mediante una estrategia que integra nociones del análisis didáctico Carlos Torres Ninahuanca Asesor: Dr. Uldarico Malaspina Jurado 30 de junio de 2016 Maestría en Enseñanza de la Matemática
Objeto matemático Función cuadrática 3 Marco teórico Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología 4 Implementación del taller Experiencia didáctica 5 Casos de estudio Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa 6 Conclusiones y consideraciones finales Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico 7 Sugerencias y recomendaciones
arte de formular problemas es más valioso que resolver problemas. George Cantor (1841 - 1918), frase escrita en su tesis doctoral. Creatividad y formulación de problemas La formulación de un problema es a menudo más importante que su solución, que puede ser simplemente una cuestión de habilidades ma- temáticas o experienciales. Para plantear nuevas preguntas, nuevas posibilidades y considerar viejas preguntas desde un nuevo ángulo, se requiere imaginación creativa y ello marca el avance real en la ciencia. Einstein e Infeld (1938)
arte de formular problemas es más valioso que resolver problemas. George Cantor (1841 - 1918), frase escrita en su tesis doctoral. Creatividad y formulación de problemas La formulación de un problema es a menudo más importante que su solución, que puede ser simplemente una cuestión de habilidades ma- temáticas o experienciales. Para plantear nuevas preguntas, nuevas posibilidades y considerar viejas preguntas desde un nuevo ángulo, se requiere imaginación creativa y ello marca el avance real en la ciencia. Einstein e Infeld (1938)
problemas son el corazón de la matemática y espero que como profesores, en clases, en seminarios, en libros y artículos que escribimos lo enfaticemos más y más, de tal forma que instruya- mos a nuestros estudiantes a ser mejores creadores y resolutores de problemas que nosotros. Paul Halmos (1980)
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer, Ellerton, & Cai, 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina, Mallart, & Font, 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Antecedentes 1 Creación de problemas matemáticos como campo de estudio Estudios sobre estrategias particulares para la creación de problemas (Koichu & Kontorovich, 2013). Creación de problemas como un instrumento de investigación e instrucción (Singer et al., 2013). 2 Creación de problemas y competencia didáctica Where do good problems come from? (Kilpatrick, 1987). The subject-didactical competence y the competence of reflection (Tichá & Hošpesová, 2013). Development of teachers’ mathematical and didactic competencies by means of problem posing. (Malaspina et al., 2015) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 5/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Pregunta y objetivos de investigación Pregunta de investigación ¿Cómo crear problemas sobre funciones cuadráticas mediante una es- trategia que integre nociones del análisis didáctico en profesores en servicio? Objetivo general de investigación Integrar nociones del análisis didáctico a una estrategia de creación de problemas, para la invención de problemas didácticamente buenos, por profesores en servicio, en el entorno de las funciones cuadráticas. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 7/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Pregunta y objetivos de investigación Pregunta de investigación ¿Cómo crear problemas sobre funciones cuadráticas mediante una es- trategia que integre nociones del análisis didáctico en profesores en servicio? Objetivo general de investigación Integrar nociones del análisis didáctico a una estrategia de creación de problemas, para la invención de problemas didácticamente buenos, por profesores en servicio, en el entorno de las funciones cuadráticas. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 7/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Pregunta y objetivos de investigación Objetivos específicos 1 Identificar los conocimientos matemáticos de los profesores sobre la función cuadrática y los objetos matemáticos asociados a ella. 2 Analizar e identificar las prácticas matemáticas, configuraciones epistémicas y cognitivas asociadas a la resolución y creación de problemas sobre funciones cuadráticas por variación de un problema dado. 3 Explicitar la vinculación de la calidad de los problemas creados con los criterios de idoneidad didáctica. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 8/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Pregunta y objetivos de investigación Objetivos específicos 1 Identificar los conocimientos matemáticos de los profesores sobre la función cuadrática y los objetos matemáticos asociados a ella. 2 Analizar e identificar las prácticas matemáticas, configuraciones epistémicas y cognitivas asociadas a la resolución y creación de problemas sobre funciones cuadráticas por variación de un problema dado. 3 Explicitar la vinculación de la calidad de los problemas creados con los criterios de idoneidad didáctica. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 8/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Antecedentes Pregunta y objetivos de investigación Pregunta y objetivos de investigación Objetivos específicos 1 Identificar los conocimientos matemáticos de los profesores sobre la función cuadrática y los objetos matemáticos asociados a ella. 2 Analizar e identificar las prácticas matemáticas, configuraciones epistémicas y cognitivas asociadas a la resolución y creación de problemas sobre funciones cuadráticas por variación de un problema dado. 3 Explicitar la vinculación de la calidad de los problemas creados con los criterios de idoneidad didáctica. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 8/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Función cuadrática Función cuadrática El objeto matemático función es el resultado que se ha producido a lo largo de mucho tiempo, y diversas culturas han influenciado en su consolidación. Reflexiones como consecuencia del desarrollo histórico de la noción de función De las magnitudes a la variable. Regla de asignación y dominio de la función. Diferentes representaciones de las funciones. Visión unitaria y sistémica de las funciones (Font, Vanegas, Ferreres, Carvajal, & Adán, 2012). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 9/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Función cuadrática Función cuadrática El objeto matemático función es el resultado que se ha producido a lo largo de mucho tiempo, y diversas culturas han influenciado en su consolidación. Reflexiones como consecuencia del desarrollo histórico de la noción de función De las magnitudes a la variable. Regla de asignación y dominio de la función. Diferentes representaciones de las funciones. Visión unitaria y sistémica de las funciones (Font et al., 2012). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 9/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Función cuadrática Función cuadrática El objeto matemático función es el resultado que se ha producido a lo largo de mucho tiempo, y diversas culturas han influenciado en su consolidación. Reflexiones como consecuencia del desarrollo histórico de la noción de función De las magnitudes a la variable. Regla de asignación y dominio de la función. Diferentes representaciones de las funciones. Visión unitaria y sistémica de las funciones (Font et al., 2012). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 9/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Función cuadrática Función cuadrática El objeto matemático función es el resultado que se ha producido a lo largo de mucho tiempo, y diversas culturas han influenciado en su consolidación. Reflexiones como consecuencia del desarrollo histórico de la noción de función De las magnitudes a la variable. Regla de asignación y dominio de la función. Diferentes representaciones de las funciones. Visión unitaria y sistémica de las funciones (Font et al., 2012). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 9/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Función cuadrática Función cuadrática El objeto matemático función es el resultado que se ha producido a lo largo de mucho tiempo, y diversas culturas han influenciado en su consolidación. Reflexiones como consecuencia del desarrollo histórico de la noción de función De las magnitudes a la variable. Regla de asignación y dominio de la función. Diferentes representaciones de las funciones. Visión unitaria y sistémica de las funciones (Font et al., 2012). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 9/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Enfoque Ontosemiótico (EOS) Niveles de análisis didáctico Primer nivel de análisis: tipos de problemas y prácticas matemáticas. Segundo nivel de análisis: Elaboración de configuración de objetos matemáticos. Pretendemos... Analizar los objetos emergentes e intervinientes como consecuencia del proceso de creación de problemas y la reflexión sobre la práctica matemática de creación, utilizando las herramientas configuración epistémica (CE) y configuración cognitiva (CC). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 12/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Enfoque Ontosemiótico (EOS) Niveles de análisis didáctico Primer nivel de análisis: tipos de problemas y prácticas matemáticas. Segundo nivel de análisis: Elaboración de configuración de objetos matemáticos. Pretendemos... Analizar los objetos emergentes e intervinientes como consecuencia del proceso de creación de problemas y la reflexión sobre la práctica matemática de creación, utilizando las herramientas configuración epistémica (CE) y configuración cognitiva (CC). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 12/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Enfoque Ontosemiótico (EOS) Niveles de análisis didáctico Primer nivel de análisis: tipos de problemas y prácticas matemáticas. Segundo nivel de análisis: Elaboración de configuración de objetos matemáticos. Pretendemos... Analizar los objetos emergentes e intervinientes como consecuencia del proceso de creación de problemas y la reflexión sobre la práctica matemática de creación, utilizando las herramientas configuración epistémica (CE) y configuración cognitiva (CC). