 2-3 N = 10000 の場合（10,000 回の試行結果）探索状態数指数的増加には感じられない！
むしろ 𝑶 𝑵 に近い 150 / 165

分枝限定法 2-3 どうして状態数が少なくなるのか？直感的な説明「緩和解の大きい解から順に探索する」という仮定をする（実際それに近い動きをする） 1 （緩和解）
- （実際の解） ≦ 1/N の解は O(N) 回探索すればきっと見つかるはず 2 ランダムなので、「ほぼピッタリ」な解がいずれ見つかるはず！その後すぐ（緩和解）＜（2 で得られた解）になって探索が終了する 3 151 / 165

問題例 2-4 問題 𝑁 個の点 𝑋1 , 𝑌1 , 𝑋2
, 𝑌2 , … , 𝑋𝑁 , 𝑌𝑁 がある 𝑋𝑖 − 𝑋𝑗 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑗 の最大値は？制約 𝑁 ≤ 106, 𝑋𝑖 ≤ 109, 𝑌𝑖 ≤ 109 入力はランダムこの長方形の面積を最大化したい 153 / 165

問題例 2-4 実は、「右上頂点」としてあり得るものは右図の例では 5 通りしかない！この長方形の面積を最大化したい理由
仮にそれ以外の点（青色）が右上頂点になるとするすると、これより面積が絶対に大きくなる右上頂点が存在する条件どんな 𝑗 に対しても 𝑋𝑖 ≥ 𝑋𝑗 , 𝑌𝑖 ≥ 𝑌 𝑗 となる点 𝑋𝑖 , 𝑌 𝑗 154 / 165

問題例 2-4 同様に、左上頂点としてあり得るものは右図の例では 2 通りしかない！この長方形の面積を最大化したい条件どんな
𝑗 に対しても 𝑋𝑖 ≤ 𝑋𝑗 , 𝑌𝑖 ≤ 𝑌 𝑗 となる点 𝑋𝑖 , 𝑌 𝑗 5×2 = 10 通りの全探索だけで最適解が求められる！ 155 / 165

問題例 2-4 同様に、左上頂点としてあり得るものは右図の 2 通りしかない！この長方形の面積を最大化したい条件どんな
𝑗 に対しても 𝑋𝑖 ≤ 𝑋𝑗 , 𝑌𝑖 ≤ 𝑌 𝑗 となる点 𝑋𝑖 , 𝑌 𝑗 5×2 = 10 通りの全探索だけで最適解が求められる！探索するケースは 𝑵𝟐 通りからどのくらい減る？重要な課題 156 / 165

問題例 2-4 相対的な位置関係だけを考えよう 1, 2, … , 𝑁 のランダムな順列 𝑝1
, 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 を考える 𝑖 番目の点が 𝑖, 𝑝𝑖 にあるとする • すると、右上頂点になり得る条件は「𝑝𝑖 が 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑖 の中で最大値」 → 確率は 1/𝑖 157 / 165

問題例 2-4 相対的な位置関係だけを考えよう 1, 2, … , 𝑁 のランダムな順列 𝑝1
, 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 を考える 𝑖 番目の点が 𝑖, 𝑝𝑖 にあるとする • すると、右上頂点になり得る条件は「𝑝𝑖 が 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑖 の中で最大値」 → 確率は 1/𝑖 よって、右上頂点の個数の期待値は 𝟏 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 + ⋯ + 𝟏 𝑵 ≈ 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝑵 158 / 165

問題例 2-4 結論探索すべき「右上頂点」の個数は平均 log𝑒 𝑁 個探索すべき
「左下頂点」の個数も平均 log𝑒 𝑁 個よって、探索すべき長方形は log𝑒 𝑁 2 個！アルゴリズム 1 2 点を 𝑋𝑖 の昇順・ 𝑌𝑖 の昇順にソートして、順列 𝑝 を求める「右上頂点」「左下頂点」を列挙する計算量 𝑂 𝑁 計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁 3 長方形を全探索 𝑂 log2 𝑁 159 / 165

「左下頂点」の個数も平均 log𝑒 𝑁 個よって、探索すべき長方形は log𝑒 𝑁 2 個！アルゴリズム 1 2 点を 𝑋𝑖 の昇順・ 𝑌𝑖 の昇順にソートして、順列 𝑝 を求める「右上頂点」「左下頂点」を列挙する計算量 𝑂 𝑁 計算量 𝑶 𝑵 𝐥𝐨𝐠 𝑵  本当に？ 3 長方形を全探索 𝑂 log2 𝑁 160 / 165

「左下頂点」の個数も平均 log𝑒 𝑁 個よって、探索すべき長方形は log𝑒 𝑁 2 個！アルゴリズム 1 2 点を 𝑋𝑖 の昇順・ 𝑌𝑖 の昇順にソートして、順列 𝑝 を求める「右上頂点」「左下頂点」を列挙する計算量 𝑂 𝑁 計算量 𝑶 𝑵 𝐥𝐨𝐠 𝑵  本当に？ 3 長方形を全探索 𝑂 log2 𝑁 ランダムな配列のソートは 𝑶 𝑵 でできる！ 161 / 165

「左下頂点」の個数も平均 log𝑒 𝑁 個よって、探索すべき長方形は log𝑒 𝑁 2 個！アルゴリズム 1 2 点を 𝑋𝑖 の昇順・ 𝑌𝑖 の昇順にソートして、順列 𝑝 を求める「右上頂点」「左下頂点」を列挙する計算量 𝑂 𝑁 計算量 𝑶 𝑵 3 長方形を全探索 𝑂 log2 𝑁 162 / 165

「左下頂点」の個数も平均 log𝑒 𝑁 個よって、探索すべき長方形は log𝑒 𝑁 2 個！アルゴリズム 1 2 点を 𝑋𝑖 の昇順・ 𝑌𝑖 の昇順にソートして、順列 𝑝 を求める「右上頂点」「左下頂点」を列挙する計算量 𝑂 𝑁 計算量 𝑶 𝑵 3 長方形を全探索 𝑂 log2 𝑁 よって、この問題は平均 𝑶 𝑵 で解けた！ 163 / 165

2 章のまとめ 2-4 「一般のデータ」と「ランダムなデータ」はどう違うか？（再掲）一般のデータランダムなデータ
データは基本的に偏っていない偏ってないデータも、意地悪なデータもある 164 / 165

2 章のまとめ 2-4 一般のデータの世界 • ソートは計算量 𝑂 𝑁 log 𝑁
• ナップザック問題は計算量 𝑂 2𝑁/2 などなど… 私たちが普段競プロで取り組んでいるのは「一般のデータの世界」「データがランダムなこと」で得することもあるランダムなデータの世界 • ソートは計算量 𝑂 𝑁 • ナップザック問題も十分高速などなど… 「偏りのない性質」を利用して、速く・効率的に・単純に解ける場合もある！ 165 / 165

ランダムを楽しもう / Algorithm with Randomness

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