量子コンピューター超入門ハンズオン 補足資料 線形代数

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1. 量子コンピューター超入門ハンズオン
   補足資料：線形代数
   

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2. 2
   簡単なベクトル/行列計算の復習
   • 始める前に、ちょっとした計算ルールを頭に入れておきましょう！
   • 量子コンピューターの世界では、数学の世界と以下のような対応関係があります。
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   1
   ⋮
   
   ベクトル
   行列
   量子状態
   （計算に使うデータ）
   量子状態（データ）に
   対する操作（ゲート）
   1
   …
   量子コンピューターの世界
   （量子力学）
   数学の世界 計算上の表現
   縦ベクトル
   横ベクトル
   

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3. 3
   簡単なベクトル/行列計算の復習
   1
   ⋮
   
   +
   1
   ⋮
   
   =
   1
   + 1
   ⋮
   
   +
   1
   … + 1
   … = 1
   + 1
   …
   +
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   +
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   =
   11
   + 11
   ⋯ 1
   + 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   + 1
   ⋯
   +
   縦ベクトル：
   横ベクトル：
   行列：
   • ベクトル/行列は、同じ成分の箇所通しを足し引きすることが可能です。
   • 構造の同じもの同士でしか、演算はできません。
   • 引き算についても同様です。
   

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4. 4
   簡単なベクトル/行列計算の復習
   • ベクトルと行列の定数倍
   • 全ての成分に定数倍を掛けるだけ
   • 行列とベクトルの掛け算
   • 黄色の行と青色の列の成分を、１つずつ掛けて、全て足し合わせて、ベクトルの１つの成分（緑色）とな
   る
   • 行列同士の掛け算
   • 行列とベクトルの掛け算と同じ計算をして、行列の１つの成分（緑色）となる
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   1
   ⋮
   
   =
   11
   1
   + … +1
   
   ⋮ ⋮
   1
   1
   + … +
   
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   =
   11
   11
   + … + 1
   1
   ⋯ 11
   1
   + ⋯ + 1
   
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   11
   + … +
   1
   ⋯ 1
   1
   + ⋯ +
   
   
   1
   ⋮
   
   =
   1
   ⋮
   
   
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   =
   11
   ⋯ 1
   ⋮ ⋱ ⋮
   1
   ⋯
   

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5. 5
   簡単なベクトル/行列計算の復習
   • 以下のベクトルと行列を使って計算の仕方を学びます。
   • ベクトル/行列の足し算/引き算
   • ベクトル/行列の定数倍
   v=
   1
   3
   w=
   2
   5
   A=
   −2 4
   3 1
   B=
   −1 1
   3 6
   v+w=
   1
   2
   +
   2
   5
   =
   1 + 2
   2 + 5
   =
   3
   7
   v-w=
   1
   2
   −
   2
   5
   =
   1 − 2
   2 − 5
   =
   −1
   −3
   A+B=
   −2 4
   3 1
   +
   −1 1
   3 6
   =
   −2 − 1 4 + 1
   3 + 3 1 + 6
   =
   −3 5
   6 7
   A-B=
   −2 4
   3 1
   −
   −1 1
   3 6
   =
   −2 − (−1) 4 − 1
   3 − 3 1 − 6
   =
   −1 3
   0 −5
   2v=2*
   1
   3
   =
   2 ∗ 1
   2 ∗ 3
   =
   2
   6
   3A=3 ∗
   −2 4
   3 1
   = 3 ∗ −2 3 ∗ 4
   3 ∗ 3 3 ∗ 1
   =
   −6 12
   9 3
   