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 12/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Enfoque Ontosemiótico (EOS) Niveles de análisis didáctico Primer nivel de análisis: tipos de problemas y prácticas matemáticas. Segundo nivel de análisis: Elaboración de configuración de objetos matemáticos. Pretendemos... Analizar los objetos emergentes e intervinientes como consecuencia del proceso de creación de problemas y la reflexión sobre la práctica matemática de creación, utilizando las herramientas configuración epistémica (CE) y configuración cognitiva (CC). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 12/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Acercamiento a la idoneidad didáctica de un problema Considerando el aporte de Malaspina (2011) adaptamos indicadores de un problema didácticamente bueno (PDB) y los criterios de idoneidad didáctica del EOS. Algunos indicadores La dificultad no es demasiado grande y se percibe que la solución es alcanzable. (Idoneidad cognitiva) Favorece intuir un camino para obtener la solución o conjeturar una solución. (Idoneidad interaccional, afectiva y cognitiva) Se percibe que es interesante o útil resolver el problema. (Idoneidad afectiva y ecológica) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 14/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Acercamiento a la idoneidad didáctica de un problema Considerando el aporte de Malaspina (2011) adaptamos indicadores de un problema didácticamente bueno (PDB) y los criterios de idoneidad didáctica del EOS. Algunos indicadores La dificultad no es demasiado grande y se percibe que la solución es alcanzable. (Idoneidad cognitiva) Favorece intuir un camino para obtener la solución o conjeturar una solución. (Idoneidad interaccional, afectiva y cognitiva) Se percibe que es interesante o útil resolver el problema. (Idoneidad afectiva y ecológica) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 14/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Acercamiento a la idoneidad didáctica de un problema Considerando el aporte de Malaspina (2011) adaptamos indicadores de un problema didácticamente bueno (PDB) y los criterios de idoneidad didáctica del EOS. Algunos indicadores La dificultad no es demasiado grande y se percibe que la solución es alcanzable. (Idoneidad cognitiva) Favorece intuir un camino para obtener la solución o conjeturar una solución. (Idoneidad interaccional, afectiva y cognitiva) Se percibe que es interesante o útil resolver el problema. (Idoneidad afectiva y ecológica) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 14/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Acercamiento a la idoneidad didáctica de un problema Considerando el aporte de Malaspina (2011) adaptamos indicadores de un problema didácticamente bueno (PDB) y los criterios de idoneidad didáctica del EOS. Algunos indicadores La dificultad no es demasiado grande y se percibe que la solución es alcanzable. (Idoneidad cognitiva) Favorece intuir un camino para obtener la solución o conjeturar una solución. (Idoneidad interaccional, afectiva y cognitiva) Se percibe que es interesante o útil resolver el problema. (Idoneidad afectiva y ecológica) Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 14/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Creación de problemas Concepción sobre creación de problemas La creación de un problema matemático se puede originar por variación de un problema dado o por elaboración de un problema, ya sea ante una situación concreta o por un pedido específico; este último, de carácter matemático o didáctico (Malaspina, 2015). Elementos fundamentales de un problema matemático: Información, Requerimiento, Contexto, Entorno matemático Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 15/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Creación de problemas Concepción sobre creación de problemas La creación de un problema matemático se puede originar por variación de un problema dado o por elaboración de un problema, ya sea ante una situación concreta o por un pedido específico; este último, de carácter matemático o didáctico (Malaspina, 2015). Elementos fundamentales de un problema matemático: Información, Requerimiento, Contexto, Entorno matemático Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 15/46
extra mate- mático), entorno matemático Estra- tegias Por variación (cualitativas y/o cuantitativas), estrate- gia EPP. Por elaboración Pasos Trabajo individual, traba- jo grupal, socialización
