線形代数学入門講座 第2回スライド

てくますプロジェクトで行った線形代数学入門講座の第2回スライドです。
実施：2024/04/22

Transcript

1. 線形代数学 入門講座 ②連立一次方程式 てくますゼミ
2. ①行列の演算 ②連立一次方程式 ③正則行列 ④置換 ⑤行列式 ⑥数ベクトル空間 ⑦固有値 ⑧行列の対角化 てくます講座 線形代数学(全8回) の流れ 連立一次方程式 行基本変形 掃き出し法 行列の簡約化
3. てくます講座 学習方法 ・メモをとろう！ 講座ではスライドに載せきれない大事なことも話します。 配布されたレジュメの余白に書いておきましょう。 ・問題を解こう！ 学問を読み聞きだけで身に付けるのは難しいです。 問題を解くことで手を動かし、理解の確認をしましょう。 ・質問をしよう！ せっかく参加した講座です。 気になることは、講座中でも質問していきましょう。
4. 線形代数学 ②連立一次方程式 連立一次方程式 連立一次方程式は、加減法で解くことができました。 (例)
5. 線形代数学 ②連立一次方程式 連立一次方程式 1行目に2行目の-2倍を加える。 1行目を 1 3 倍する。 2行目に1行目の-2倍を加える。 1行目と2行目を入れ換える。 加減法で解くときの途中の各操作に注目してみましょう。
6. 線形代数学 ②連立一次方程式 行基本変形 加減法でしている操作は、次の3種類に分類できます。 (1) 1つの行を0でない定数 𝑐 倍する。 (2) 2つの行を入れ換える。 (3) 1つの行に他の1つの行の定数 𝑐 倍を加える。 これらを行基本変形といいます。 行基本変形は、方程式を解くときに大事な同値な変形になっています。
7. 線形代数学 ②連立一次方程式 拡大係数行列 連立一次方程式は行列で表すことができます。 左辺の係数たちと右辺の数たちを並べた行列を連立一次方程式の拡大係数行列 といいます。
8. 線形代数学 ②連立一次方程式 掃き出し法 1行目に2行目の-2倍を加える。 1行目を 1 3 倍する。 行基本変形で連立方程式を解くことを掃き出し法といいます。
9. 線形代数学 ②連立一次方程式 掃き出し法 2行目に1行目の-2倍を加える。 1行目と2行目を入れ換える。
10. 線形代数学 ②連立一次方程式 様々な連立一次方程式 連立一次方程式の答えには、様々なタイプがあります。 ・解が存在しないものを、不能という。 これをみたす 𝑥, 𝑦 は存在しない。 掃き出し法で整理すると、次の拡大係数行列に到達する。 これは 0 = 1 という条件式があることになり、 解なし と解ける。
11. 線形代数学 ②連立一次方程式 様々な連立一次方程式 ・解が複数ありパラメータで表されるものを、不定という。 これをみたす 𝑥, 𝑦 は無数にある。 掃き出し法で整理すると、次の拡大係数行列に到達する。 これは、 𝑥 + 2𝑦 = −1 という条件式だけがあり、 𝑦 をパラメータ 𝑐 とすれば、 ( 𝑐 は任意定数) と解ける。
12. 線形代数学 ②連立一次方程式 簡約な行列 連立方程式が解けたときの拡大係数行列はどのようになっているでしょうか。 上のような行列を簡約な行列といいます。 零でない行ベクトルの成分のうち、0でない一番左の成分を主成分といいます。
13. 線形代数学 ②連立一次方程式 行列の簡約化 簡約な行列は次をみたす行列です。 (1) 零な行ベクトルは零でない行ベクトルより下にある。 (2) 零でない行ベクトルの主成分は1である。 (3) 主成分の位置は下にあるほど右にある。 (4) 主成分がある列の他の成分は0である。 行基本変形を繰り返して簡約な行列に変形することを簡約化といいます。
14. 線形代数学 ②連立一次方程式 掃き出し法のメリット ・解く作業中、記号を省略して書くことができる。 ・各操作を行列の言葉に言い換えることができる。 →「操作をする」を「行列を掛ける」とみなせる。 →行列の研究で得られた結果に帰着できる。 ・簡約化を見ることで、連立一次方程式を分類できる。 →どんなときにキレイに解けて、どんなときに不能や不定になるのか。 →方程式ひとつひとつを考えることから、方程式全体を考える見方へ。
15. 線形代数学 ②連立一次方程式 まとめ ・大きな連立一次方程式も、加減法で手順に沿えば解くことができる。 ・加減法の各操作は拡大係数行列の行基本変形で表せる。 ・行基本変形で連立一次方程式を解く方法を掃き出し法という。 ・連立一次方程式が解けた状態に対応する拡大係数行列を簡約化という。