[2026後期火５] 論理学（京都大学文学部 後期 第6回）「等号と個体化」

科学哲学科学史 (演習) 後期 第6回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「等号と個体化」
2026年11月17日（火）1645〜1815（予定）

等号の規則は、t=t と書いてよい（=I）と、同じものなら置き換えてよい（=E）の二つだけです。=E で置き換える場所をうまく選ぶと、対称律と推移律が出ます。ブランダムによれば、名前を入れ替える推論は両方向に成り立ち、述語を入れ替える推論は片方向にしか成り立ちません。名前を言語に持ち込むには、どの名前と入れ替えてよいかという同一性の基準が要ります。「切り裂きジャック」は、適用の基準はあるが同一性の基準がない名前です。授業前の公開なので、答えのページは外してあります。

1. 科学哲学科学史 (演習) 後期 第 6 回 論理学 等号と個体化 （名前を入れ替えてよい、とはどういうことか） 2026 年 11 月 17 日（火）16:45–18:15 文学部第 4 講義室 担当：矢田部俊介（西日本旅客鉄道株式会社） yatabe.shunsuke.24n@st.kyoto-u.ac.jp
2. 本授業は西日本旅客鉄道株式会社の業務として実施しています 西日本旅客鉄道は LLM の活用を推進しています。
3. 本日のメニュー 1. 今日の予定 2. 宿題の答え合わせ 3. 等号の規則 4. 演習 5. ブランダム：名前の入れ替えは両方向 6. ジャックに戻る 7. 宿題 8. まとめ 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 3
4. 1. 今日の予定
5. 今日の予定 前回（11/10） 問題演習と ε-δ 論法。答えの入ったスライド完全版と補足資料（Q&A）を KULMS に 掲載した。 今日：等号 第 1 回に「入れ替えてよい、とは同じだということ」という話をした（ライプニッツ、 フレーゲ）。そのとき「あとでブランダムを読む」と予告した。今日はそれをやる。 等号の規則は二つしかない（=I と =E）。 ブランダム：名前の入れ替えは両方向に効き、述語の入れ替えは片方向にしか効か ない。 名前を一つ持ち込むとは、どの名前と入れ替えてよいかを引き受けることである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 5
6. 予定の変更 これから先の日程 11 月 24 日は大学祭のため、11 月 26 日（木）に振り替えて授業をする。 12 月は 1 回か 2 回、休講になるかもしれない。決まりしだい KULMS で知らせる。 内容の順番 当初の予定では等号は 11/10 だった。11/10 を演習にしたので、そこから 1 回ずつ後ろ にずれる。次回（11/26）は矛盾律と直観主義述語論理。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 6
7. 2. 宿題の答え合わせ
8. 3. 等号の規則
9. 等号は、ちょっと特別な述語 形はふつうの二項述語 x < y と同じく、x = y は二つの項をとる述語である。 だが、規則は論理の側に置く < の性質は、算術なら算術の公理で決める。これに対して = の規則は、算術でも ジャックの話でも同じものを使う。そこで、等号の規則を量化子の規則と同じく、論理 の規則として扱う（等号つきの述語論理）。 今日の問い では、= の規則は何を決めていればよいのか。a = b と言えたら、何をしてよいことに なるのか。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 9
10. 公理の形で書くと（2021 年度の授業） 等号の公理系 1. 同一律：∀x [x = x] 2. 対称律：∀x ∀y [x = y → y = x] 3. 推移律：∀x ∀y ∀z [x = y ∧ y = z → x = z] 公理は、すでにキャンセルされた仮定 公理は証明の葉に置いてよく、あとでキャンセルしなくてよい。 ∀x [x = x] ∀E 0̄ = 0̄ この証明は、開いた仮定を持たない。 わかりやすいが、実際の証明で使うと長くなる。そこで規則の形で書く。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 10
11. 規則の形：=I と =E t=t A[t/x] t = s =E A[s/x] =I =I（導入） 前提なしに、どんな項 t についても t = t と書いてよい。 =E（除去） t について言えたことと t = s から、t を s に置き 換えたことが言える。 規則はこの二つだけ 同一律は =I そのもの。対称律と推移律は、このあと =E から出す。 =I は t = t しか言わないのに、=E はどんな置き換えも許す。これで釣り合っているのか、という疑問が出 されたことがある [Read 2004]。のちに Read 自身がこう答えた。=I を「どんな述語 F をとっても、F [a] か ら F [b] が、F [b] から F [a] が導けるなら a = b」と書き直すと、=E はそこからちょうど出てくる。しかも書 き直した規則で出せる等式は t = t の形だけで、元の =I と変わらない。だから =I と =E は釣り合っている [Read 2016]。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 11