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Método y metodología Metodología cualitativa de estudio de casos del tipo evaluativo y flexible. Estudio cualitativo Adaptación de la taxonomía MATH (Smith et al., 1996). Análisis semiótico u ontosemiótico (Godino, 2002). Análisis del contenido (McKnight, Magid, Murphy, & McKnight, 2000). Triangulación de investigadores. Caso: 2 profesores en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 18/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Método y metodología Metodología cualitativa de estudio de casos del tipo evaluativo y flexible. Estudio cualitativo Adaptación de la taxonomía MATH (Smith et al., 1996). Análisis semiótico u ontosemiótico (Godino, 2002). Análisis del contenido (McKnight et al., 2000). Triangulación de investigadores. Caso: 2 profesores en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 18/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Método y metodología Metodología cualitativa de estudio de casos del tipo evaluativo y flexible. Estudio cualitativo Adaptación de la taxonomía MATH (Smith et al., 1996). Análisis semiótico u ontosemiótico (Godino, 2002). Análisis del contenido (McKnight et al., 2000). Triangulación de investigadores. Caso: 2 profesores en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 18/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Método y metodología Metodología cualitativa de estudio de casos del tipo evaluativo y flexible. Estudio cualitativo Adaptación de la taxonomía MATH (Smith et al., 1996). Análisis semiótico u ontosemiótico (Godino, 2002). Análisis del contenido (McKnight et al., 2000). Triangulación de investigadores. Caso: 2 profesores en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 18/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Enfoque Ontosemiótico (EOS) Creación de problemas Método y metodología Método y metodología Metodología cualitativa de estudio de casos del tipo evaluativo y flexible. Estudio cualitativo Adaptación de la taxonomía MATH (Smith et al., 1996). Análisis semiótico u ontosemiótico (Godino, 2002). Análisis del contenido (McKnight et al., 2000). Triangulación de investigadores. Caso: 2 profesores en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 18/46
Aplicación Análisis Elabo- ración informe (*) Malaspina, U., Rubio, N. & Torres, C. (En prensa). A proposal to stimulate in-service teachers’ competence in didactic analysis by problem posing. Artículo aceptado para su presentación en el 13th Internacional Congress on Mathematical Education (ICME 13). Hamburg, 24-31, July 2016.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
del nivel secundario. Estrategia ERPP: Episodio, reflexión didáctica y elaboración de configuraciones, problema pre, problema pos. Estrategia por variación de un problema dado. Marco de reflexión: Episodio de clase en el contexto de las funciones afines y cuadráticas. Objetivo: Creación de problemas pre con énfasis didáctico. Registro de información: Cuestionarios y fichas de trabajo.
de la configuración de objetos Segunda: Reflexión didáctica sobre la práctica matemáti- ca y elaboración de las CC Tercera: Aplicación de la estrategia ERPP Cuarta: Valoración del pro- blema creado (Criterios PDB)
funciones, propuso el siguiente problema a sus alumnos del tercer grado de educación secundaria: Encuentra un par de números cuya suma sea 43 y su producto sea el máximo posible. Resuelve el problema y explica tu procedimiento en forma detallada. Luego de unos minutos, algunos alumnos comentaron: Pedro: Los números son 21 y 22. Isabel: El producto máximo no se puede saber. Santiago: ¿Para qué me sirve resolver este problema?
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Sujetos de investigación Profesores en servicio 1 P11: Problema creado por modificación cuantitativa. 2 P15: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 25/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Figura 3: Esquema de comparación de configuraciones para el análisis de los datos según la estrategia ERPP Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 26/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Caso: Profesor P11 Figura 4: Problema creado por el profesor P11 Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 27/46
didáctica Determina las parejas de números cuya suma sea, respectivamente, 1,2,3,...,10; pero de tal manera que el producto de las componentes de dichas parejas sea el máximo posible. (a) A partir de lo observado, ¿puedes indicar cuáles son las características que, en cada caso, debe cumplir la pareja de números? (b) Si tuvieras que formular cada producto como una función, exprésala.
¿El lenguaje usado en el Pp es más sencillo que el lenguaje del PE? (b) ¿La información que se presenta es más fácil de entender que la información dada en el PE? (c) ¿Lo que se requiere en el Pp ayuda a entender lo que se requiere en el PE? (d) ¿Los conceptos involucrados corresponden al grado de estudios considerado? (e) ¿Los conceptos involucrados son los mismos o previos a los conceptos considerados en el PE? (f) ¿Los procedimientos para resolver el Pp son más sencillos que los procedimientos considerados en el PE? (g) ¿Los procedimientos involucrados en el Pp corresponden al grado de estudios considerado? (h) ¿Las proposiciones presentes en la solución del Pp son más fáciles de explicitar que las proposiciones al resolver el PE? (i) ¿Los argumentos usados en el Pp son más intuitivos, menos exigentes (formales, elaborados) que los argumentos del PE?
