Scratchからアルゴリズムへ 〜二分探索〜

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1. Scratchから アルゴリズムへ 〜 ⼆分探索 〜 あすまるびぃ (@asmape_RK)
2. このスライドについて • このスライドは、東京⼤学⼯学部電⼦情報⼯学科・電気電⼦⼯ 学科の授業である、アルゴリズム（https://iis- lab.org/algorithms2020）の期末レポート課題として制作され たものを⼀般に公開したものになります。 本スライドの内容に関して、お気づきの点やさらに良くするた めのコメントがございましたら、ぜひ本スライドの制作者にご 共有ください。
3. 皆さんはプログラミングと⾔うと 何を思い浮かべますか？
4. プログラミング • ゲームやウェブページなどの開発？ • ゲームのようなものを作るのは、Scratchでやったことがあるかもしれ ません。 • 問題を解いたり、データの処理をする？ • 今⽇はこちらについて触れていきましょう。
5. 問題を解く、データを処理する • データの中から指定のデータを探し出す • GoogleやYahoo!の検索など • 問題を解く • 地図上の最短経路を計算する、パズルを解くのに必要な⼿を調べる、 オセロや将棋などのAIを作る、数学の問題を解くなど。
6. ⼤事な概念 アルゴリズム
7. 次のような問題を考えてみましょう。 • 0でない数字と数字が与えられたとき、についての１次⽅程 式 − = 0を解きなさい。 • 例： = 3, = 6のとき = 2。 = 2, = 0のとき = 0 • これをコンピュータに解かせるには？
8. 解き⽅ • − = 0の形のまま計算すると = ! " なので、この割り算を計 算させれば良い。 ※ ⼀応確認 − = 0 ↓移項 = ↓ で割る =
9. 解き⽅ • このとき、 = ! " とすれば − = 0の解が得られるというのは ⼈間が考えたもの！ • コンピュータは指⽰に従って計算してくれるだけである。 • このように、解き⽅の⼿順は⼈間が与えなければならない、こ の⼿順のことをアルゴリズムという。
10. アルゴリズムの実装 • どんなアルゴリズムも、みなさんがScratchで使ってきた「変 数」「条件分岐」「ループ」などの組み合わせでできている。 • 是⾮今までの知識をフル活⽤しながら、今⽇説明するアルゴリ ズムの話を聞いてみてください。
11. 今⽇のテーマ • 「探索」 • 複数のデータ、数字の列などの中から、お⽬当てのものを探す⼿法。 • ⽣徒のリストから◦組の⼈を⾒つけ出す。商品のリストから価格が1000円以下 のものを探し出す。など。 • 今回は簡単に、⼀致するものを探し出す⽅法を考える。 • つまり、次の問題を解く。「数字のリストがあります。この中に指⽰された数字 があるかどうか調べてください。」
12. 今⽇のテーマ • 以下の名前のアルゴリズムを扱う。 • 線形探索 • ⼆分探索 • ハッシュ法
13. 住んでいる階を当てる問題 • Aさんは、50階建てのビルに住んでいます。 • あなたは、Aさんが住んでいる階を当てます。 • あなたは、Aさんに「はい」「いいえ」で答えられる質問をす ることが出来ます。 • さて、⼀番多い場合でも何回質問すればAさんの住んでいる階 を当てられるでしょうか。
14. 素朴な⽅法 • 「あなたは◦階に住んでいますか？」という質問を繰り返す。 • この場合、1階から聞き始めて、Aさんが50階に住んでいた場合、 50回質問をすることになる。 • つまり、ビルの階数と同じ回数だけ質問しなければならない！
15. 質問を変えてみる • 「あなたは◦階以下に住んでますか？」 • ⼀回の質問で、かなり候補を絞ることが出来そう。
16. 質問を変えてみる • 「あなたは25階以下に住んでいますか？」 • 候補：50→25 • 候補を半分にできる！ • 「はい」の場合を考える。
17. 質問を変えてみる • 「あなたは25階以下に住んでいますか？」 • 候補：50→25 • 「はい」の場合を考える。 • 「あなたは13階以下に住んでいますか？」 • 候補：25→13または12 • いちばん質問が多い回数を考えるので「はい」の場合を考える。
18. 質問を変えてみる • 「あなたは7階以下に住んでいますか？」 • 候補：13→7または6 • 「はい」の場合を考える。
19. 質問を変えてみる • 「あなたは7階以下に住んでいますか？」 • 候補：13→7または6 • 「はい」の場合を考える。 • 「あなたは4階以下に住んでいますか？」 • 候補：7→4または3 • 「はい」の場合を考える。
20. 質問を変えてみる • 「あなたは2階以下に住んでいますか？」 • 候補：4→2 • 「はい」の場合を考える。 • 「あなたは1階に住んでいますか？」 • 候補：2→1 • 多くてもここで分かる！
21. 質問した回数 • 「あなたは◦階以下に住んでいますか？」 • 25 • 13 • 7 • 4 • 2 • 1 • 質問回数は多くても6回！
22. ⼆分探索 • このように、候補を半分にすることを繰り返す当て⽅を「⼆分 探索」という。 • ⼀⽅、はじめに出てきたように「◦階ですか？」という質問を 地道にする当て⽅を「線形探索」という。
23. 質問回数の⽐較 • 線形探索の場合、階の数と等しい。 • ⼆分探索の場合、「階の数を何回半分にできるか」という数と ⼤体等しい。
24. 質問回数の⽐較 • 階の数が⼤きければ⼤きいほどその差は歴然。10000ぐらいに なっても⼗数回の質問で済む。 階の数 50 100 500 1000 5000 10000 線形探索 50 100 500 1000 5000 10000 ⼆分探索 6 7 9 10 13 14
25. 半分にできる回数 • ある数を半分にできる回数は、⼤体(数字の桁数-1)に⽐例する ことが知られている • 例：100階で7回の質問、10000階で14回の質問。それぞれの(桁数-1) は2、4であり2倍。質問の回数も2倍である。 • 桁数の上昇はその数に⽐べてとても⼩さい。 • 1万→1億は1万倍だが、(桁数-1)は2倍しか増えていない。 • ちなみになぜそうなるかという話は、⾼校までのお楽しみ。 • 対数という概念です。数学に興味がある⼈は調べてみてください。