12. =E は、ライプニッツの片側 第 1 回の復習 ライプニッツ：「一方を他方に置き換えても真理が損なわれないもの、それが同じもの である」。授業で使うのは、その片側だった。 同じものなら、置き換えてよい。 規則にすると =E A[t/x] と t = s から A[s/x]。 「t と s が同じなら、t について正しいことは s につい ても正しい」。 逆向きは入っていない 「どう置き換えても区別がつかないなら同じ」は、=E からは出てこない。第 1 回でも 言ったとおり、こちらは形而上学の原理で、いまも論争がある。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 12
13. =E を使ってみる：t = s から s = t こつ：A[x] をうまく選ぶ A[x] を「x = t」ととる。すると A[t/x] は t = t（これは =I で出る） A[s/x] は s = t（これが欲しいもの） t=t =I t = s =E s=t t = t の左側の t だけを s に置き換えた、と読む。 =E は、出てくる t を全部置き換えなくてよい。どこを置き換えるかは A[x] の選び方で決まる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 13
14. 推移律：t = s と s = u から t = u A[x] を「t = x」ととる A[s/x] は t = s（前提） A[u/x] は t = u（欲しいもの） =E を「s を u に置き換える」向きに使う。 t = s s = u =E t=u これで、公理の形の三つ（同一律・対称律・推移律）は、どれも規則の形から出ることになる。 あとは →I と ∀I で公理の形に包めばよい（宿題問 1）。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 14
15. 置き換えてはいけないところ 束縛された変数を巻き込まない A[x] を「∃y ¬(x = y)」（x と違うものがある）とする。x = y から =E で ∃y ¬(x = y), x = y =⇒ ∃y ¬(y = y) ?? としてはいけない。置き換えた y が、∃y に捕まってしまう。束縛変数の名前を先に替え て ∃z ¬(x = z) とし、そこから ∃z ¬(y = z) を出す。 第 3 回・第 4 回の固有変数条件と同じく、「どの変数がどこで束縛されているか」を見る注意で ある。 「知っている」の中は別の話 警部が「犯人は左利きだ」と知っていても、 「ジャックは左利きだ」と知っているとは限 らない（第 1 回）。今日の形式言語には「知っている」がないので、=E はこの問題に出 会わない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 15
16. 4. 演習
17. 演習（その場で考える） 次を =I・=E と、これまでの規則で証明せよ (1) a = b, F [a] ⊢ F [b] (2) a = b, F [b] ⊢ F [a] (3) ∀x ∀y ∀z (x = y ∧ y = z → x = z) ヒント：(1) は =E を一回。(2) は (1) と同じようにはいかない。どこで何が要るか。 (3) は推移律の証明図を、∧E・→I・∀I で包む。 (1) と (2) の違いを覚えておく このあとのブランダムの話は、この違いの話である。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 17
18. 5. ブランダム：名前の入れ替えは両方向
19. 代入推論とは 文の一部を入れ替える推論 文の中のある表現を、別の表現に置き換えて、新しい文を結論として出す推論を代入推 論（substitution inference）という。 述語を入れ替える 名前を入れ替える 「フランクリンは歩いた」 ⇓ 「フランクリンは動いた」 「フランクリンは歩いた」 ⇓ 「遠近両用眼鏡の発明者は歩いた」 どちらも良い推論である（右は、フランクリンが遠近両用眼鏡を発明したことを前提にして いる）。 例はブランダムのもの [Brandom 1994, p.371]。 フランクリンが発明者とされるのは、本人の 1784 年・85 年の書簡による。先に作った人がいた可能性を 指摘する眼科史家もいる。もし別人なら「フランクリン＝発明者」は偽になるが、 「フランクリン＝フラ ンクリン」は偽にならない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 19