didáctica Determina las parejas de números naturales cuyas sumas sean 5 y 6, respectivamente, de tal manera que el producto de las componentes de las parejas sea el máximo posible. Elabora una tabla para cada caso. (a) Para el caso cuya suma es 6, ¿cuáles son las componentes de la pareja de números cuyo producto es máximo? (b) Para el caso cuya suma es 5, ¿existe una sola pareja de números cuyo producto es máximo? Explica tu respuesta. (c) Si consideramos que existe una única pareja de números no naturales cuya suma es 5 y cuyo producto es máximo y no es un número natural, ¿cuáles son tales números? (d) Elabora una estrategia para la obtención del producto máximo, en el caso que la suma de las componentes de las parejas sea un número par. ¿Esta estrategia es diferente en el caso que la suma sea un número impar? Explica tu respuesta. (e) Formula el producto de dos números cuya suma es 5 como una función f de una variable real x.
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El profesor P11 muestra un mejor manejo de habilidades matemáticas según la taxonomía MATH. El problema pre creado se caracteriza por ser intramatemático. Se observa que el profesor P11 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). El profesor P11 posee una competencia de análisis didáctico en proceso (comparación CEPe y CEPp). El problema creado tiene un acercamiento mayor a las idoneidades cognitivas, interaccional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 31/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Caso: Profesora P15 Figura 5: Problema creado por la profesora P15 Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 32/46
didáctica En un centro de estudios se realizó un concurso muy particular. Se formaron varias parejas, donde cada una de ellas recolectó 20 banderines en un juego de carreras con la condición que la pareja ganadora sería aquella en que el producto de la cantidad de los banderines recolectados por cada integrante sea el máximo. El resultado fue que hubo una sola pareja ganadora. (a) ¿Cuántos banderines recolectó cada integrante de la pareja ganadora? (b) ¿Cuál es el producto máximo ganador y cómo puedes determinarlo? (c) ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
didáctica En un concurso de playa, en un tiempo determinado, se recolectan banderines en parejas. Cada pareja muestra al juez la cantidad de banderines que recolectó cada integrante. El juez multiplicará los números correspondientes a esas cantidades y declarará ganadora a la pareja que le corresponda el producto más alto de las multiplicaciones realizadas. (a) Si la pareja ganadora estuvo entre las parejas que recolectaron 20 banderines, ¿cuál es el producto máximo ganador y cómo puedes comprobarlo? Explica tu respuesta. (b) Otro grupo, en un concurso similar, en lugar de banderines recolectó kilogramos de arena. La pareja ganadora recolectó 21 kilogramos de arena. ¿Cuál es el producto máximo ganador y cómo puedes comprobarlo? Explica tu respuesta
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El problema pre creado se caracteriza por ser extramatemático y fue variado tanto en la parte cuantitativa como cualitativa. Se observa que la profesora P15 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). La profesora P15 posee un buen manejo de la competencia de análisis didáctico, pero no muestra una buena competencia matemática (comparación CEPe y CEPp, evaluación diagnóstica - Taxonomía MATH). El problema creado tiene poco acercamiento a las idoneidades cognitivas, interaccional, mediacional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). El problema tiene escasas características de un PDB. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 35/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El problema pre creado se caracteriza por ser extramatemático y fue variado tanto en la parte cuantitativa como cualitativa. Se observa que la profesora P15 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). La profesora P15 posee un buen manejo de la competencia de análisis didáctico, pero no muestra una buena competencia matemática (comparación CEPe y CEPp, evaluación diagnóstica - Taxonomía MATH). El problema creado tiene poco acercamiento a las idoneidades cognitivas, interaccional, mediacional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). El problema tiene escasas características de un PDB. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 35/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El problema pre creado se caracteriza por ser extramatemático y fue variado tanto en la parte cuantitativa como cualitativa. Se observa que la profesora P15 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). La profesora P15 posee un buen manejo de la competencia de análisis didáctico, pero no muestra una buena competencia matemática (comparación CEPe y CEPp, evaluación diagnóstica - Taxonomía MATH). El problema creado tiene poco acercamiento a las idoneidades cognitivas, interaccional, mediacional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). El problema tiene escasas características de un PDB. