論理構造入門

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1. A B P 2. ¬A P 3. B C P 4. B 1, 2, DS 5. C 3, 4, MP 6. B C 4, 5, Conj QED 1-6, CP

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(A B) (B C) P 2. B P [B C ͳͷͰ] 3. A B 2, Add 4. B C 1, 3, MP 5. C 4, Simp 6. B C 2-5, CP QED 1, 6, CP

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A B P 2. ¬A A P 3. ¬B P [B ͳͷͰ] 4. ¬¬A P [¬A ͳͷͰ] 5. A DN 6. B 1, 5, MP 7. False 3, 6, Contr 8. ¬A 4-7, IP 9. A 2, 8, MP 10. False 8, 9, Contr 11. B 3, 8-10, IP QED

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B) P 2. C D P 3. ¬A ¬B 1, T 4. ¬C D 2, T · · ·

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A ! C, B ! C C Ծݴࡾஈ࿦๏ )ZQPUIFUJDBM4ZMMPHJTN )4 A ! B, B ! C A ! C

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x(A(x) B(x)) P 2. x(B(x) C(x)) P 3. A(x) B(x) 1, UI 4. B(x) C(x) 2, UI 5. A(x) C(x) 3, 4, HS 6. x(A(x) B(x)) 5, UG QED 1-6, CP

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ೋ߲ؔ܎͕ඇ൓ࣹత͔ͭਪҠతͳΒ͹ ඇରশతͰ͋Δ͜ͱͷূ໌ 125 1. ¬p(x, x) P 2. ¬p(u, v)
¬p(v, w) p(u, w) P 3. p(a, b) P 4. p(b, a) P 5. ¬p(x, v) ¬p(v, x) 1, 2, R, {u/x, w/x} 6, ¬p(b, a) 3, 5, R, {x/a, v/b} 7. 4, 6, R, {} QED

ԋश໰୊ɿಋग़Λ༻͍ͨఆཧূ໌ w ࣍ͷٞ࿦ΛܗࣜԽ͠ɺܗࣜԽͨ͠੔࿦ཧ͕ࣜଥ౰Ͱ͋Δ͜ͱΛɺಋग़نଇ Λ༻͍ͯূ໌ͤΑ w ೥ੜʹΑͬͯ͸ɺ͢΂ͯͷ೥ੜ͕޷͖Ͱ͋Δɻ೥ੜΛ޷͖ͳ೥ੜ ͸͍ͳ͍ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ೥ੜͰ͋Δ೥ੜ͸͍ͳ͍ɻ 126

ཱํ࠷ີॆర ࿡ํ࠷ີॆర ͜ͷͭͷٿͷ഑ஔͷ࢓ํ͕Ұ൪ߴີ౓Ͱ͋Δͱ͍͏༧૝ έϓϥʔ༧૝

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G9ˠ: w B9 w G B : w ৄࡉ͸ུʢͱ͍͏͔ৄࡉ·ͰޠΕΔ΄Ͳৄ͘͠͸ͳ͍ʣ w ࣗવԋ៷తʹɺܕ͕ਪ࿦Ͱ͖ΔͷͰ͸ͳ͍͔ 129

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ؔ਺ܕɿABˠACͱදهɻABͱ͍͏ܕΛҾ਺ʹͱΓɺACͱ͍͏ܕͷ஋Λฦ͢ ؔ਺ͱ͍͏ҙຯɻ੔࿦ཧࣜͰॻ͘ͱɺQ AB AC ͱॻ͚Δ w JOUˠCPPMͳΒɺ੔਺஋ΛͱΓɺਅཧ஋Λฦؔ͢਺ 133

ܕ؀ڥ 134 if flag then let var1 = func1 a
in mul var1. else let var2 = func2 b in pow var2. . { flag: `flag, var1: `var1, func1: `func1, a: `a, mul: `mul, var2: `var2, func2: `func2, b: `b, pow: `pow } wϓϩάϥϜதͷม਺ͱܕͷϚοϐϯάΛߦ͏ܕ ؀ڥΛܕਪ࿦தʹར༻ wܕ؀ڥதͷܕม਺Λɺܕਪ࿦தʹߋ৽͍ͯ͘͠ ϓϩάϥϜ ܕ؀ڥ

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ม਺ͷUZQJOHؔ਺ w UZQJOHม਺ͷ৔߹ w طʹͦͷม਺͕ܕ؀ڥʹ͋Δͱ͖ɺܕ؀ڥதͷ஋Λฦ͢ w ܕ؀ڥதʹແ͍ม਺ͷͱ͖ɺ৽ͨͳܕม਺AUΛܕ؀ڥʹ௥Ճͯ͠ɺAU Λฦ͢ w ྫɿܕ؀ڥ͕ӈਤͷ৔߹ʢ্͕ॳظ஋ʣ
w UZQJOHWBS͸ɺJOUΛฦ͢ w UZQJOHWBS͸ɺAUΛฦ͢ w UZQJOHWBS͸ɺ৽ͨͳܕม਺AUΛܕ؀ڥதʹ௥Ճͯ͠ɺAUΛฦ͢ 137 { var1: int, var2: `t } ܕ؀ڥ { var1: int, var2: `t, var3: `t1 } UZQJOHWBS

