2026年度秋学期　統計学　第7回　データの関係を知る（２）ー回帰と決定係数 (2026. 11. 17)

2026年度秋学期統計学第7回データの関係を知る(2) ― 回帰と決定係数関西大学総合情報学部浅野晃

回帰分析とは🤔🤔

回帰分析とは多変量データがあるときある変量の変化を他の変量の変化で［説明］する方法 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 3
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回帰分析とは多変量データがあるときある変量の変化を他の変量の変化で［説明］する方法説明？🤔🤔 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃
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回帰分析とは緯度と気温のデータを例にとると相関分析「緯度が上がると，気温が下がる」という傾向があることを見いだす緯度と気温について，「どちらからどちらへ」という方向は考えない回帰分析「緯度から気温が計算で求められる」と考える緯度が１度上がると，気温が◯℃下がる 2026年度秋学期
統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 4 38

回帰分析とは緯度が上がるから気温が下がると考える緯度が１度上がると，気温が◯℃下がる各都市の気温は，緯度から計算で求められるという［モデル］を考える ※前回の「（学年を無視すれば）成績が体格から推測できる」というのも，「成績が体格から計算で求められるというモデル」としてはあり。（学年を無視することが妥当かどうかは別）統計学では，気温の分散は，緯度によって［説明］されるというそして，そのモデルでどの程度説明がつくかを考える
※「モデルを考える」のは，科学の考え方そのものといえます。 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 5 38

説明変数・被説明変数気温は緯度によって説明される（というモデル） 23 21 19 ［被説明変数］気温（℃） 17 15
13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度）［説明変数］ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 6 38

線形単回帰🤔🤔

線形単回帰どう説明される？どういうモデルか？気温の分散は緯度によって説明される 23 21 19 気温（℃） 17
15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 8 38

線形単回帰どう説明される？どういうモデルか？気温の分散は緯度によって説明される 23 21 19 気温（℃） 17
15 13 11 9 7 5 散布図上で直線の関係がある，というモデルを考える 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 8 38

線形単回帰散布図上で直線の関係がある 23 y = a + bx という式で表される関係
21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 ［線形単回帰］という 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 9 38

y = a + bx ? 直線の式は y = ax
+ b と習ったような🤔🤔 どちらも正解です y = ax + b 降冪（こうべき）順 y = a + bx 昇冪（しょうべき）順 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 10 38

y = a + bx ? 降冪（こうべき）順は何次関数かすぐわかる昇冪（しょうべき）順は説明変数を付け加えて
いくことができる y = ax + b 2 ただちに1次関数とわかる y = ax + bx + c これは2次関数 y = ax 気温緯度 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b 2 ただちに1次関数とわかる y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b ただちに1次関数とわかる 2 y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 標高 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b ただちに1次関数とわかる 2 y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 +b3x3 + … 標高 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b ただちに1次関数とわかる 2 y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 +b3x3 + … 標高海からの距離 … 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b ただちに1次関数とわかる 2 y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 +b3x3 + … 標高海からの距離 … 説明変数が2つ以上ある場合を［重回帰］という 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

いくことができる y = ax + b ただちに1次関数とわかる 2 y = ax + bx + c y = ax 気温緯度これは2次関数 +b2x2 +b3x3 + … 標高海からの距離 … 説明変数が2つ以上ある場合を［重回帰］という統計学では，昇冪順を使うことが多い 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 11 38

線形単回帰 y = a + bx という式で表される関係 23 21
19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 12 38

線形単回帰 y = a + bx という式で表される関係 23 21
19 y 気温（℃） 17 15 13 11 a や b （パラメータ）はどうやって求める？ 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 12 38

パラメータの決定 23 21 19 y 気温（℃） 17
15 13 11 9 7 5 y = a + bx 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

パラメータの決定 x = xi のとき 23 21 19 y
気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

パラメータの決定 x = xi のとき 23 21 19 y
気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

パラメータの決定 x = xi のときモデルによれば y = a +
bxi 23 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

bxi 23 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi 11 9 7 5 y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

bxi 23 実際は yi 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi 11 9 7 5 y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

bxi 23 実際は yi 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi yi 11 9 7 5 y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

bxi 23 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 差 yi −(a + bxi) a + bxi yi 11 9 7 5 実際は yi y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

bxi 23 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 差 yi −(a + bxi) a + bxi yi 11 差が最小になるように a, b を決める 9 7 5 実際は yi y = a + bx x 緯度（度） i 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 13 38

