2026年度秋学期 統計学 第5回 分布をまとめるー記述統計量（平均・分散など） (2026. 10. 27)

関西大学総合情報学部　統計学（担当・浅野晃）
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2026a/STAT/

Transcript

1. 2026年度秋学期 統計学 第5回 分布をまとめる ― 記述統計量（平均・分散など） 関西大学総合情報学部 浅野 晃
2. 代表値🤔🤔
3. 代表値とは 統計学が相手にするのは，「分布」しているデータ 「大般若会」で経典を翻すだけで「読む」ように， データも一目見るだけで内容がわかればいいけれど… ※大般若会（だいはんにゃえ）とは，600巻に及ぶ「大般若経」を，僧侶が 翻すことで「読む」という儀式です。 （講義ウェブサイトにあるリンク先を参照してください） 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 3 37
4. 代表値とは 現実には，人間は，数字をざっと眺める だけで一瞬で理解できるほど，賢くありません そこで •図示する（ヒストグラム） •ひとつの数にまとめる 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4 37
5. 代表値とは 現実には，人間は，数字をざっと眺める だけで一瞬で理解できるほど，賢くありません そこで •図示する（ヒストグラム） •ひとつの数にまとめる 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4 37
6. 代表値とは 現実には，人間は，数字をざっと眺める だけで一瞬で理解できるほど，賢くありません そこで •図示する（ヒストグラム） •ひとつの数にまとめる ［代表値］ 数字で表されていれば，計算ができる 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 4 37
7. 平均 とくに［算術平均］は代表的な代表値 算術平均 ＝ （データの総和） ÷ （数値の個数） 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 37
8. 平均 とくに［算術平均］は代表的な代表値 算術平均 ＝ （データの総和） ÷ （数値の個数） ↑ ” ／ ”でも同じ意味 （÷よりもよく用います） 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 5 37
9. 算術？ 算術平均以外にも，「幾何平均」「調和平均」というものもあります 算術平均 ＝ （データの総和）÷（数値の個数） 幾何平均 ＝ （データ全部の積）の，（数値の個数）乗根 面積2 √（ルート，2乗根）が出てくるのは幾何の問題です 1 √2 面積1 1 面積1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 37
10. 算術？ 算術平均以外にも，「幾何平均」「調和平均」というものもあります 算術平均 ＝ （データの総和）÷（数値の個数） 幾何平均 ＝ （データ全部の積）の，（数値の個数）乗根 面積2 √（ルート，2乗根）が出てくるのは幾何の問題です 1 √2 面積1 1 面積1 この講義では，以後「平均」といえば算術平均のことです。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 6 37
11. 算術平均を式で書くと データ x1 , x2 , . . . , xn ， 数値の個数（データサイズ）n 平均 1 x1 + x2 + · · · + xn = x̄ = n n のとき， n  ※Σは「合計」を表す記号です。 xi i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 37
12. 算術平均を式で書くと データ x1 , x2 , . . . , xn ， 数値の個数（データサイズ）n のとき， ※「エックスバー」と読んでください。「バー」は平均を表すのによく用います。 平均 1 x1 + x2 + · · · + xn = x̄ = n n n  ※Σは「合計」を表す記号です。 xi i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 37
13. 算術平均を式で書くと データ x1 , x2 , . . . , xn ， 数値の個数（データサイズ）n のとき， ※「エックスバー」と読んでください。「バー」は平均を表すのによく用います。 平均 n  ※Σは「合計」を表す記号です。 1 x1 + x2 + · · · + xn = 和 xi x̄ = n n i=1 ※もし日本人がΣ記号を発明していたら，きっと「和」と書いていたことでしょう。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 7 37
14. データサイズ？ 「データ」という言葉は，数値の集まりをさす （１つ１つの数値をさすのではない） データの中に含まれる数値の個数をデータの大きさ（サイズ）という ※データの数とはいいません。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 37
15. データサイズ？ 「データ」という言葉は，数値の集まりをさす （１つ１つの数値をさすのではない） データの中に含まれる数値の個数をデータの大きさ（サイズ）という ※データの数とはいいません。 家族(family)という言葉に似ている 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 37
16. データサイズ？ 「データ」という言葉は，数値の集まりをさす （１つ１つの数値をさすのではない） データの中に含まれる数値の個数をデータの大きさ（サイズ）という ※データの数とはいいません。 家族(family)という言葉に似ている ※人数の多い家族は「大家族」といい，「多家族」とはいいません。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 8 37
17. 度数分布から平均を求める 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 度数分布とは，こんなやつでした 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 9 37
18. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
19. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
20. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は， みな「階級値と同じ」とみなすから， 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
21. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は， みな「階級値と同じ」とみなすから， ひとつの階級には，「階級値」と同じ数値が， 度数（個）あるとみなされる 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
22. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は， みな「階級値と同じ」とみなすから， ひとつの階級には，「階級値」と同じ数値が， 度数（個）あるとみなされる よって，ひとつの階級の数値の合計は， 「階級値×度数」で表される 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
23. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) ひとつの階級に入っている数値は， みな「階級値と同じ」とみなすから， ひとつの階級には，「階級値」と同じ数値が， 度数（個）あるとみなされる よって，ひとつの階級の数値の合計は， 「階級値×度数」で表される =((階級値×度数)の合計)/(データサイズ) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 10 37
24. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 37
25. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) かけ算（×）と割り算（ / ）について， カッコ”( )”の位置をかえる 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 37
26. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = ((階級値×度数)の合計) / (データサイズ) 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) かけ算（×）と割り算（ / ）について， カッコ”( )”の位置をかえる = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 11 37
27. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 37
28. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 37
29. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) （度数 / データサイズ）のことを 「相対度数」という 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 37