20. 述語の入れ替えは、片方向 逆にしてみる 「フランクリンは歩いた」⇒「フランクリンは動いた」 良い 「フランクリンは動いた」⇒「フランクリンは歩いた」 良くない（走ったのかも しれない） 述語には強い・弱いがある 「歩く」が当てはまるときは、かならず「動く」も当てはまる。逆はそうではない。 「歩く」は「動く」より強い述語である。 述語は「一方向の推論関係」に立つ、という指摘はストローソンのもので、ブランダムはそれを引いてい る [Brandom 1994, p.371]。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 20
21. 名前の入れ替えは、両方向 逆にしてみる 「フランクリンは歩いた」⇒「遠近両用眼鏡の発明者は歩いた」 「遠近両用眼鏡の発明者は歩いた」⇒「フランクリンは歩いた」 良い これも良い 名前どうしに強い・弱いはない 二つの名前が同じものを指すなら、どちらからどちらへも入れ替えてよい。一方だけ が「強い名前」ということはない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 21
22. ブランダムの主張 単称項と述語は、代入推論の形で区別できる 単称名辞（singular term。名前のこと）が実質的に関わる代入推論は、原理上いつも対 称である。述語は、かならず何らかの非対称な代入推論に関わる（対称なものに関わる こともある）。 Substitution inferences materially involving singular terms are de jure symmetric, while all predicates are materially involved in some asymmetric substitution inferences (though they may be involved in some symmetric ones as well). [Brandom 1994, pp.371–372] 言い換えると 名前は、互いに入れ替えてよいもの同士でグループに分かれる（同値類） 。 述語は、強い・弱いの順序に並ぶ。 [Brandom 1994, p.372] 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 22
23. 対称性は、推論だから出てくるのではない 反射・推移はおのずと出る 良い推論を「何か大事なもの（真であること、など）を前提から結論へ保つ」ものと考え ると、 p から p へは、何でも保たれる（反射）。 p から q 、q から r で保たれるなら、p から r でも保たれる（推移）。 対称はそうではない p から q で保たれても、q から p で保たれるとは限らない。推論であることからも、何 かを保つことからも、対称性は出てこない。[Brandom 1994, p.372] だから「名前の入れ替えはいつも対称」は、名前というものについての実質的な主張になる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 23
24. 規則の側で並べる 述語の片方向 名前の両方向 「歩くものは動く」∀x (W [x] → M [x]) 「フランクリン＝発明者」f = b W [f ] から W [b]：=E 一回（演習 (1)） W [b] から W [f ]：対称律をはさんで =E （演習 (2)） ∀x (W [x] → M [x]) ∀E W [f ] → M [f ] W [f ] →E M [f ] どちらへも行ける。 M [f ] から W [f ] へは戻れない。 ブランダム自身の言い方 名前の入れ替えの約束を主張の形で書くと、同一性の言明（t = t′ ）になる。述語の片方向 の約束は、量化された条件文（「歩くものは何であれ動く」 ）になる。[Brandom 1994, p.372] ブランダムは形式体系を与えていない。=I・=E はブランダムの主張の形式の側の対応物であって、主張 そのものではない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 24