パラメータの決定 23 21 19 y 気温（℃） 17 15
13 y11 i a + bxi 差 yi −(a + bxi) 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 xi x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 14 38

パラメータの決定すべての xi について，差の合計が最小になるように a, b を決める 23 21
19 y 気温（℃） 17 15 13 y11 i a + bxi 差 yi −(a + bxi) 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 xi x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 14 38

パラメータの決定の2乗すべての xi について，差の合計が最小になるように a, b を決める 23
21 19 y 気温（℃） 17 15 13 y11 i a + bxi 差 yi −(a + bxi) 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 xi x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 14 38

21 19 y 気温（℃） 17 15 13 yi 11 a + bxi 差 yi −(a + bxi) i=1 9 {yi − (a + bxi )} 2 7 5 L= n 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 xi x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 14 38

21 19 y 気温（℃） 17 15 13 yi 11 a + bxi 差 yi −(a + bxi) i=1 9 7 5 L= n {yi − (a + bxi )} 2 が最小になる a, b を求める 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 xi x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 14 38

L が最小になる a, b を求める •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２）付録に収録してある数式の展開は，試験の範囲には含みません。今から，「偏微分による方法」の考え方（数式そのものではなくて考え方）を説明します。
2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 15 38

「偏微分」による方法 L= n i=1 {yi − (a + bxi
)} 2 が最小になる a, b を求める 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

「偏微分」による方法 L= n i=1 {yi − (a + bxi
)} 2 が最小になる a, b を求める a, b の２次関数 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

「偏微分」による方法 n L= i=1 {yi − (a + bxi
)} 2 が最小になる a, b を求める a, b の２次関数 L b L b a ★ a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

)} 2 が最小になる a, b を求める a, b の２次関数 L L a だけの関数と考えて微分 b b a ★ a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

)} 2 が最小になる a, b を求める a, b の２次関数 L L a だけの関数と考えて微分 b b だけの関数と考えて微分 b a ★ a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

)} 2 が最小になる a, b を求める a, b の２次関数 L L a だけの関数と考えて微分 b b だけの関数と考えて微分 b a ★ a 微分？😵😵 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 16 38

微分? L b L a だけの関数と考えて微分 b a ★ a
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微分? L b L a だけの関数と考えて微分微分は，傾きを求める計算 b a ★
a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

微分? L b L 下り(–) a だけの関数と考えて微分微分は，傾きを求める計算 b a
★ a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

微分? L b L 下り(–) a だけの関数と考えて微分微分は，傾きを求める計算 b 上り(+)
a ★ a 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

a ★ a 底では微分=0 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

a ★ a 底では微分=0 b についても同じ，底では微分=0 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

a ★ a 底では微分=0 b についても同じ，底では微分=0 底で L が最小だから，これらから a, b を求める 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 17 38

計算はともかく結論は •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

計算はともかく結論は •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） σxy b= 2 σx a = ȳ
− bx̄ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

計算はともかく結論は •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） σxy b= 2 σx x, y の共分散
a = ȳ − bx̄ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

x の分散 a = ȳ − bx̄ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

x の分散 a = ȳ − bx̄ y の平均 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

計算はともかく結論は •偏微分による方法（付録１） •「２次関数の最大・最小」による方法（付録２） σxy b= 2 σx a = ȳ
− bx̄ y の平均 x, y の共分散 x の分散 x の平均 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 18 38

最小二乗法 σxy b= 2 σx L= n i=1 を最小にしたので［最小二乗法］
a = ȳ − bx̄ y = a + bx {yi − (a + bxi )} 2 ［回帰方程式］あるいは［回帰直線］［回帰係数］ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 19 38

ところで y = a + bx から y − ȳ
= b(x − x̄) 帰係数 a = ȳ − bx̄ 23 21 19 気温（℃） y 15 13 11 回帰直線は (x̄, ȳ) を通る 17 ȳ 9 7 5 x̄ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 20 38

線形単回帰の結果を使う💡💡

緯度と気温（前回の講義）の例で散布図上に回帰直線をひく緯度を x ，気温を y として回帰直線 y = a
+ bx を求めると → b = − 0.850, a = 44.60 23 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 22 38

