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第14章マルコフ連鎖
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axjack
March 21, 2022
Science
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140
第14章マルコフ連鎖
統計学実践ワークブックpp.108-109
の第14章マルコフ連鎖に出てくる、
・確率変数
・状態
・状態空間
・時点
・未来/現在/過去(の履歴)
・斉次的
・遷移確率
をまとめたものである。
axjack
March 21, 2022
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Transcript
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Ϛϧίϑ࿈ʹೖΔલʹ p(n) m (x, B) := P(Xn+m ∈ B|Xn =
x), x ∈ S B ∈ 𝒮 ঢ়ଶۭؒ4ͷ෦ू߹ΛूΊͨू߹ 𝒮 ঢ়ଶۭؒ4ͷ෦ू߹ΛूΊͨू߹ͷཁૉ ࣌OͰͷ Nεςοϓޙͷ ભҠ֬ ࣌OͰঢ়ଶY ू߹#ͷཁૉ͕ঢ় ଶΛूΊͨͷ ࣌O NͰͷ ֬ม ͭ·Γ ঢ়ଶΛද͢ ू߹#ͷཁૉͷͲ Ε͔ΛऔΔ ࣌OͰঢ়ଶۭؒ4ͷ ͳ͔ͷཁૉYΛऔΔ
Ϛϧίϑ࿈Ͱͳ͍
࣌U ࣌U ࣌U ࣌U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ P(Xt+1 = 1|Xt , Xt−1 , Xt−2 , ⋯, X0 ) ະདྷͷঢ়ଶɺݱࡏͷঢ়ଶͱաڈͷཤྺͰܾ·Δ ະ དྷ ͷ ঢ় ଶ ݱ ࡏ ͷ ঢ় ଶ ͱ ա ڈ ͷ ঢ় ଶ ͨ ͪ ͢ ͳ Θ ͪ ա ڈ ͷ ཤ ྺ ʹ ґ ଘ ͠ ͯ ͍ Δ ͱ ͍ ͏ ෳ ࡶ ͩ ͚ Ͳ ͦ Γ ͦ ͏ ͩ Α ͳ ͷ ਤ
Ϛϧίϑ࿈Ͱ͋Δ
࣌U ࣌U ࣌U ࣌U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ = P(Xt+1 = 1|Xt ) P(Xt+1 = 1|Xt , Xt−1 , Xt−2 , ⋯, X0 ) աڈͷཤྺෆཁͰ͋Δ ະདྷͷঢ়ଶݱࡏͷঢ়ଶͰܾ·Δ ະ དྷ ͷ ঢ় ଶ ݱ ࡏ ͷ ঢ় ଶ ͱ ա ڈ ͷ ঢ় ଶ ͨ ͪ ͢ ͳ Θ ͪ ա ڈ ͷ ཤ ྺ ʹ ґ ଘ ͠ ͯ ͍ Δ ͱ ͍ ͏ ෳ ࡶ ͩ ͚ Ͳ ͦ Γ ͦ ͏ ͩ Α ͳ ͩ ͚ ʹ ґ ଘ ͢ Δ ͷ ਤ
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࣌U ࣌U ࣌U ࣌U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ P(Xt = 2|Xt−1 = 1) ≠ P(Xt+1 = 2|Xt = 1) ͕࣌ҟͳΕɺঢ়ଶભҠ֬ҟͳΔ
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༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈ TUFQભҠ ͕࣌ҟͳΔ͚ΕͲɺ ঢ়ଶભҠ֬ಉ͡ ঢ়ଶͷ͕༗ݶ ະདྷͷঢ়ଶݱࡏͷঢ়ଶ Ͱܾ·Δ
ະདྷ࣌ ݱࡏ࣌ TUFQ p(1,1) p(1,3) p(3,3) p(3,1) p(2,3) p(1,2) p(2,1) p(2,2) p(3,2) ঢ়ଶJ͔Βঢ়ଶKTUFQͰ ભҠ͢Δ֬ P(i, j) = ༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈Ͱ͋Εɺঢ়ଶભҠਤͰঢ়ଶભҠ֬ΛදͤΔ ɹɾ࣍ঢ়ଶ ະདྷ ݱঢ়ଶ ݱࡏ Ͱܾ·Δɻ ɹɾաڈͷཤྺෆཁͰ͋Δɻ ɹɾભҠ֬࣌ʹґଘ͠ͳ͍ɻ ঢ়ଶͱঢ়ଶͷؒͷؔʹ͢Εྑ͍ TUFQ͡Όͳ͍ͷߟ͑ΒΕΔ͚ ͲɺͦΕߟ͑Εྑ͍ͬΆ͍ɻ ͕͔͠͠ɺͰग़͞Εͯ ͍ͳ͍ҹɻ
༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈ TUFQભҠ ͕࣌ҟͳΔ͚ΕͲɺ ঢ়ଶભҠ֬ಉ͡ ະདྷͷঢ়ଶݱࡏͷঢ়ଶ Ͱܾ·Δ ະདྷ࣌
ݱࡏ࣌ TUFQ p(1,1) p(1,3) p(2,1) ঢ়ଶJ͔Βঢ়ଶKTUFQͰ ભҠ͢Δ֬ P(i, j) = ∑ j∈S P(i, j) = P(1,1) + P(1,2) + P(1,3) = 1 ঢ়ଶͷ͕༗ݶ ݱঢ়ଶ͔ΒભҠͰ͖Δ ະདྷͷঢ়ଶΛશͯूΊͯ ͦΕΒͷΛͱΔͱ ̍ʹͳΔɻ Jݱঢ়ଶɻ͜͜ ͰJ K࣍ঢ়ଶɻ͜͜ ͰK TUFQ͡Όͳ͍ͷߟ͑ΒΕΔ͚ ͲɺͦΕߟ͑Εྑ͍ͬΆ͍ɻ ͕͔͠͠ɺͰग़͞Εͯ ͍ͳ͍ҹɻ