JGࣜͷUZQJOHؔ਺ w UZQJOHJGࣜUIFOࣜFMTFࣜͷ৔߹ ࣜʹରͯ͠UZQJOHࣜΛٻΊΔ UZQJOHࣜͷฦΓ஋ͱɺ੔਺஋CPPMͰ୯ҰԽ͠ɺͦͷ࠷൚୯ҰԽࢠͰܕ؀ڥʹ୅ ೖΛߦ͏ɻ୯ҰԽͰ͖ͳ͍৔߹͸Τϥʔ UZQJOHࣜͱUZQJOHࣜΛٻΊΔ
UZQJOHࣜͱUZQJOHࣜͷ݁Ռʹରͯ͠୯ҰԽ͠ɺͦͷ࠷൚୯ҰԽࢠͰܕ؀ڥʹ୅ ೖΛߦ͏ɻ୯ҰԽͰ͖ͳ͍৔߹͸Τϥʔ UZQJOHࣜʹͷ࠷൚୯ҰԽࢠΛ୅ೖͨ͠ܕΛฦ͢ 138

ྫɿJGࣜͷUZQJOHؔ਺ w JGWBSUIFOYFMTFZͷ৔߹ UZQJOHWBSͷ݁Ռɺܕ؀ڥ͕\WBSAU^ͱͳΓɺܕม਺AU͕ฦͬͯ͘Δ AUͱCPPMͰ୯ҰԽ͠ɺ࠷൚୯ҰԽࢠ͕\AUCPPM^ͱͳΔɻ  ·ͨɺܕ؀ڥ͸\WBSAU\AUCPPM^^\WBSCPPM^ͱͳΔɻ UZQJOHYͱUZQJOHZͷ݁Ռɺܕม਺AYͱܕม਺AZ͕ฦͬͯ͘Δɻ 
·ͨɺܕ؀ڥ͸\WBSCPPM YAY ZAZ^ͱͳΔɻ AYͱAZͰ୯ҰԽ͢Δͱ࠷൚୯ҰԽࢠ͕\AYAZ^ͱͳΔɻ  ܕ؀ڥ͸ɺ\WBSCPPM\AYAZ^ YAY\AYAZ^ ZAZ\AYAZ^^\WBSCPPM YAZ ZAZ^ AY\AYAZ^AZΛ݁Ռͱͯ͠ฦ͢ 139

ྫɿ୯ҰԽͰ͖ͳ͍JGࣜ w JGUIFOYFMTFZͷ৔߹ UZQJOH͸JOUΛฦ͢ JOUͱCPPMͰ୯ҰԽ͸ग़དྷͳ͍ͨΊɺܕνΣοΫʹࣦഊ͠Τϥʔ 140

ؔ਺ݺͼग़͠ͷUZQJOHؔ਺ w UZQJOHࣜࣜͷ৔߹ UZQJOHࣜʢ݁ՌΛAFͱ͢ΔʣͱUZQJOHࣜ ݁ՌΛAFͱ͢Δ Λ ٻΊΔ ৽͍͠ܕม਺AUΛ༻ҙ͠ɺAFͱAFˠAUͰ୯ҰԽ͠ɺͦͷ࠷൚୯ҰԽ
ࢠͰܕ؀ڥʹ୅ೖΛߦ͏ɻ୯ҰԽͰ͖ͳ͍৔߹͸Τϥʔ AUΛฦ͢ 141

ྫɿؔ਺ݺͼग़͠ͷUZQJOHؔ਺ w GVOͷ৔߹ w UZQJOHGVOͱUZQJOHͷ݁Ռ͕ɺAGVOͱJOUͰɺ  ܕ؀ڥ͕\GVOAGVO^ͱͳΔ w AGVOͱJOUˠAUͰ୯ҰԽ͢Δͱɺ࠷൚୯ҰԽࢠ͕\AGVOJOUˠAU^ͱͳΓɺ  ܕ؀ڥ͕\GVOAGVO\AGVOJOUˠAU^^\GVOJOUˠAU^ͱͳΔ w
AUΛฦ͢ 142

ԋश໰୊ɿܕਪ࿦ w ࣍ͷϓϩάϥϜΛܕਪ࿦ͨ݁͠Ռͷܕ؀ڥΛٻΊΑ 143 if a 100 then b c
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MFUࣜͷUZQJOHؔ਺ w MFUม਺ࣜJOࣜͷ৔߹ UZQJOHࣜΛٻΊΔ UZQJOHม਺ΛٻΊΔ ͱͷ݁ՌͰ୯ҰԽ͠ɺͦͷ࠷൚୯ҰԽࢠͰܕ؀ڥʹ୅ೖ  ୯ҰԽͰ͖ͳ͍৔߹͸Τϥʔ
UZQJOHࣜΛٻΊɺͦͷ݁ՌΛฦ͢ 144

ྫɿMFUࣜͷUZQJOHؔ਺ w MFUYJOGYͷ৔߹ UZQJOHͷ݁Ռ͕JOU UZQJOHYͷ݁Ռ͕AYͰɺܕ؀ڥ͕\YAY^ AYͱJOUͰ୯ҰԽ͠ɺ࠷൚୯ҰԽࢠ͕\AYJOU^  ܕ؀ڥ͕\YAY\AYJOU^^\YJOU^
UZQJOHGYͷ݁Ռ͕AUͰɺܕ؀ڥ͕\YJOU GJOUˠAU^ͰɺAUΛฦ͢ 145

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論理構造入門

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