+ bx を求めると → b = − 0.850, a = 44.60 23 縦軸の位置(x = 25)のとき y の値は 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 22 38

+ bx を求めると → b = − 0.850, a = 44.60 23 縦軸の位置(x = 25)のとき y の値は 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx に x = 25.0 を代入 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 22 38

+ bx を求めると → b = − 0.850, a = 44.60 23 縦軸の位置(x = 25)のとき y の値は 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx に x = 25.0 を代入 y = 44.60 + (−0.850) × 25.0 = 23.35 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 22 38

+ bx を求めると → b = − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 縦軸の位置(x = 25)のとき y の値は 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 y = a + bx に x = 25.0 を代入 y = 44.60 + (−0.850) × 25.0 = 23.35 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 22 38

散布図上に回帰直線をひく緯度をx，気温をyとして回帰直線 y = a + bx を求めると → b
= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は y−a y = a + bx より x = b 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は y−a y = a + bx より x = b 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 9 7 5 y = 5 を代入すると 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は y−a y = a + bx より x = b 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 9 7 5 y = 5 を代入すると 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度）回帰直線は x = 46.59 を通る 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は y−a y = a + bx より x = b 直線がひる x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 9 7 5 y = 5 を代入するとけ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度）回帰直線は x = 46.59 を通る 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

= − 0.850, a = 44.60 回帰直線は y = 23.35 を通る 23 21 19 気温（℃） y 17 15 13 11 横軸の位置(y = 5)のとき x の値は y−a y = a + bx より x = b 直線がひる x = (5 − 44.60)/(−0.850) = 46.59 9 7 5 y = 5 を代入するとけ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 緯度（度）計算結果と図が合っていることをたしかめましょう回帰直線は x = 46.59 を通る 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 23 38

求めた回帰直線を使って緯度35.0度の都市の気温は何℃かを推定する緯度を x，気温を y として回帰直線 y = a +
bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 y = a + bx に x = 35.0 を代入すると 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 y = a + bx に x = 35.0 を代入すると 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 44.60 + (−0.850) × 35.0 = 14.85 (℃) 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 y = a + bx に x = 35.0 を代入すると 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 44.60 + (−0.850) × 35.0 = 14.85 (℃) 35.0度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 y = a + bx に x = 35.0 を代入すると 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 推定14.85℃ 9 7 5 44.60 + (−0.850) × 35.0 = 14.85 (℃) 35.0度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

bx を求めると 23 → b = − 0.850, a = 44.60 y = a + bx に x = 35.0 を代入すると 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 推定14.85℃ 9 7 5 44.60 + (−0.850) × 35.0 = 14.85 (℃) 35.0度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 計算結果と図が合っていることをたしかめましょう 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 24 38

求めた回帰直線を使って表の中にある大阪市(緯度34.68度)の気温を推定 23 y = a + bx に x
= 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 9 7 5 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 25 38

= 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 推定15.12℃ 9 7 5 34.68度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 25 38

= 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) 21 表にある実際の気温は16.2℃ 19 y 気温（℃） 17 15 13 11 推定15.12℃ 9 7 5 34.68度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 25 38

= 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) 21 表にある実際の気温は16.2℃ 19 y 気温（℃） 17 実測16.2℃ 15 13 11 推定15.12℃ 9 7 5 34.68度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 25 38

= 34.68 を代入 44.60 + (−0.850) × 34.68 = 15.12 (℃) 21 表にある実際の気温は16.2℃ 19 y 気温（℃） 17 実測16.2℃ 15 13 11 推定15.12℃ 9 7 5 推定値と実測値に差がある →次の話へ 34.68度 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度） x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 25 38

決定係数と「説明」🤔🤔

残差 a, b が求められて，回帰直線が確定したとき xi に対する，回帰直線による y の推定値 23
21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi yi 11 9 7 5 x i 緯度（度） 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 27 38

残差 a, b が求められて，回帰直線が確定したとき xi に対する，回帰直線による y の推定値 23 yˆi
= a + bxi 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi yi 11 9 7 5 x i 緯度（度） 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 27 38

