2026年度秋学期 応用数学（解析） 第2部・基本的な微分方程式 ／ 第5回 微分方程式とは・変数分離形 (2026. 10. 23)

関西大学総合情報学部　応用数学（解析）（担当・浅野晃）
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Transcript

1. 2026年度秋学期 応用数学（解析） 第２部・基本的な微分方程式 ／ 第5回 微分方程式とは・変数分離形 関西大学総合情報学部 浅野 晃
2. 微分方程式とは🤔🤔
3. 微分方程式とは ふつうの方程式は，解は「数」 2 x − 5x + 3 = 0 微分方程式は，解が「関数」で，その微分が含まれる方程式 x が t の関数（つまりx(t)）のとき， ′ x =x ′′ ′ x − 5x + 6x = 0 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 26
4. 微分方程式とは ふつうの方程式は，解は「数」 2 x − 5x + 3 = 0 微分方程式は，解が「関数」で，その微分が含まれる方程式 x が t の関数（つまりx(t)）のとき， ′ x =x ′′ ′ x − 5x + 6x = 0 関数は「量の変化」 微分方程式は「変化の条件」 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 26
5. 微分方程式とは ふつうの方程式は，解は「数」 2 x − 5x + 3 = 0 微分方程式は，解が「関数」で，その微分が含まれる方程式 x が t の関数（つまりx(t)）のとき， ′ x =x ′′ ′ x − 5x + 6x = 0 関数は「量の変化」 微分方程式は「変化の条件」 微分方程式を解くと，「どう変化するか」がわかる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 26
6. 1階・２階，常微分・偏微分 １階導関数に関する微分方程式： １階微分方程式 x =x ２階導関数に関する微分方程式： ２階微分方程式 ′′ ′ x − 5x + 6x = 0 ⋮ ′ １変数関数の微分方程式は常微分方程式 ２変数以上の関数の偏微分に関する 微分方程式は偏微分方程式 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4 26
7. 微分方程式を解くとは 微分方程式を「解く」とは， その方程式を満たす関数を見つけること 微分方程式は 特定のパターンのものしか解けない 解ける微分方程式のうち，簡単なものの 基本的なパターンをいくつか紹介します。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 26
8. 微分方程式の例🤔🤔
9. 運動方程式 物体に働く力と，その運動との関係 力F 物体の質量 m 物体の加速度 a F = ma 加速度は速度の微分， 速度は位置の微分だから， 時刻 t の物体の位置を x(t) とすると ′′ F = mx これを解いて関数 x(t) を求めると，時刻 t での物体の位置がわかる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 26
10. 落下の問題 物体が空気中を落下するとき 力 F ＝下向きの重力 mg ＋ 上向きの抵抗力 抵抗力は速度の２乗に比例する ′′ 運動方程式は F = mx なので ′ 2 −k(x ) ′ 2 ′′ mg − k(x ) = mx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 26
11. 落下の問題 物体が空気中を落下するとき 力 F ＝下向きの重力 mg ＋ 上向きの抵抗力 抵抗力は速度の２乗に比例する ′′ 運動方程式は F = mx なので ′ 2 −k(x ) ′ 2 ′′ mg − k(x ) = mx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 26
12. 落下の問題 物体が空気中を落下するとき 力 F ＝下向きの重力 mg ＋ 上向きの抵抗力 抵抗力は速度の２乗に比例する ′′ 運動方程式は F = mx なので ′ 2 −k(x ) ′ 2 ′′ mg − k(x ) = mx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 26
13. 放射性物質の崩壊 崩壊の速度は，現在存在する物質の量に比例する 時刻 t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると ′ x = −kx 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 26
14. 一般解・特殊解・特異解🤔🤔
15. 一般解と特殊解 時刻 t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると ′ x = −kx 定数 k が決まったら，解はひとつの関数に決まるか？ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 26
16. 一般解と特殊解 時刻 t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると ′ x = −kx 定数 k が決まったら，解はひとつの関数に決まるか？ 決まらない 最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が わからないと解はひとつに決まらない 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 26
17. 一般解と特殊解 時刻 t の時点で存在する物質の量を x(t) とすると ′ x = −kx 定数 k が決まったら，解はひとつの関数に決まるか？ 初期値という 決まらない 最初 t = 0 に存在する物質の量 x(0) が わからないと解はひとつに決まらない 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 26
18. 一般解と特殊解 初期値が定まったときに求められる解を 特殊解(particular solution) という 初期値が定まっていないとき， 初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を 一般解(general solution) という 一般解の例： x(t) = C exp(−kt) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 26
19. 一般解と特殊解 初期値が定まったときに求められる解を 特殊解(particular solution) という 初期値が定まっていないとき， 初期値を代入したらひとつの特殊解が求められるような形の解を 一般解(general solution) という 初期値が定まってはじめて決まる パラメータ 一般解の例： x(t) = C exp(−kt) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 26
20. 特異解と解の一意性 ′ x =x 1 3 の一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 ( C は定数） 3 方 も明ら 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
21. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
22. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
23. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら でも，x ≡ 0 も解では？ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
24. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら でも，x ≡ 0 も解では？ 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
25. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
26. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
27. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
28. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 –C t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
29. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 –C t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
30. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 C<0 –C t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
31. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 C<0 –C t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
32. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 C<0 –C t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
33. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 C<0 –C x ≡ 0 も解 t 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
34. 特異解と解の一意性 3 2 ′ x = x の一般解 x = { 3 (t + C)} 2 ( C は定数） 1 3 2方 2も明ら ′ (なぜならば） x = { (t + C)} 2 · 1 3 2 3 3 1 1 2 = { (t + C)} 2 = x 3 3 一般解 3 2 x = { (t + C)} 2 3 方 も明ら x でも，x ≡ 0 も解では？ C=0 3 2 一般解 x = { 3 (t + C)} 2 には 方 も明ら Cをどう変えても含まれない C>0 C<0 –C x ≡ 0 も解 t 特異解(singular solution)という 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 26
35. 特異解と解の一意性 初期値がひとつ定まったときに，解がひとつだけに決まることを， 解が一意(unique)であるという 一意性の十分条件のひとつ「リプシッツ条件」 微分方程式が x′(t) = f(t, x) のとき，初期値のまわりでどんな x1, x2 についても |f (t, x1 ) − f (t, x2 )|  L|x1 − x2 | となる定数 L があるなら，その初期値について一意 「x のわずかな変化について， f がいくらでも大きく変化する，ということはない」くらいの意味 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 26
36. 変数分離形🤔🤔
37. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
38. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
39. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt x ̸= 0 として 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
40. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 1 dx x ̸= 0 として = −k と変形する x dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
41. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 1 dx x ̸= 0 として = −k と変形する x dt 両辺を t で積分  1 dx dt = x dt  (−k)dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
42. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 1 dx x ̸= 0 として = −k と変形する x dt 両辺を t で積分  置換積分をする  1 dx dt = (−k)dt x dt   1 dx = (−k)dt x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
43. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 1 dx x ̸= 0 として = −k と変形する x dt 両辺を t で積分  置換積分をする 積分を解く  1 dx dt = (−k)dt x dt   1 dx = (−k)dt x   1 dx = − kdt x log |x| + C1 = −kt + C2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
44. 変数分離形 ′ x = −kx を解く dx = −kx と直す dt 1 dx x ̸= 0 として = −k と変形する x dt 両辺を t で積分  置換積分をする 積分を解く  1 dx dt = (−k)dt x dt   1 dx = (−k)dt x   1 dx = − kdt x log |x| + C1 = −kt + C2 C1, C2は積分定数 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 26
45. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 積分を解く  1 dx = − x  kdt log |x| + C1 = −kt + C2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 26
46. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 積分を解く  1 dx = − x  kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1 ) x = ± exp{−kt + (C2 − C1 )} x = ± exp(C2 − C1 ) exp(−kt) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 26
47. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 積分を解く  1 dx = − x  kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1 ) x = ± exp{−kt + (C2 − C1 )} x = ± exp(C2 − C1 ) exp(−kt) ± exp(C2 − C1 ) をあらためて定数 C とすると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 26
48. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 積分を解く  1 dx = − x  kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1 ) x = ± exp{−kt + (C2 − C1 )} x = ± exp(C2 − C1 ) exp(−kt) ± exp(C2 − C1 ) をあらためて定数 C とすると 一般解は x(t) = C exp(−kt) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 26
49. 変数分離形 ′ x = −kx を解く 積分を解く  1 dx = − x  kdt log |x| + C1 = −kt + C2 log |x| = −kt + (C2 − C1 ) x = ± exp{−kt + (C2 − C1 )} x = ± exp(C2 − C1 ) exp(−kt) ± exp(C2 − C1 ) をあらためて定数 C とすると さっき x ̸= 0 としたが， 一般解は x(t) = C exp(−kt) x ≡ 0 も解で，一般解に含まれる。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 26
50. 変数分離形 ′ x = −kx を解くとき，ふつうは dx = −kx から dt  1 dx = x  dx = −kdt x と，分数の計算のように変形し (−k)dt と積分する 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 26
51. 変数分離形 ′ x = −kx を解くとき，ふつうは dx = −kx から dt  1 dx = x  dx = −kdt x と，分数の計算のように変形し (−k)dt と積分する x が左辺，t が右辺に分離しているので，変数分離形という 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 26
