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第14章マルコフ連鎖

75eb40de505a993c792ff3bc6683dc0b?s=47 axjack
March 21, 2022

 第14章マルコフ連鎖

統計学実践ワークブックpp.108-109
の第14章マルコフ連鎖に出てくる、
 ・確率変数
 ・状態
 ・状態空間
 ・時点
 ・未来/現在/過去(の履歴)
 ・斉次的
 ・遷移確率
をまとめたものである。

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axjack

March 21, 2022
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Transcript

  1. ୈষϚϧίϑ࿈࠯ ౷ܭֶ࣮ફϫʔΫϒοΫ QQ

  2. ͜Ε͸Կ ౷ܭֶ࣮ફϫʔΫϒοΫQQ ͷୈষϚϧίϑ࿈࠯ʹग़ͯ͘Δɺ ɹɾ֬཰ม਺ ɹɾঢ়ଶ ɹɾঢ়ଶۭؒ ɹɾ࣌఺ ɹɾະདྷݱࡏաڈ ͷཤྺ 

    ɹɾ੪࣍త ɹɾભҠ֬཰ Λ·ͱΊͨ΋ͷͰ͋Δɻ
  3. Ϛϧίϑ࿈࠯ʹೖΔલʹ Xn ֬཰ม਺9O͸ʮঢ়ଶʯͱ͍͏஋ΛऔΔ΋ͷͰ͋Δɻ ঢ়ଶΛूΊͨ΋ͷΛঢ়ଶۭؒͱ͍͏ɻ ঢ়ଶۭؒΛ4ͱ͢Δɻ ঢ়ଶۭؒ͸ू߹Ͱ͋Δɻ ఴࣈO͸ʮ࣌఺ʯͱݺ͹ΕΔɻ ͨͱ͑͹9͸࣌఺ͷ֬཰ม਺͢ͳΘͪঢ়ଶͰ͋Δɻ ͨͱ͑͹9͸࣌఺ͷ֬཰ม਺͢ͳΘͪঢ়ଶͰ͋Δɻ ͨͱ͑͹9U͸࣌఺Uͷ֬཰ม਺͢ͳΘͪঢ়ଶͰ͋Δɻ

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  4. Ϛϧίϑ࿈࠯ʹೖΔલʹ p(n) m (x, B) := P(Xn+m ∈ B|Xn =

    x), x ∈ S B ∈ 𝒮 ঢ়ଶۭؒ4ͷ෦෼ू߹ΛूΊͨू߹଒ 𝒮 ঢ়ଶۭؒ4ͷ෦෼ू߹ΛूΊͨू߹଒ͷཁૉ ࣌఺OͰͷ Nεςοϓޙͷ ભҠ֬཰ ࣌఺OͰঢ়ଶY ू߹#ͷཁૉ͕ঢ় ଶΛूΊͨ΋ͷ ࣌఺O NͰͷ ֬཰ม਺ ͭ·Γ ঢ়ଶΛද͢ ू߹#ͷཁૉͷͲ Ε͔ΛऔΔ ࣌఺OͰঢ়ଶۭؒ4ͷ ͳ͔ͷཁૉYΛऔΔ
  5. Ϛϧίϑ࿈࠯Ͱͳ͍         

       ࣌఺U ࣌఺U  ࣌఺U ࣌఺U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ P(Xt+1 = 1|Xt , Xt−1 , Xt−2 , ⋯, X0 ) ະདྷͷঢ়ଶ͸ɺݱࡏͷঢ়ଶͱաڈͷཤྺͰܾ·Δ ະ དྷ ͷ ঢ় ଶ ͸ ݱ ࡏ ͷ ঢ় ଶ ͱ ա ڈ ͷ ঢ় ଶ ͨ ͪ  ͢ ͳ Θ ͪ ա ڈ ͷ ཤ ྺ ʹ ґ ଘ ͠ ͯ ͍ Δ ͱ ͍ ͏  ෳ ࡶ ͩ ͚ Ͳ ͦ Γ ͦ ͏ ͩ Α ͳ ͷ ਤ
  6. Ϛϧίϑ࿈࠯Ͱ͋Δ         

       ࣌఺U ࣌఺U  ࣌఺U ࣌఺U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ = P(Xt+1 = 1|Xt ) P(Xt+1 = 1|Xt , Xt−1 , Xt−2 , ⋯, X0 ) աڈͷཤྺ͸ෆཁͰ͋Δ ະདྷͷঢ়ଶ͸ݱࡏͷঢ়ଶͰܾ·Δ ະ དྷ ͷ ঢ় ଶ ͸ ݱ ࡏ ͷ ঢ় ଶ ͱ ա ڈ ͷ ঢ় ଶ ͨ ͪ  ͢ ͳ Θ ͪ ա ڈ ͷ ཤ ྺ ʹ ґ ଘ ͠ ͯ ͍ Δ ͱ ͍ ͏  ෳ ࡶ ͩ ͚ Ͳ ͦ Γ ͦ ͏ ͩ Α ͳ ͩ ͚ ʹ ґ ଘ ͢ Δ ͷ ਤ
  7. ੪࣍తͰͳ͍ εςοϓਪҠ֬཰        