= a + bxi 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi yi 11 9 7 5 回帰直線が確定しても残っている，推定値と実測値の差 yi yˆi x i 緯度（度） 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 27 38

= a + bxi 21 19 y 気温（℃） 17 15 13 a + bxi yi 11 9 7 5 回帰直線が確定しても残っている，推定値と実測値の差 yi yˆi x i 緯度（度） 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 x di この差を［残差］という 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 27 38

残差と決定係数残差は，回帰方程式を使って yi を推定したときの，推定によって表現できなかった部分 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃
28 38

残差と決定係数残差は，回帰方程式を使って yi を推定したときの，推定によって表現できなかった部分残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野
晃 28 38

残差と決定係数残差は，回帰方程式を使って yi を推定したときの，推定によって表現できなかった部分残差について，次の関係がなりたつ（付録３） 2 2 di
= (1 − rxy ) (yi − ȳ) 2 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 28 38

= (1 − rxy ) 残差 (yi − ȳ) 2 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 28 38

= (1 − rxy ) 残差相関係数 (yi − ȳ) 2 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 28 38

= (1 − rxy ) 残差相関係数 (yi − ȳ) 2 相関係数の2乗［決定係数］ 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 28 38

= (1 − rxy ) 残差相関係数 (yi − ȳ) 相関係数の2乗［決定係数］ 2 🤔🤔… 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 28 38

決定係数の意味 2 ) d2i = (1 − rxy
(yi − ȳ)2 より 2 /n d i 2 1 − rxy = 2 (yi − ȳ) /n 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 29 38

(yi − ȳ)2 より 2 /n d i 2 1 − rxy = 2 (yi − ȳ) /n 決定係数 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 29 38

(yi − ȳ)2 より残差の２乗の平均 2 /n d i 2 1 − rxy = 2 (yi − ȳ) /n 決定係数 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 29 38

(yi − ȳ)2 より残差の２乗の平均 2 /n d i 2 1 − rxy = 2 (yi − ȳ) /n 決定係数 y の偏差の２乗の平均＝ y の分散 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 29 38

決定係数の意味 2 di /n 2 1 − rxy =
(yi − ȳ)2 /n 決定係数残差の２乗の平均 y の偏差の２乗の平均（ y の分散） y y i di = yi – yi y – y yi i ［偏差］ y ［残差］ x x i 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 30 38

(yi − ȳ)2 /n 決定係数残差の２乗の平均 y の偏差の２乗の平均（ y の分散） y y i di = yi – yi y – y yi i ［偏差］ y ［残差］もともと y はこんなに x x i ばらついていたが， 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 30 38

(yi − ȳ)2 /n 決定係数残差の２乗の平均 y の偏差の２乗の平均（ y の分散）回帰直線から見ると y y i di = yi – yi y – y yi i ［偏差］ y ［残差］もともと y はこんなに x x i ばらついていたが， 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 30 38

(yi − ȳ)2 /n 決定係数残差の２乗の平均 y の偏差の２乗の平均（ y の分散）回帰直線から見ると y y i di = yi – yi y – y yi i ［偏差］ y ［残差］ばらつきはこんなに減ったもともと y はこんなに x x i ばらついていたが， 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 30 38

決定係数の意味と「説明」 2 di /n 2 1 − rxy =
(yi − ȳ)2 /n 回帰直線からのばらつき y のもともとのばらつき決定係数決定係数 = 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 31 38

(yi − ȳ)2 /n 回帰直線からのばらつき y のもともとのばらつき決定係数決定係数 = 回帰直線によるばらつきの縮小の度合い 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 31 38

(yi − ȳ)2 /n 回帰直線からのばらつき y のもともとのばらつき決定係数決定係数 = 回帰直線によるばらつきの縮小の度合い＝回帰直線によって，ばらつきの何%が「説明」できたか 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 31 38

決定係数の意味と「説明」相関係数 = 0，すなわち決定係数 = 0 のときもとの y
の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

決定係数の意味と「説明」相関係数 = 0，すなわち決定係数 = 0 のとき回帰直線に対する y
のばらつきもとの y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

のばらつき回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散と x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散とまったく変わらない x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散とまったく変わらない x 「回帰直線のまわりに散らばっている」と説明したところで，全く説明になっていない 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 32 38

決定係数の意味と「説明」相関係数 = 0.7 すなわち決定係数 ≒ 0.5 のときもとの
y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