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 35/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El problema pre creado se caracteriza por ser extramatemático y fue variado tanto en la parte cuantitativa como cualitativa. Se observa que la profesora P15 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). La profesora P15 posee un buen manejo de la competencia de análisis didáctico, pero no muestra una buena competencia matemática (comparación CEPe y CEPp, evaluación diagnóstica - Taxonomía MATH). El problema creado tiene poco acercamiento a las idoneidades cognitivas, interaccional, mediacional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). El problema tiene escasas características de un PDB. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 35/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Planteamiento del caso Análisis de los problemas creados y su conexión con el EOS Caso 1: Problema creado por modificación cuantitativa Caso 2: Problema creado por modificación cuantitativa y cualitativa Comentarios El problema pre creado se caracteriza por ser extramatemático y fue variado tanto en la parte cuantitativa como cualitativa. Se observa que la profesora P15 ha desarrollado una reflexión didáctica utilizando la configuración de objetos mediante la reflexión de su práctica matemática (resolución y creación). La profesora P15 posee un buen manejo de la competencia de análisis didáctico, pero no muestra una buena competencia matemática (comparación CEPe y CEPp, evaluación diagnóstica - Taxonomía MATH). El problema creado tiene poco acercamiento a las idoneidades cognitivas, interaccional, mediacional, afectiva y epistémica (Triangulación de expertos). El problema tiene escasas características de un PDB. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 35/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al primer objetivo específico Identificar los conocimientos matemáticos de los profesores sobre la función cuadrática y los objetos matemáticos asociados a ella. Conclusiones El manejo del objeto función cuadrática en la mayoría de participantes del taller se muestra incipiente. La elaboración y la presentación de un episodio en el marco de la estrategia ERPP contribuyen a identificar conocimientos matemáticos y didácticos de los profesores de matemática en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 36/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al primer objetivo específico Identificar los conocimientos matemáticos de los profesores sobre la función cuadrática y los objetos matemáticos asociados a ella. Conclusiones El manejo del objeto función cuadrática en la mayoría de participantes del taller se muestra incipiente. La elaboración y la presentación de un episodio en el marco de la estrategia ERPP contribuyen a identificar conocimientos matemáticos y didácticos de los profesores de matemática en servicio. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 36/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al segundo objetivo específico Analizar e identificar las prácticas matemáticas, configuraciones epistémicas y cognitivas asociadas a la resolución y creación de problemas sobre funciones cuadráticas por variación de un problema dado. Conclusiones Un gran número de los participantes muestra una baja calidad de competencia matemática, especialmente en la práctica de resolución de problemas utilizando diversas estrategias. La dificultad en la resolución del PE está muy relacionada con elaboraciones incipientes de las configuraciones cognitivas y con reflexiones poco profundas o enriquecedoras sobre la práctica matemática tanto de solución como de creación. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 37/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al segundo objetivo específico Analizar e identificar las prácticas matemáticas, configuraciones epistémicas y cognitivas asociadas a la resolución y creación de problemas sobre funciones cuadráticas por variación de un problema dado. Conclusiones Un gran número de los participantes muestra una baja calidad de competencia matemática, especialmente en la práctica de resolución de problemas utilizando diversas estrategias. La dificultad en la resolución del PE está muy relacionada con elaboraciones incipientes de las configuraciones cognitivas y con reflexiones poco profundas o enriquecedoras sobre la práctica matemática tanto de solución como de creación. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 37/46
poseen una capacidad de crear problemas; sin embargo, la competencia de análisis didáctico se muestra en forma parcial en la mayoría de los participantes. Los buenos resolutores de problemas, estimulados con la estrategia ERPP, muestran mejores condiciones para ser buenos creadores de problemas, especialmente de problemas didácticamente buenos. La estrategia ERPP contribuye a que los profesores creen problemas no solamente en el marco de los conocimientos matemáticos, sino en una perspectiva didáctica que facilite la resolución de otros
