Linear Algebra

Talk about two problems in mathematics education

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1. ´ Algebra Lineal Exposici´ on Maestr´ ıa en Ense˜ nanza de la Matem´ atica Carlos Torres ctorresn@pucp.pe 3 de diciembre de 2014 Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 1 / 14
2. Problema 1 Contenidos 1 Problema 1 Enunciado Soluci´ on Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 2 / 14
3. Problema 1 Contenidos 1 Problema 1 Enunciado Soluci´ on 2 Problema 2 Enunciado Soluci´ on Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 2 / 14
4. Problema 1 Enunciado Enunciado del problema Defina una transformaci´ on lineal T : R2 → R2 que tenga como n´ ucleo y como imagen la recta y = 2x Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 3 / 14
5. Problema 1 Soluci´ on Soluci´ on del problema I Consideramos la transformaci´ on lineal T(x; y) = (ax + by; cx + dy) (1)
6. Problema 1 Soluci´ on Soluci´ on del problema II Ahora como y = 2x, se determina a = −2b y c = −2d, as´ ı reemplazando en (1) se obtiene T(x; y) = (−2bx + by; −2dx + dy) (4) Dado que la imagen debe ser la recta y = 2x, se tiene Im(T) = w ∈ R2 tales que w = T(x; y) ∈ R2 Consideramos w = (x , y ) ∈ Im(T) y por (4) w = (x , y ) = (−2bx + by; −2dx + dy) ⇒ −2dx + dy = −4bx + 2by ⇒ (4b − 2d)x = (2b − d)y 2b = d (5) Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 5 / 14
7. Problema 1 Soluci´ on Soluci´ on del problema III Finalmente, reemplazando (5) en (4) se define la transformaci´ on lineal T(x; y) = (−2bx + by; −4bx + 2by)
8. Problema 2 Contenidos 1 Problema 1 Enunciado Soluci´ on Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 7 / 14
9. Problema 2 Contenidos 1 Problema 1 Enunciado Soluci´ on 2 Problema 2 Enunciado Soluci´ on Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 7 / 14
10. Problema 2 Enunciado Enunciado del problema Sea A = 0 1 −1 0 , la matriz de un operador T : R2 → R2 en la base can´ onica. Probar que si A = a11 a12 a21 a22 es la matriz de T relativa a una base cualquiera de R2, entonces a12 = 0 y a21 = 0. Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 8 / 14
11. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema I Como A = 0 1 −1 0 es la matriz relativa a una base can´ onica de R2, entonces se obtiene T(x, y) = A x y = 0 1 −1 0 x y ⇒ T(x, y) = y −x As´ ı T : R2 → R2 T(x, y) = (y, −x) (6) Cosideramos β = {v1 = (a, b), v2 = (c, d)} una base cualquiera de R2, as´ ı por la independencia lineal se tiene a c b d = 0 ⇒ ad = bc. (7) Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 9 / 14
12. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema II Por otro lado, A = a11 a12 a21 a22 (8) la matriz relativa a la base β de R2, para hallar los elementos aij , i, j = 1, 2 se debe tener en cuenta que: 1 Los t´ erminos de la primera columna de la matriz (8) se obtienen a partir de T(v1) = α1v1 + α2v2, donde a11 = α1 y a21 = α2 son las coordenadas de la matriz columna.
13. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema III La igualdad se cumple si b = α1a + α2c −a = α1b + α2d Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: α1 = bd + ac ad − bc , α2 = a2 + b2 bc − ad Por lo tanto: a11 = bd + ac ad − bc , a21 = a2 + b2 bc − ad (9) Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 11 / 14
14. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema IV 2 Los t´ erminos de la segunda columna de la matriz (8) se obtienen a partir de T(v2) = β1v1 + β2v2, donde a12 = β1 y a22 = β2. T(v2) = β1v1 + β2v2 ⇒ T(c, d) = (d, −c) = β1(a, b) + β2(c, d) = (β1a + β2c, β1b + β2d) La igualdad se cumple si d = β1a + β2c −c = β1b + β2d Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: β1 = c2 + d2 ad − bc , β2 = ac + bd bc − ad Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 12 / 14
15. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema V Por lo tanto: a12 = c2 + d2 ad − bc , a22 = ac + bd bc − ad (10) De esta manera, por (9) y (10) en (8), se obtiene      bd + ac ad − bc c2 + d2 ad − bc a2 + b2 bc − ad ac + bd bc − ad      la matriz relativa a la base β = {v1 = (a, b), v2 = (c, d)} una base cualquiera de R2. Carlos Torres ´ Algebra Lineal 3 de diciembre de 2014 13 / 14
16. Problema 2 Soluci´ on Soluci´ on del problema VI Finalmente, considerando lo mencionado en (7) 1 ad = cb. 2 v1 y v2 son vectores no nulos, por tanto a2 + b2 > 0 y c2 + d2 > 0. permite asegurar que a12 = c2 + d2 ad − bc = 0 a21 = a2 + b2 bc − ad = 0