        ࣌఺U ࣌఺U  ࣌఺U ࣌఺U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ P(Xt = 2|Xt−1 = 1) ≠ P(Xt+1 = 2|Xt = 1) ࣌఺͕ҟͳΕ͹ɺঢ়ଶભҠ֬཰͸ҟͳΔ
  8. ੪࣍తͰ͋Δ εςοϓਪҠ֬཰        

        ࣌఺U ࣌఺U  ࣌఺U ࣌఺U ະདྷ ݱࡏ աڈ աڈ աڈͷཤྺ P(Xt = 2|Xt−1 = 1) ≠ P(Xt+1 = 2|Xt = 1) ࣌఺͕ҟͳΔ͚ΕͲ΋ɺঢ়ଶભҠ֬཰͸ಉ͡ ࣌఺ʹ͸ ͋·Γ ஫໨͠ͳͯ͘Α͘ɺঢ়ଶͱঢ়ଶ ͱεςοϓ ʹ஫໨͢Ε͹ྑ͍ɻˡঢ়ଶભҠ֬཰ʹؔͯ͠ɻ
  9. ༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈࠯ TUFQભҠ    ࣌఺͕ҟͳΔ͚ΕͲ΋ɺ ঢ়ଶભҠ֬཰͸ಉ͡ ঢ়ଶͷ਺͕༗ݶ ະདྷͷঢ়ଶ͸ݱࡏͷঢ়ଶ Ͱܾ·Δ

    ະདྷ࣌఺ ݱࡏ࣌఺ TUFQ p(1,1) p(1,3) p(3,3) p(3,1) p(2,3) p(1,2) p(2,1) p(2,2) p(3,2) ঢ়ଶJ͔Βঢ়ଶK΁TUFQͰ ભҠ͢Δ֬཰ P(i, j) = ༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈࠯Ͱ͋Ε͹ɺঢ়ଶભҠਤͰঢ়ଶભҠ֬཰ΛදͤΔ ɹɾ࣍ঢ়ଶ ະདྷ ͸ݱঢ়ଶ ݱࡏ Ͱܾ·Δɻ ɹɾաڈͷཤྺ͸ෆཁͰ͋Δɻ ɹɾભҠ֬཰͸࣌఺ʹґଘ͠ͳ͍ɻ ঢ়ଶͱঢ়ଶͷؒͷؔ܎ʹ஫໨͢Ε͹ྑ͍ TUFQ͡Όͳ͍΋ͷ΋ߟ͑ΒΕΔ͚ ͲɺͦΕ͸౎౓ߟ͑Ε͹ྑ͍ͬΆ͍ɻ ͕͔͠͠ɺ໰୊Ͱग़୊͞Εͯ ͍ͳ͍ҹ৅ɻ
  10. ༗ݶ੪࣍తϚϧίϑ࿈࠯ TUFQભҠ    ࣌఺͕ҟͳΔ͚ΕͲ΋ɺ ঢ়ଶભҠ֬཰͸ಉ͡ ະདྷͷঢ়ଶ͸ݱࡏͷঢ়ଶ Ͱܾ·Δ ະདྷ࣌఺

    ݱࡏ࣌఺ TUFQ p(1,1) p(1,3) p(2,1) ঢ়ଶJ͔Βঢ়ଶK΁TUFQͰ ભҠ͢Δ֬཰ P(i, j) = ∑ j∈S P(i, j) = P(1,1) + P(1,2) + P(1,3) = 1 ঢ়ଶͷ਺͕༗ݶ ݱঢ়ଶ͔ΒભҠͰ͖Δ ະདྷͷঢ়ଶΛશͯूΊͯ ͦΕΒͷ࿨ΛͱΔͱ ̍ʹͳΔɻ J͸ݱঢ়ଶɻ͜͜ Ͱ͸J K͸࣍ঢ়ଶɻ͜͜ Ͱ͸K   TUFQ͡Όͳ͍΋ͷ΋ߟ͑ΒΕΔ͚ ͲɺͦΕ͸౎౓ߟ͑Ε͹ྑ͍ͬΆ͍ɻ ͕͔͠͠ɺ໰୊Ͱग़୊͞Εͯ ͍ͳ͍ҹ৅ɻ