簡潔データ構造輪講資料（順列）

Compact Data Structures: A Practical Approach の Chapter 5: Permutations の輪講資料です。

Transcript

1. Chapter 5: Permutations
   Compact Data Structures: A Practical Approach (Gonzalo Navarro)
   発表者：飯塚
   1
   

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2. 発表の流れ
   2
   1. 順列 [1, ] の最悪エントロピーの評価
   ➡ 順列の保存は log bits でほとんど最適
   2. Inverse *+() を実現する簡潔順列
   ➡ 1 + log + () bits の空間計算量で
   1/ の時間計算量を実現 ( > 0)
   3. Power 5() を実現する簡潔順列
   ➡ 任意の について *+() と同様の時間・空間計算量
   内部的には *+() の簡潔順列を利⽤して実現される
   

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3. 順列 [1, ] の最悪エントロピーの評価
   3
   • 順列 [1, ]：1, 2, …, n を並べ替えた配列
   • ⼤きさ の順列は ! 種あるので ℋ9:
   = log = log !
   a. ≥ 1 のとき ! ≤ ? より ℋ9:
   ≤ log ? = log
   b. log ! = log ∏
   ?
   5A+
   = ∑ log
   ?
   5A+
   Jensen の不等式 ∑ 5
   ?
   5A+
   ≤ +
   ?
   ∑ 5
   ?
   5A+
   が使える
   E log
   ?
   5A+
   ≤ log
   1
   
   E
   ?
   5A+
   = log
   1
   
   ⋅
   1
   2
   + 1
   = (log + 1 − 1) = log + 1 − Θ()
   c. Stirling の近似を使うと log ! = log − Θ()
   各要素 log bits の配列 (Section 3.1) に保存するだけで
   ほとんど最適 ➡ 有⽤な機能という付加価値を付ける
   

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4. 実現したい有⽤な機能
   4
   • *+ ： = となる を⾒つける
   • 5()： … … のように を 回適⽤したとき
   の遷移先を求める
   • 1 + log + () bits のスペースで
   1/ の時間計算量を実現 ( > 0)
   • log + log ではないから succinct ではない？
   ➡ = 1/ log とすれば log + bits のスペースで
   log の時間計算量
   

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5. 5.1 Inverse Permutations
   5
   【⽬的】*+ ： = となる を⾒つける
   a. あらかじめ *+ を持っておくと時間計算量 1
   ➡ 補助領域が log bits … log が達成できない
   b. +
   = () ,O
   = + , … を繰り返して
   = となる を⾒つけたらストップ
   ➡ 時間計算量が () … は⼤きい
   b. をベースに⾼速化するためのアイデア
   1. cycle decomposition
   2. shortcut
   

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6. cycle decomposition
   6
   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
   () 10 7 3 5 8 1 11 12 4 6 9 2
   5
   8
   12
   2
   7
   9
   4
   11
   10
   6
   1
   3
   

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7. shortcut
   7
   5
   8
   12
   2
   7
   9
   4
   11
   Inverse *+ の計算
   1. 基本的には順列の⽅向に進む
   2. 逆向きのショートカットがあったら1度だけ使う
   3. = となる を⾒つけたらストップ
   時間計算量
   : パラメータ
   以上の間隔が空かないように
   逆向きのショートカットを⽤意
   

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8. shortcut の格納
   8
   5
   8
   12
   2
   7
   9
   4
   11
   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
   () 10 7 3 5 8 1 11 12 4 6 9 2
   0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
   8 9 2
   ：ショートカットの有無
   ：ショートカット先
   は左詰めにして の rank で
   アクセスする
   

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9. 空間計算量と時間計算量
   9
   • , 元の順列： log bits
   • , shortcut の有無： n bits の bit vector。constant time の rank
   が必要。4.2.2 の⽅法で + bits
   • , shortcut 先：サイクルの⻑さを としたとき
   個々のサイクルは / 個のショートカットを持つから
   の要素数は O?
   WX+
   を超えない（←サイクル⻑が + 1 の場合）
   よって O
   WX+
   log bits
   • = O
   WX+
   とおくと 1 + log + + () bits
   • = 1/ log とすれば log + bits のスペースで
   = 1/ = log の時間計算量
   

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10. 5.2 Powers of Permutations
    10
    サイクル順に要素を並べた配列を作ると
    Power は簡単に計算できる
    + … [5, 8, 12, 2, 7, 11, 9, 4]
    O … [10, 6, 1]
    Z … [3]
    5
    8
    12
    2
    7
    9
    4
    11
    10
    6
    1
    3
    

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11. Power の計算例
    11
    • + … [5, 8, 12, 2, 7, 11, 9, 4]
    • O … [10, 6, 1]
    • Z … [3]
    O[(12) を計算したい
    1. 12 は +
    の 3 番⽬の要素である
    2. +
    3 − 1 + 20 mod +
    + 1 = +
    22 mod 8 + 1 = 9
    *+(10) を計算したい
    1. 10 は O
    の 1 番⽬の要素である
    2. O
    1 − 1 − 1 mod O
    + 1 = O
    −1 mod 3 + 1 = 1
    *+ のデータ構造は不要だった？
    ➡ 5 の実装に必要
    

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12. 格納⽅法 (1)
    12
    + … [5, 8, 12, 2, 7, 11, 9, 4]
    O … [10, 6, 1]
    Z … [3]
    • ：+
    , O
    , … を並べた配列。 log bits
    • ：+
    , O
    , … の終端の位置が 1 になる bit vector。
    pred と succ (Section 4.5.2) を使ってサイクル⻑を
    求める
    ※ 元の順列 の格納はもはや不要
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    5 8 12 2 7 11 9 4 10 6 1 3
    0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
    

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13. 格納⽅法 (2)
    13
    • これだけでは「 上での の出現位置」を答えるのに
    かかってしまう
    • そこでポインタ を⽤意して 1 で計算可能にする
    5 8 12 2 7 11 9 4 10 6 1 3
    0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    
    

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14. 格納⽅法 (3)
    14
    • に ⌈log ⌉ bits, に ⌈log ⌉ bits, に + () 必要
    • これでは 2 log + () bits 必要で簡潔にならない
    • 実は は不要
    5 8 12 2 7 11 9 4 10 6 1 3
    0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    
    

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15. 格納⽅法 (4)
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    • に Section 5.1 の⼿法を適⽤して *+ を計算可能にする
    • の 番⽬の要素は *+() で計算可能
    • よって に 1 + log + + () bits, に + () bits
    • = 1/ log のとき全体で log + bits
    5 8 12 2 7 11 9 4 10 6 1 3
    0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    
    

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16. 計算例
    16
    O[(12) を計算したい
    1. 12の 上での位置は 12 = 3
    2. , 3 = 0, , 3 = 8 よりサイクル⻑は 8
    3. 3 − 1 + 20 mod 8 + 1 = 7, *+ 7 = 9
    5 8 12 2 7 11 9 4 10 6 1 3
    0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    
    

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