既約元qがabを割るとき、qはaかbかを割る話

矢印でかくと分かりやすいかなと思った

Transcript

1. 示したいこと • R: 単項イデアル整域 • a, b∈R • q: irreducible • qはaを割り切らない • qはabを割り切る このとき、qはbを割り切ることを示したい 単項イデアル整域では、 2数a,bについてその 最大公約数gcd(a,b)がある！
2. 記号の準備 登場人物が多いので(多くないけど)図示してみることにする。 「aがbを割り切る」を、aからbへの矢印であらわす。
3. 記号の準備 dがaとbの最大公約数であるとき、dからa,bに矢印を書くだけで なく、その根本に「く」の字を書いておくことにする。
4. 記号の準備 a,bにeから矢印がのびているとき、a,bに矢がのびているものの うち「く」の字がついているところに矢印がかける (最大公約数の定義の最大性)
5. 記号の準備 「く」の字つきの3つ組全体を何倍かしても「く」の字つきの関 係は保たれる(最大公約数の性質)
6. 記号の準備 Irreducibleな元(ここではq)の隣には「irr」と書いておく。 Irreducibleな元にxから矢印があるときは、xは1であるかqその ものであるかのどちらかである(irreducibleの定義) ※可逆元倍について同値類を 取ったと思ってください
7. 示したいこと(もういっかい) • R: 単項イデアル整域 • a, b∈R • q: irreducible • qはaを割り切らない • qはabを割り切る このとき、qはbを割り切ることを示したい 矢印で書くと右のようになる
8. 証明 まずaとqのgcdをとっておく(PIDなので大丈夫)
9. 証明 qはirreducibleで、gcd(a,q)から矢がのびているので、gcd(a,q) は1かqかのどちらか。
10. 証明 仮にgcd(a,q)=qだとすると、qからaに矢がのびることになり 仮定に反する。よって、gcd(a,q)=1がわかる。
11. 証明 1からq,aに矢がのびていることがわかったが、この3つ組をb倍 して右上に書く。右上の3つ組にも「く」の字が書ける。 1はa,qの 最大公約数 bはab,qbの 最大公約数
12. 証明 qはqbを割り切るので、矢を書いておく
13. 証明 「く」の字のついたbからab,qbに矢があって、さらにqからも ab,qbに矢がある。
14. 証明 よって、最大公約数の最大性よりqからbに矢が書ける！(おわり)