25. 名前を持ち込むには、同一性の基準が要る ブランダム 言語に単称項を一つ持ち込むには、適用の基準だけでなく同一性の基準も決めなけれ ばならない。つまり、どの表現と入れ替えてよいかを決めなければならない。 To introduce a singular term into a language one must specify not only criteria of application but also criteria of identity, specifying which expressions are intersubstitutable with it. [Brandom 1994, p.372] 第 1 回のフレーゲにつながる フレーゲ『算術の基礎』§62：記号 a で対象を指すなら、b が a と同じかどうかを決め る基準（Kennzeichen）が要る。ブランダムはこの箇所を引いている [Brandom 1994, p.416, p.419 注 28]。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 25
26. 同一性の言明は、入れ替えの許可証 ブランダム 同一性の言い回しを使うと、「入れ替えの許可証」の意味をもつ主張が言えるように なる。 Identity locutions permit the expression of claims that have the significance of intersubstitution licenses. [Brandom 1994, p.372] 規則で読むと a = b を主張するとは、「これから先、a と b をどちらからどちらへも入れ替えてよい」 と引き受けることである。=E は、その許可証を使う規則である。 第 1 回の定義に戻る 第 1 回： 「入れ替えてよいと一度引き受けたことを、後の発言でも守り続けているとき、 対象を追えている」。いまの言葉では、手にした許可証を、後で破らないことである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 26
27. 6. ジャックに戻る
28. ジャックには何が足りないか 適用の基準はある 「切り裂きジャック」は「メアリを殺した者」として持ち込まれた名前である。誰に当 てはまるかの条件は、言葉の上では決まっている。 同一性の基準がない 「ジャック＝ X」か「ジャック＝ Y」か、を決めるものがない。 「ジャック」は「犯人」 とは入れ替えてよいが、ほかのどの名前とも入れ替えてよいと言えない。 名前はあるのに、誰なのかわからない（第 1 回の題） 。いまの言葉で言えば、適用の基準はある が、同一性の基準がない名前である。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 28
29. 規則の側で言うと 第 4 回：∃E の仮の名前 ∃x K(x) から ∃E で K(x) を仮定するとき、x は結論に持ち出せない（条件 (b)）。 今日の言葉で読むと この x について、x = t という許可証を一枚も持っていない。だから x について言えた ことを、ほかのどの名前にも移せない。持ち出せない名前とは、入れ替えの許可証を持 たない名前である。 この読み方は本授業の整理である。ブランダムが ∃E についてこう言っているわけではない。 二つの誤り 次の 2 枚は、許可証を持たないのに入れ替えてしまう誤りである。人間もやるし、LLM もやる。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 29
30. 人間の側：二つの「ある」を同じものにしてしまう 三段論法の実験 「ある A は B である」 「ある B は C である」から何が言えるかを、参加者に自分で書かせ る。正しい答えは「何も言えない」（二つの「ある B」が同じものとは限らない）。 答え 割合 「ある A は C である」 約6割 「何も言えない」（正答） 約3割 規則で言えば 二つの「ある」に同じ仮の名前を使い、 x = y の許可証なしに入れ替えている。∃E の条件 (a) の違反に当たる（第 4 回） 。 6 研究の集計。Khemlani & Johnson-Laird 2012, Table 6。 実験が調べたのは三段論法の形であって、∃x F (x) ∧ ∃x G(x) → ∃x (F (x) ∧ G(x)) という式そのものではない。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 30
31. LLM の側：未知の「誰か」に名前を書き込む 第 1 回の実演から（2026 年 10 月 4 日、手元の小さなモデル） 1 回目の答え：「本名は X とも、Y とも言われています」。同じ答えの最後で「正体は 特定されていません」。 3 回目の答え：「彼は 1891 年に名前を Y に変えました」。 人名は伏せた。X・Y が実在の容疑者かどうかは確かめていない。 規則で言えば 実験の報告 犯人は ∃E の仮の名前 x でしかない。そこ へ x = X と x = Y を書き込み、食い違い を「改名」でつないだ。許可証を持たないま ま、二枚の許可証を出している。 三段論法では、LLM は人間以上に「何も言 えない」と答えない。正答が「何も言えな い」の問題で、条件によっては正答率がほぼ 0% だった。[Eisape et al. 2024] 大きなモデルは「特定されていない」と答え、どの人物を指すかの解釈を明示した（第 1 回） 。違い は、仮の名前を仮の名前のまま扱えるかどうかである。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 31