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6. 6
   簡単なベクトル/行列演算の例 ～続き～
   • 行列とベクトルを掛ける例（量子状態にゲートを通した後の状態を計算していることに等しい）
   • 行列同士の掛け算
   Av=
   −2 4
   3 1
   1
   3
   =
   −2 ∗ 1 + 4 ∗ 3
   3 ∗ 1 + 1 ∗ 3
   =
   −2 ∗ 1 + 4 ∗ 3
   3 ∗ 1 + 1 ∗ 3
   =
   −2 + 12
   3 + 3
   =
   10
   6
   AB=
   −2 4
   3 1
   −1 1
   3 6
   =
   −2 ∗ −1 + 4 ∗ 3 −2 ∗ 1 + 4 ∗ 6
   3 ∗ −1 + 1 ∗ 3 3 ∗ 1 + 1 ∗ 6
   =
   2 + 12 −2 + 24
   −3 + 3 3 + 6
   =
   14 22
   0 9
   BA=
   −1 1
   3 6
   −2 4
   3 1
   =
   −1 ∗ −2 + 1 ∗ 3 −1 ∗ 4 + 1 ∗ 1
   3 ∗ −2 + 6 ∗ 4 3 ∗ 4 + 6 ∗ 1
   =
   2 + 3 −4 + 1
   −6 + 24 12 + 6
   =
   5 −3
   18 18
   *行列の掛け算は順番を変えても同じになるとは限らない！
   → どのゲートをどの順番で通すかを慎重に考えることが必要になる！
   

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7. 7
   量子計算に使う量子状態のベクトル表現
   • 古典ビットと同様に、1つの量子ビットも、2つの値を持ちえる
   • これは、古典ビットにおける0と1に相当
   • 通例として、|0>と|1>のように表現する
   • この表現方法は、ブラケット表記と呼ばれ、上記はケットベクトルと呼ぶ
   • 便宜的に、|0>と|1>は次のようなベクトルとして表現すると、演算が簡単になる
   • 後続のハンズオンでは、以下を使って計算を行う
   • 2量子ビットの場合は4つ（00、01、10、11）を使って表現できる
   |0>=
   1
   0
   |1>=
   0
   1
   |00>=
   1
   0
   0
   0
   |01>=
   0
   1
   0
   0
   |10>=
   0
   0
   1
   0
   |11>=
   0
   0
   0
   1
   

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8. 8
   量子計算に使う量子状態のベクトル表現の例
   |+>= 1
   2
   |0> + 1
   2
   |1>= 1
   2
   1
   0
   + 1
   2
   0
   1
   =
   1
   2
   1
   2
   |->= 1
   2
   |0> − 1
   2
   |1>= 1
   2
   1
   0
   − 1
   2
   0
   1
   =
   1
   2
   − 1
   2
   

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9. 9
   量子計算に使う量子状態のベクトル表現の例
   |>= 1
   2
   |00> + 1
   2
   |01> + 1
   2
   |10>+ 1
   2
   |11>
   = 1
   2
   1
   0
   0
   0
   + 1
   2
   0
   1
   0
   0
   + 1
   2
   0
   0
   1
   0
   + 1
   2
   0
   0
   0
   1
   =
   Τ
   1
   2
   Τ
   1
   2
   Τ
   1
   2
   Τ
   1
   2
   

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10. 10
    代表的な量子ゲート一覧
    10
    行列表現
    Qiskitでの
    コード
    Qiskitでの
    回路表示
    Xゲート
    
    x
    Yゲート 0 −
    0
    y
    Zゲート
    −
    z
    Hゲート
    
    
    
    −
    h
    CNOTゲート
    
    
    
    
    
    
    
    
    cx
    Sゲート 1 0
    0
    s
    Tゲート
    1 0
    0
    
    2
    t
    |0>と|1>の状態を入れ替える
    |1>の状態の確率振幅の
    符号を逆にする
    |0>もしくは|1>の状態から
    重ね合わせ状態を作りだす
    上の状態が|1>なら下の状態
    にXゲートと同じ操作をする。
    それ以外は何もしない
    

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11. 11
    • |0>の状態にXゲート（|0>と|1>を入れ替える）に通した場合
    • |0>の状態をHゲート（重ね合わせ状態を作る）に通した場合
    ゲートの計算例
    X ۧ
    |0 =
    0 1
    1 0
    1
    0
    =
    0 ∗ 1 + 1 ∗ 0
    1 ∗ 1 + 0 ∗ 0
    =
    0
    1
    = ۧ
    |1
    H ۧ
    |0 = 1
    2
    1 1
    1 −1
    1
    0
    = 1
    2
    1 ∗ 1 + 1 ∗ 0
    1 ∗ 1 − 1 ∗ 0
    = 1
    2
    1
    1
    = 1
    2
    1
    0
    + 1
    2
    0
    1
    = 1
    2
    ۧ
    |0 + 1
    2
    ۧ
    |1 = ۧ
    |+
    

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