決定係数の意味と「説明」相関係数 = 0.7 すなわち決定係数 ≒ 0.5 のとき回帰直線に対する
y のばらつきもとの y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきは x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散に比べて半分になっている x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散に比べて半分になっている x 「回帰直線のまわりに散らばっている」と説明したことで，もとの y の分散の半分を説明した 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 33 38

決定係数の意味と「説明」相関係数 = 0.9 すなわち決定係数 ≒ 0.8 のときもとの
y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

y のばらつきもとの y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

y のばらつき回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散 y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散に比べて20%に減っている x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

y のばらつきもとの y の分散 y 回帰直線に対する y のばらつきはもとの y の分散に比べて20%に減っている x 「回帰直線のまわりに散らばっている」と説明したことで，もとの y の分散の80%を説明した 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 34 38

ところで，前回の講義で言いかけていたことですが💬💬💦💦

「中くらいの相関」とは y y x 相関係数0.5 決定係数0.25 x 相関係数0.7 決定係数0.49 2026年度秋学期

「中くらいの相関」とは y y x 相関係数0.5 決定係数0.25 x 相関係数0.7 決定係数0.49 回帰直線ではもとの
y の分散の 25%しか説明できていない 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 36 38

y の分散の回帰直線でもとの y の分散の 25%しか説明できていない 50%を説明している 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 36 38

y の分散の回帰直線でもとの y の分散の 25%しか説明できていない 50%を説明しているこちらのほうが，中くらいの相関関係（分散の説明という意味では） 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 36 38

緯度と気温の例で 23 21 23 長野〜鹿児島 21 19 17 17 15
13 11 ✢ ✢ ✢✢ 気温（℃）気温（℃） 19 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 15 13 11 7 5 5 緯度（度）決定係数0.712 ✢ ✢✢✢✢ ✢✢✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 7 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 札幌〜那覇 ✢ ✢ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度）決定係数0.949 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 37 38

緯度と気温の例で 23 21 23 長野〜鹿児島 21 19 17 17 15
13 11 ✢ ✢ ✢✢ 気温（℃）気温（℃） 19 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 15 13 11 7 5 5 緯度（度）決定係数0.712 ✢ ✢✢✢✢ ✢✢✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 7 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 札幌〜那覇 ✢ ✢ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度）決定係数0.949 平均付近に密集していると不安定 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 37 38

緯度と気温の例で 23 21 23 長野〜鹿児島 21 19 17 17 15
13 11 ✢ ✢ ✢✢ 気温（℃）気温（℃） 19 ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 15 13 11 7 5 5 緯度（度） ✢ ✢✢✢✢ ✢✢✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ ✢ 9 7 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 札幌〜那覇 ✢ ✢ 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 緯度（度）決定係数0.712 決定係数0.949 平均付近に密集していると不安定平均から離れた個体があると安定する 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 37 38

注意すべき例こういう分布だと y x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 38
38

注意すべき例こういう分布だと y 全体で見ると弱い正の相関に見えるが x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃
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注意すべき例こういう分布だと y 全体で見ると弱い正の相関に見えるが群ごとに見ると負の相関 x 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野
晃 38 38

注意すべき例こういう分布だと y 全体で見ると弱い正の相関に見えるが相関係数や回帰直線はどんなデータであっても計算「できてしまう」ことに注意群ごとに見ると負の相関 x 2026年度秋学期

注意すべき例こういう分布だと y 全体で見ると弱い正の相関に見えるが相関係数や回帰直線はどんなデータであっても計算「できてしまう」ことに注意群ごとに見ると負の相関 x 得られた回帰直線は，
それが意味のあるものかどうか，よく考えましょう。 2026年度秋学期統計学／関西大学総合情報学部浅野晃 38 38

2026年度秋学期 統計学 第7回 データの関係を知る（２）ー回帰と決定係数 (2026. ...

2026年度秋学期 統計学 第7回 データの関係を知る（２）ー回帰と決定係数 (2026. 11. 17)

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2026年度秋学期　統計学　第7回　データの関係を知る（２）ー回帰と決定係数 (2026. ...

2026年度秋学期　統計学　第7回　データの関係を知る（２）ー回帰と決定係数 (2026. 11. 17)