26. いろいろ⼆分探索してみよう • もっと⾊んな所で⼆分探索を使いたい。 • ⼆分探索が使えるのは、複数のものから1つを選んだとき、答 えがその前と後のどちらにあるかが分かるとき！
27. 数を探し出す問題 • 何らかの数が書かれた紙が⼊っている箱が何個かあります(図は 10個の例)。 • 箱にはふたがついていて、何が⼊っているかは開けるまでわか りません。 • このうちのどこかに、20が⼊っています。開ける箱をできるだ け少なくして、20の⼊っている箱を当ててください。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？
28. 数を探し出す問題 • 今の条件では⼆分探索を使えない！ • なぜなら、箱を開けてもどちらに答えがあるかがわからないか ら。 • この場合は線形探索を使うしかない。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？
29. 数を探し出す問題 • 次の条件を追加してみよう。 • 箱の中に⼊っている数は左から⼩さい順に並んでいる。 • これなら、⼤⼩関係から探す数が左右どちら側にあるかが分か る！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？
30. 数を探し出す問題 • まずは5番⽬を開けてみよう。 • 45だった！答えはこれより左側にある！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ ？ ？ ？ 45 ？ ？ ？ ？ ？
31. 数を探し出す問題 • 2番⽬を開けてみよう。 • 10だった！答えはこれより右側にある！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ 10 ？ ？ 45 ？ ？ ？ ？ ？
32. 数を探し出す問題 • 3番⽬を開けてみよう。 • ⾒つけた！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ？ 10 20 ？ 45 ？ ？ ？ ？ ？
33. プログラミングで書く準備 • これをコンピュータにやってもらうプログラムを書きましょう。 • どんな変数が必要だろうか。 • どうやったら、繰り返し「真ん中」を計算できる？ • 繰り返しが終わる条件は？(＝繰り返しを続ける条件は？)
34. ⽅針 • 2つの⽬印を⽤意する。 • •と同じところか、•と▪の間の範囲に答えが存在するという 印。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ▪
35. ⽅針 • 真ん中の位置を決める。 • (•の位置+ ▪の位置)÷2、⼩数点以下は切り捨てることにする。 • 今回は5、取り敢えず▲の印をつける。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • ？ ？ ？ ？ ？▲ ？ ？ ？ ？ ？ ▪
36. ⽅針 • ▲の印のところを開ける。 • 数は45、これより右に答えは存在しない。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • ？ ？ ？ ？ 45▲ ？ ？ ？ ？ ？ ▪
37. ⽅針 • ▪の印を5番⽬に移動する！ • これで答えはここより右にないことが表せた。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • ？ ？ ？ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
38. ⽅針 • 同じことを繰り返していく。 • ▲をつける。場所は(0+5)÷2の切り捨てなので2番⽬。 • ここの数は10。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • ？ 10▲ ？ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
39. ⽅針 • 今度はここより右に答えがあるので•を移動する！ • 次は…？ (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10• ？ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
40. ⽅針 • 今度はここより右に答えがあるので•を移動する！ • 次は…？ (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10• ？ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
41. ⽅針 • 今度はここより右に答えがあるので•を移動する！ • 次は…？ (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10• ？ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
42. ⽅針 • 次は3番⽬。 • 答えの位置はわかったけど試しに続けてみる。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10• 20▲ ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
43. ⽅針 • 最初の取り決めより•は答えそのものであっても良いので•を 移動させる。 ※最初の取り決め「•と同じところか、•と▪の間の範囲に答え が存在するという印」 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10 20• ？ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