52. 変数分離形 ′ x = −kx を解くとき，ふつうは dx = −kx から dt  1 dx = x  dx = −kdt x と，分数の計算のように変形し (−k)dt と積分する x が左辺，t が右辺に分離しているので，変数分離形という 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 26
53. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
54. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
55. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ g(x)dx = f (t)dt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
56. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ g(x)dx = f (t)dt 両辺それぞれを積分すると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
57. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ g(x)dx = f (t)dt 両辺それぞれを積分すると  g(x)dx =  f (t)dt + C 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
58. 変数分離形 ′ 一般には g(x)x = f (t) dx x = とすると dt ′ g(x)dx = f (t)dt 両辺それぞれを積分すると  g(x)dx =  f (t)dt + C 一般解に含まれる積分定数 C は， 初期値を代入して定まり，特殊解が得られる 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 26
59. 例題💡💡
60. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
61. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
62. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 9xdx = −4tdt 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
63. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 9xdx = −4tdt 両辺それぞれを積分すると 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
64. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 両辺それぞれを積分すると 9xdx = −4tdt 9 2 2 x = −2t + C0 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
65. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 両辺それぞれを積分すると すなわち 2 t 9 + 2 x 4 9xdx = −4tdt 9 2 2 x = −2t + C0 2 = C1 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
66. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 dx x = として変数分離すると dt ′ 両辺それぞれを積分すると すなわち 2 t 9 + 2 x 4 = C1 9xdx = −4tdt 9 2 2 x = −2t + C0 2 （ t – x 平面の楕円群） 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 26
67. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 x2 + = C1 9 4 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 26
68. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 x2 + = C1 9 4 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 26
69. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 x2 + = C1 9 4 初期値が x(3) = 2 なので t = 3 のとき x = 2 だから，代入すると C1 = 2 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 26
70. 例題 ′ 9x · x + 4t = 0 を解いて 一般解を求めよ。 x(3) = 2 とするときの特殊解を求めよ。 一般解は t2 x2 + = C1 9 4 初期値が x(3) = 2 なので t = 3 のとき x = 2 だから，代入すると C1 = 2 t2 x2 + =2 特殊解は 9 4 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 26
71. テキストの演習問題からひとつ🌀🌀
72. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 26
73. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 dx dx dx x′ = とすると = 3t 2x ，すなわち = 3t 2dt と変数分離できる dt dt x 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 26
74. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 dx dx dx x′ = とすると = 3t 2x ，すなわち = 3t 2dt と変数分離できる dt dt x 両辺それぞれを積分すると dx = 3t 2dt ，すなわち log | x | = t 3 + C （C は定数） ∫ x ∫ 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 26
75. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 C t3 log | x | = t + C より x = ± e e （C は定数） 3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 26
76. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 C t3 log | x | = t + C より x = ± e e （C は定数） 3 よって， ± e をあらためて定数 A とおくと，一般解は x = Ae C t3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 26
77. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 C t3 log | x | = t + C より x = ± e e （C は定数） 3 よって， ± e をあらためて定数 A とおくと，一般解は x = Ae C t3 初期値は x(0) = 1 なので，t = 0, x = 1 を代入すると 1 = A 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 26
78. 演習問題(1) 2 微分方程式 x′ = 3t x について x(0) = 1 とするときの特殊解を求めよ。 C t3 log | x | = t + C より x = ± e e （C は定数） 3 よって， ± e をあらためて定数 A とおくと，一般解は x = Ae C t3 初期値は x(0) = 1 なので，t = 0, x = 1 を代入すると 1 = A よって，求める特殊解は x = e t3 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 26
79. 今日のまとめ 微分方程式は，関数とその微分に関する方程式 解は数ではなく関数 解ける方程式のパターンは限られている もっとも基本的なパターン 「変数分離形」 2026年度秋学期 応用数学（解析） ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 26 26