30. 度数分布から平均を求める 平均 = (データの合計) / (データサイズ) = [階級値 × (度数 / データサイズ)]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) （度数 / データサイズ）のことを 「相対度数」という =[階級値×相対度数]の合計 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 12 37
31. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 テキストに載っている別の例で， 計算してみましょう 1.0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 13 37
32. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 階級値×相対度数 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 1.0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
33. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 5×0.04 = 0.2 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 1.0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
34. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 5×0.04 = 0.2 15×0.16 = 2.4 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 1.0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
35. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 5×0.04 = 0.2 15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9 1.0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
36. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 5×0.04 = 0.2 1.0 15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9 合計 49.8 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
37. 度数分布から平均を求める 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 5×0.04 = 0.2 1.0 15×0.16 = 2.4 25×0.08 = 2.0 35×0.12 = 4.2 各階級で， [階級値×相対度数]を求めて 合計する 45×0.10 = 4.5 55×0.10 = 5.5 65×0.12 = 7.8 75×0.08 = 6.0 85×0.18 = 15.3 95×0.02 = 1.9 合計 49.8 これが平均 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 14 37
38. 分散と標準偏差🤔🤔
39. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらな数値からなるデータ では，どのくらいばらばらかを，数字で表そう A, B, Cは，いずれも10個の数値からなるデータです。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 37
40. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらな数値からなるデータ では，どのくらいばらばらかを，数字で表そう A, B, Cは，いずれも10個の数値からなるデータです。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 平均はどれも5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 37
41. 「ばらつき」を数字で 分布は，大小ばらばらな数値からなるデータ では，どのくらいばらばらかを，数字で表そう A, B, Cは，いずれも10個の数値からなるデータです。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 平均はどれも5 では，どう違う？ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 16 37
42. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
43. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
44. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う A, Bはレンジは同じだが， 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
45. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う A, Bはレンジは同じだが， 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
46. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う A, Bはレンジは同じだが， 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
47. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う A, Bはレンジは同じだが， Aの青線部とBの赤線部を比べると 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
48. レンジとばらつき A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 C: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 Cは，最大と最小の差［レンジ］が違う A, Bはレンジは同じだが， Aの青線部とBの赤線部を比べると Bのほうがばらついているように見える 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 17 37
49. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
50. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
51. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 0 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
52. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 0 0 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
53. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 0 0 0 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
54. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 0 0 0 0 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
55. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 0 0 0 0 +2 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
56. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -2 0 0 0 0 +2 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
57. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -2 0 0 0 0 +2 +2 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
58. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
59. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
60. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
61. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
62. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 0 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
63. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 0 0 +2 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
64. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -2 0 0 +2 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
65. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -2 0 0 +2 +3 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
66. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -3 -2 0 0 +2 +3 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
67. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
68. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
69. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
70. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
71. 偏差 各数値と平均との差を［偏差］という ※AもBも平均は5ですから，各数値と5との差を書いていきます。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 偏差を平均したら，AとBのばらつきの違いが表せるでしょうか？ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 18 37
72. 偏差の平均？ だめです🙅🙅 偏差を平均したらゼロになるからです。 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 19 37
73. そこで，偏差を２乗する 偏差を２乗したら全部正の数になるから，2乗してから平均する -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 37
74. そこで，偏差を２乗する 偏差を２乗したら全部正の数になるから，2乗してから平均する 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 37
75. そこで，偏差を２乗する 偏差を２乗したら全部正の数になるから，2乗してから平均する 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 20 37
76. 分散 ［分散］＝(偏差)2の平均 この「分散」を，ばらつきの指標とする 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 37
77. 分散 ［分散］＝(偏差)2の平均 この「分散」を，ばらつきの指標とする 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 平均 6.6 = Aの分散 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 37
78. 分散 ［分散］＝(偏差)2の平均 この「分散」を，ばらつきの指標とする 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 平均 6.6 = Aの分散 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 平均 10.8 = Ｂの分散 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 37
79. 分散 ［分散］＝(偏差)2の平均 この「分散」を，ばらつきの指標とする 25 4 4 0 0 0 0 4 4 25 -5 -2 -2 0 0 0 0 +2 +2 +5 平均 6.6 = Aの分散 A: 0, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10 B: 0, 1, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 -5 -4 -3 -2 0 0 +2 +3 +4 +5 25 16 9 4 0 0 4 9 16 25 平均 10.8 = Ｂの分散 Ｂのほうが分散が大きい。Bのほうがよりばらついている。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 21 37
80. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 (xi − x̄) = n i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
81. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 (xi − x̄) = n i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
82. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 1番の数値   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 (xi − x̄) = n i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
83. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 1番の数値   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 (xi − x̄) = n i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
84. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 1番の数値 データの平均   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 (xi − x̄) = n i=1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
85. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 1番の数値 データの平均   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 n 個たして (xi − x̄) = n i=1 n で割る 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
86. 分散と標準偏差 ［分散］＝(偏差)2の平均 式で書くと 1番の数値 データの平均   1 2 2 2 2 (x1 − x̄) + (x2 − x̄) + · · · + (xn − x̄) σ = n n 1 2 n 個たして (xi − x̄) = n i=1 n で割る 分散の平方根（√）を［標準偏差］という 分散を求める計算の途中で数値を2乗しているので，平方根を求めてもとにもどす 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 22 37
87. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
88. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
89. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
90. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 だから， 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
91. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 だから， 分散 = [(偏差)2×相対度数]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
92. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 ※ここを置き換える だから， 分散 = [(偏差)2×相対度数]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
93. 度数分布から分散を求める データの平均=[階級値×相対度数]の合計 一方， 分散＝(偏差)2の平均 ※ここを置き換える だから， 分散 = [(偏差)2×相対度数]の合計 分散 = [(階級値−データの平均)2×相対度数]の合計 以上 未満 階級値 度数 相対度数 15 25 35 45 55 65 75 85 25 35 45 55 65 75 85 95 20 30 40 50 60 70 80 90 4 3 3 8 12 8 9 3 0.08 (8%) 0.06 (6%) 0.06 (6%) 0.16 (16%) 0.24 (24%) 0.16 (16%) 0.18 (18%) 0.06 (6%) x x x 計 50 計 1 (100%) 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 23 37
94. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 1.0 49.8 （=平均 ） 偏差 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 37
95. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 1.0 49.8 （=平均 ） 偏差 5 - 49.8 = -44.8 (偏差)2 (偏差)2 × 相対度数 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 37
96. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 1.0 49.8 （=平均 ） 偏差 (偏差)2 5 - 49.8 = -44.8 (-44.8)2=2007.4 (偏差)2 × 相対度数 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 37
97. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 階級値×相対度数 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.04 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 1.0 49.8 （=平均 ） 偏差 (偏差)2 5 - 49.8 = -44.8 (-44.8)2=2007.4 (偏差)2 × 相対度数 2007.4×0.04 =80.28 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 24 37
98. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 5 0.04 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 1.0 階級値×相対度数 5 × 0.04 = 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 49.8 （=平均 ） 偏差 5 − 49.8 = −44.8 −34.8 −24.8 −14.8 −4.8 5.2 15.2 25.2 35.2 45.2 (偏差)2 (−44.8)2 = 2007.04 1211.04 615.04 219.04 23.04 27.04 231.04 635.04 1239.04 2043.04 (偏差)2 × 相対度数 2007.04 × 0.04 = 80.28 193.77 49.20 26.28 2.304 2.704 27.72 50.80 223.03 40.86 696.96（=分散） √ 696.96 = 26.4 （=標準偏差） 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 37
99. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 5 0.04 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 1.0 階級値×相対度数 5 × 0.04 = 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 49.8 （=平均 ） 偏差 5 − 49.8 = −44.8 −34.8 −24.8 −14.8 −4.8 5.2 15.2 25.2 35.2 45.2 (偏差)2 (−44.8)2 = 2007.04 1211.04 615.04 219.04 23.04 27.04 231.04 635.04 1239.04 2043.04 (偏差)2 × 相対度数 2007.04 × 0.04 = 80.28 193.77 49.20 26.28 2.304 2.704 27.72 50.80 223.03 40.86 分散 696.96（=分散） √ 696.96 = 26.4 （=標準偏差） 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 37
100. 度数分布から分散を求める テキストに載っている例で，計算してみましょう 階級 0 ～ 9（点） 10 ～ 19 20 ～ 29 30 ～ 39 40 ～ 49 50 ～ 59 60 ～ 69 70 ～ 79 80 ～ 89 90 ～ 100 合計 階級値 相対度数 5 0.04 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0.16 0.08 0.12 0.10 0.10 0.12 0.08 0.18 0.02 1.0 階級値×相対度数 5 × 0.04 = 0.2 2.4 2.0 4.2 4.5 5.5 7.8 6.0 15.3 1.9 49.8 （=平均 ） 偏差 5 − 49.8 = −44.8 −34.8 −24.8 −14.8 −4.8 5.2 15.2 25.2 35.2 45.2 (偏差)2 (−44.8)2 = 2007.04 1211.04 615.04 219.04 23.04 27.04 231.04 635.04 1239.04 2043.04 (偏差)2 × 相対度数 2007.04 × 0.04 = 80.28 193.77 49.20 26.28 2.304 2.704 27.72 50.80 223.03 40.86 696.96（=分散） √ 696.96 = 26.4 （=標準偏差） 分散 分散の平方根が 標準偏差 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 25 37
101. ところで，どうして２乗するの？ 偏差の「マイナス」を「プラス」にしたいのなら， 偏差の２乗ではなく，偏差の「絶対値」ではいけないの？ y 絶対値の関数は，途中に折れ目があってむずかしい y = |x| x 2乗を表す関数のグラフ（放物線）には折り目はない 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 26 37
102. ところで，どうして２乗するの？ 偏差の「マイナス」を「プラス」にしたいのなら， 偏差の２乗ではなく，偏差の「絶対値」ではいけないの？ y 絶対値の関数は，途中に折れ目があってむずかしい y = |x| x 2乗を表す関数のグラフ（放物線）には折り目はない だから2乗を用います。 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 26 37
103. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
104. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 西 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
105. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 💨💨🚅🚅 西 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
106. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 💨💨🚅🚅 西 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
107. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 💨💨🚅🚅 西 +1時間（後） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
108. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 西 💨💨🚅🚅 +1時間（後） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
109. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 西 +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 +1時間（後） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
110. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 西 西 +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 +1時間（後） 東 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
111. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） 💨💨🚅🚅 西 西 +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） +1時間（後） 🚅🚅💨💨 東 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
112. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 西 +1時間（後） 東 –50km/h（西向き） 西 🚅🚅💨💨 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
113. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 西 +1時間（後） 東 –50km/h（西向き） 西 🚅🚅💨💨 –1時間（前） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
114. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 西 +1時間（後） 東 –50km/h（西向き） 西 🚅🚅💨💨 –1時間（前） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