32. この先の地図 同一性の基準を、全部決めてしまう話 完全性定理の証明（第 12 回ごろ）では、項を集めて領域を作る。そのとき、t = s が言 える項どうしを一つにまとめる（同値類で割る）。今日の =I・=E が、そこでもう一度 出てくる。 証人を持たない「ある」 古典論理（第 8 回ごろ）では、「犯人がいないことはありえない」から「犯人はいる」 が出る。だが、そこで出てくる「犯人」には許可証が一枚もない。 次回（11/26）はその手前、矛盾律と直観主義述語論理（ホームズの推論）。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 32
33. 7. 宿題
34. 宿題 =I・=E とこれまでの規則で証明せよ（t は任意の項） 問 1 ∀x ∀y (x = y → y = x) 問 2 ∀x ∀y (x = y → (F [x] → F [y])) 問 3 ∃x (x = t) 証明できたら、次を 1〜2 行で書け：この式は「名前 t があれば、t で呼ばれるものが存在す る」と言っている。 「切り裂きジャック」を項として持ち込むと、何を認めたことになるか。 エクストラ（解かなくても不利にならない） ∀x (F [x] → ∃y (y = x ∧ F [y])) と、∀x (∃y (y = x ∧ F [y]) → F [x]) ∀I と ∃E を使うたびに、前回の見本の形で変数条件の点検を書くこと。 解くのにかかった時間も書くこと。締切：11 月 26 日（木）の授業開始前 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 34
35. 8. まとめ
36. 今日のまとめ 1. 等号の規則は =I（t = t）と =E（同じなら置き換えてよい）の二つ。 2. 対称律・推移律は、=E の A[x] をうまく選べば出る。 3. ブランダム：名前の入れ替えは両方向、述語の入れ替えは片方向。 4. 規則の側では、片方向は ∀x (P [x] → Q[x])、両方向は a = b で書ける。 5. 名前を持ち込むには、適用の基準だけでなく同一性の基準が要る。 6. ジャックは、適用の基準はあるが同一性の基準がない名前である。∃E の仮の 名前は、入れ替えの許可証を持たない名前である。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 36
37. 次回予告。矛盾律と直観主義述語論理 次回は 11 月 26 日（木）。振替授業である。 「ありえないものをすべて取り除けば、残ったものが、どんなにありそうになくて も真実である」 （コナン・ドイル『四つの署名』のホームズ） ホームズのこの推論は、これまでの規則では最後まで書けない。何が足りないのか を考える。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 37
38. 9. 参照文献
39. 参照文献 スライドで引いたもの Brandom, R. (1994). Making It Explicit. Harvard University Press. Ch.6 §IV, pp.371–373; p.416; p.419 n.28. Brandom, R. (2000). Articulating Reasons. Harvard University Press. Ch.4, pp.135–136.（同じ論点の短 い版）邦訳：ブランダム『推論主義序説』斎藤浩文訳、春秋社、2016 年。第 4 章「単称名辞とは何か、 そして、なぜそれらがあるのか」。 Read, S. (2004). Identity and harmony. Analysis 64(2), 113–119. Read, S. (2016). Harmonic inferentialism and the logic of identity. Review of Symbolic Logic 9(2), 408– 420. Khemlani, S. & Johnson-Laird, P. N. (2012). Theories of the syllogism: A meta-analysis. Psychological Bulletin 138(3), 427–457. Eisape, T. et al. (2024). A systematic comparison of syllogistic reasoning in humans and language models. NAACL 2024. 等号の公理系と規則の形は、2021 年度前期第 11 回（2021 年 6 月 29 日）の授業要約から。 科学哲学科学史 (演習) 論理学（後期） 担当：矢田部俊介 39