44. ⽅針 • 最後、4番⽬を開ける。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10 20• 30▲ 45▪ ？ ？ ？ ？ ？
45. ⽅針 • 30は答えよりも⼤きいので▪を動かす。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10 20• 30▪ 45 ？ ？ ？ ？ ？
46. ⽅針 • •と▪の間がなくなったので答えは•のところ！ • つまり、「•と▪の距離が1」が繰り返しを終わる条件。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10 20• 30▪ 45 ？ ？ ？ ？ ？
47. ところで • 探したい数字がなかった場合はどうなる？
48. 存在しない場合 • 3番⽬の中⾝が20じゃなくて19だった場合このようになる。 • つまり•から左は20より⼩さく、 ▪から右は20より⼤きい範 囲になる。 • 最終的に•が探したいものと等しくなかった場合、その数はな かったということになる！ (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) ？ 10 19• 30▪ 45 ？ ？ ？ ？ ？
49. 存在しない場合 • また、すべての数字が探したいものより⼤きかった場合、 •は 0の位置から動かない。 • 0番⽬の箱は存在しないので、少し気をつける。 (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (11) • 24▪ 25 27 30 45 ？ ？ ？ ？ ？
50. Scratchで実装してみましょう
51. 実装例 • 今回は適当に箱を作る • 変数「カウンタ」を使っ て、次のような動作をす る。カウンタの数字を とする。 • を0〜19まで変化させ て、10〜10 + 9の数の どれかを箱に⼊れる。
52. 実装例 • 確かに⼩さい順になる。 箱に⼊りうる数 (10〜10 + 9) 0 0〜9 1 10〜19 2 20〜29 3 30〜39 ⋮ ⋮ 18 180〜189 19 190〜200
53. 実装例 • ⼆分探索の部分 • 変数「左の印」、「右の印」、 「真ん中の印」は、それぞれ が何番⽬にあるかの情報を持 つ。
54. 実装例 • 結果を出⼒する部分。 • 0番⽬を弾く。
55. 動作例 • 左に作られた箱の中⾝が表⽰ されるので、どれを探しても らいたいか決めましょう。 • 存在しない数字を⼊れたとき にきちんと存在しないと⾔っ てくれるか確認しましょう。
56. 動作例
57. ここまでのまとめ • 線形探索 • 遅いけど、どんなデータに対しても調べられる。 • ⼆分探索 • 早いけど、順番に並べられたデータにしか使えない。
58. ハッシュ法 • データを何番⽬に⼊れるかを⼯夫することにより、探したいも のを⼀発で⾒つけ出す⽅法。 • データから何番⽬に⼊れるかを導き出す。これをハッシュとい う。 • 例えば、1の位を使うなど。次に説明します。
59. 1の位を⽤いる⽅法 • 数の1の位は0〜9なので、 (1の位)番⽬の位置の箱に⼊れる(0は 10番⽬)。 • 例：データが13, 25, 37, 52, 59のとき、10個の箱を⽤意して以 下のように⼊れる。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 13 25 47 59
60. 1の位を⽤いる⽅法 • 52を探したい場合 • 52の1の位は2なので2番⽬に⼊っているはずである。 • 2番⽬の箱を開けると⾒つかる。 • 35を探したい場合 • 35の1の位は5なので5番⽬に⼊っているはずである。 • 5番⽬の箱を開けると25なので⾒つからない。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 13 25 47 59
61. ハッシュ法の利点・⽋点 • 利点 • とにかく早い • ⼀発で⾒つけられる。 • データを箱に⼊れるのも時間がかからない。 • ⽋点 • 衝突 • 同じ1の位を持つ数が複数あるとうまく⾏かない。 • 空の箱が出る • 速さのために無駄なスペースがある。 • 専⾨的な⾔葉で⾔うと「空間計算量が⼤きい」
62. ⽋点の克服 • ここにさらに32を追加することを考える。 • 2番⽬はすでに埋まっている。どうする？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 13 25 47 59
63. チェーン法 • 1つの箱に複数の数字を⼊れられるようにする。 • 箱の中に複数の数字が⼊るので、箱の中で線形探索などが必要。 ただし、数は少なくなるはずなので何もせず線形探索するより は早い。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52,32 13 25 47 59
64. オープンアドレス法 • 開いてる別の場所に⼊れる。 • 本来⼊れる場所からスタートし、右に⾒ていって開いてるとこ ろに⼊れる。 • ⾒つけるときは、32だと思って2番⽬を開けると52なので、そ こから右の⽅を順番に探すという⼿順を取る。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 13 32 25 47 59
65. ⼤きさの問題 • 1の位を⽤いる⽅法かつオープンアドレス法の場合は、データ が10個しか⼊れられない。 • チェーン法の場合でも、データが100個、1000個となると同じ 箱に⼊る数字が10個、100個とどんどん増えていってしまう。 • 普通は、もっと⼤きな数の箱を⽤意する。
66. まとめ • 線形探索 • 遅いけど、どんなデータに対しても調べられる。 • ⼆分探索 • 早いけど、順番に並べられたデータにしか使えない。 • ハッシュ法 • 早いけど、箱がたくさん必要。
67. まとめ • 今回紹介したアルゴリズムは、ほんの⼀部分にしか過ぎません。 • ぜひ興味が湧いた⽅は、⾃分で勉強してみたりしてみてくださ い。