115. なぜマイナスかけるマイナス＝プラス？ プラスとマイナスは，「向きが反対」と考えましょう。 東に1kmが「+1km」なら 💨💨🚅🚅 🚅🚅💨💨西に1kmは「–1km」 1時間後が「+1時間」なら 1時間前は「–1時間」 +50km/h（東向き） +50km/h × +1時間 = +50km（東にいる） 💨💨🚅🚅 西 +1時間（後） –50km/h（西向き） 西 東 –50km/h × –1時間 = +50km（東にいた） 🚅🚅💨💨 –1時間（前） 東 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 27 37
116. 標準得点🤔🤔
117. 「試験で70点」は優れているのか 試験で70点をとった。まわりより優れているのか？ 一緒に受けた人たちの平均点が 50点なら 優れている 80点なら 劣っている 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 29 37
118. 「試験で70点」は優れているのか 試験で70点をとった。まわりよりとても優れているのか？ 一緒に受けた人たちの平均点が 50点なら まあ優れている 30点なら とても優れている …？ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 30 37
119. 「試験で70点」は優れているのか 試験で70点をとった。まわりよりとても優れているのか？ 一緒に受けた人たちの平均点が 50点なら まあ優れている 30点なら とても優れている …？ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 30 37
120. 「試験で70点」は優れているのか 試験で70点をとった。まわりよりとても優れているのか？ 一緒に受けた人たちの平均点が 50点なら まあ優れている 30点なら とても優れている …？ 分散（標準偏差）も考えないと，答えられない 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 30 37
121. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが 平均60点で標準偏差5点なら 60 70 0 平均30点で標準偏差20点 平均0 30 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
122. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが ※平均は高いがばらつきが小さい 平均60点で標準偏差5点なら 60 70 0 平均30点で標準偏差20点 平均0 30 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
123. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが ※平均は高いがばらつきが小さい 平均60点で標準偏差5点なら 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 60 70 0 平均30点で標準偏差20点 平均0 30 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
124. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが ※平均は高いがばらつきが小さい 平均60点で標準偏差5点なら 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 60 70 0 ※平均は低いがばらつきが大きい 平均30点で標準偏差20点 平均0 30 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
125. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが ※平均は高いがばらつきが小さい 平均60点で標準偏差5点なら 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 60 70 0 ※平均は低いがばらつきが大きい 平均30点で標準偏差20点 70点の人は，やはり平均を 標準偏差の2倍上回っている 平均0 30 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
126. 「試験で70点」は優れているのか 一緒に試験を受けた人たちが ※平均は高いがばらつきが小さい 平均60点で標準偏差5点なら 70点の人は，平均を 標準偏差の2倍上回っている 60 70 0 ※平均は低いがばらつきが大きい 平均30点で標準偏差20点 70点の人は，やはり平均を 標準偏差の2倍上回っている 平均0 30 70点の「地位」， つまり受験者の中で どのくらい優れている かは，どちらも同じ 70 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 31 37
127. 標準得点 平均を標準偏差の2倍上回っている 0 60 70 これを，［標準得点］が+2点 であるという ※標準得点は，Zスコア，Z値ともよばれます。 平均を標準偏差の2倍下回っているなら 標準得点が –2点 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 32 37
128. 標準得点への換算 標準得点 ＝ 分布中のある数値が，平均を標準偏差の何倍 上回って／下回っているか 分布そのものを， 平均0，標準偏差1に「変換」したら？ その数値の変換後の値が，そのまま標準得点になる ある人の点数を変換して「+2」になったら， +2は標準偏差（=1）の2倍だから「標準得点2点」 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 33 37
129. 分布の変換 分布中の各数値から，平均を引く 平均μ 標準偏差σ 0 平均μ X 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 34 37
130. 分布の変換 分布中の各数値から，平均を引く 平均μ 標準偏差σ 0 平均μ X 各数値からμを引く 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 34 37
131. 分布の変換 分布中の各数値から，平均を引く 平均μ 標準偏差σ 0 X 平均μ 各数値からμを引く 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 34 37
132. 分布の変換 分布中の各数値から，平均を引く 平均μ 標準偏差σ 0 X 平均μ 各数値からμを引く 平均0 標準偏差σ 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 34 37
133. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
134. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 各数値の偏差は 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
135. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る (1/σ)倍 各数値の偏差は 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
136. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る (1/σ)倍 各数値の偏差は 分散は(偏差)2の平均 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
137. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
138. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
139. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍 平均0 標準偏差σ 各数値を (1/σ)倍 平均0 X–μ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
140. 分布の変換（続き） 分布中の各数値から，平均を引いて標準偏差で割る 各数値の偏差は (1/σ)倍 分散は(偏差)2の平均 (1/σ)2倍 標準偏差は分散の平方根 (1/σ)倍 平均0 標準偏差σ 平均0 各数値を 標準偏差1 (1/σ)倍 平均0 X–μ 0 X–μ σ 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 35 37
141. 式で書くと 分布そのものをXとすると， ※分布そのものを， 数のようにひとつの文字で表す Z = (X – μ) / σ と変換すると，Zは平均0，標準偏差1 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 36 37
142. 受験産業でいう「偏差値」 平均0，標準偏差1の分布Zを，さらに W = 10Z + 50 と変換すると，Wは平均50，標準偏差10 これが［偏差値］ ※わかりやすい数値で書いています。 「華氏温度」を思い出してください。 偏差値70 平均よりも，標準偏差の2倍上回っている 偏差値40 平均よりも，標準偏差の1倍下回っている 2026年度秋学期 統計学／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 37 37