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al tercer objetivo específico Explicitar la vinculación de la calidad de los problemas creados con los criterios de idoneidad didáctica. Conclusiones los profesores en servicio crearon problemas sobre funciones cuadráticas, con énfasis didáctico, utilizando una estrategia de creación. Creemos que hay evidencia (mostrada en el objetivo 2) para afirmar que la estrategia Episodio, Reflexión didáctica, Problema pre, Problema pos (ERPP) tiene bondades para la creación de problemas con énfasis didáctico, en particular problemas pre con carácter didáctico. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 39/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al tercer objetivo específico Explicitar la vinculación de la calidad de los problemas creados con los criterios de idoneidad didáctica. Conclusiones los profesores en servicio crearon problemas sobre funciones cuadráticas, con énfasis didáctico, utilizando una estrategia de creación. Creemos que hay evidencia (mostrada en el objetivo 2) para afirmar que la estrategia Episodio, Reflexión didáctica, Problema pre, Problema pos (ERPP) tiene bondades para la creación de problemas con énfasis didáctico, en particular problemas pre con carácter didáctico. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 39/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Primer objetivo específico Segundo objetivo específico Tercer objetivo específico Conclusiones respecto al tercer objetivo específico Conclusiones De los objetivos 2 y 3 tenemos indicios de que las nociones del análisis didáctico adaptados en esta investigación han permitido profundizar en el proceso de creación de problemas, especialmente en los objetos matemáticos y el análisis de las prácticas matemáticas para tomar decisiones de índole didáctica y crear problemas didácticamente buenos. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 40/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Sugerencias Realizar los ajustes necesarios a la propuesta de creación de problemas y estudiar otros aspectos relacionados con el proceso de creación, como el estudio de los procesos que emergen al crear problemas. Un aspecto poco estudiado se relaciona con la metacognición y la creación de problemas; creemos que la faceta de reflexión didáctica en la estrategia ERPP puede concatenar muy bien con posturas de investigación de este tipo. Aplicar la estrategia ERPP realizando los ajustes necesarios, con un nuevo grupo de profesores en formación y con la certeza de que se tenga etapas pre y pos de creación de problemas por variación, enfatizando en la trayectoria didáctica de socialización de experiencias para enriquecer el taller de creación de Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 41/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Sugerencias Realizar los ajustes necesarios a la propuesta de creación de problemas y estudiar otros aspectos relacionados con el proceso de creación, como el estudio de los procesos que emergen al crear problemas. Un aspecto poco estudiado se relaciona con la metacognición y la creación de problemas; creemos que la faceta de reflexión didáctica en la estrategia ERPP puede concatenar muy bien con posturas de investigación de este tipo. Aplicar la estrategia ERPP realizando los ajustes necesarios, con un nuevo grupo de profesores en formación y con la certeza de que se tenga etapas pre y pos de creación de problemas por variación, enfatizando en la trayectoria didáctica de socialización de experiencias para enriquecer el taller de creación de Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 41/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Sugerencias Realizar los ajustes necesarios a la propuesta de creación de problemas y estudiar otros aspectos relacionados con el proceso de creación, como el estudio de los procesos que emergen al crear problemas. Un aspecto poco estudiado se relaciona con la metacognición y la creación de problemas; creemos que la faceta de reflexión didáctica en la estrategia ERPP puede concatenar muy bien con posturas de investigación de este tipo. Aplicar la estrategia ERPP realizando los ajustes necesarios, con un nuevo grupo de profesores en formación y con la certeza de que se tenga etapas pre y pos de creación de problemas por variación, enfatizando en la trayectoria didáctica de socialización de experiencias para enriquecer el taller de creación de Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 41/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Recomendaciones El trabajo con profesores en servicio mediante talleres de creación de problemas deberá prever más sesiones de trabajo para que los participantes estén mejor familiarizados con las nociones del análisis didáctico propuestas por el EOS. La creación de problemas debe ser tomada en cuenta en el currículo de formación de profesores, en el que la estrategia ERPP puede tener un papel central. Es importante señalar que se debe incluir una fase de reflexión grupal en el proceso de creación de problemas. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 42/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Recomendaciones El trabajo con profesores en servicio mediante talleres de creación de problemas deberá prever más sesiones de trabajo para que los participantes estén mejor familiarizados con las nociones del análisis didáctico propuestas por el EOS. La creación de problemas debe ser tomada en cuenta en el currículo de formación de profesores, en el que la estrategia ERPP puede tener un papel central. Es importante señalar que se debe incluir una fase de reflexión grupal en el proceso de creación de problemas. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 42/46
del taller Casos de estudio Conclusiones y consideraciones finales Sugerencias y recomendaciones Referencias Sugerencias Recomendaciones Recomendaciones El trabajo con profesores en servicio mediante talleres de creación de problemas deberá prever más sesiones de trabajo para que los participantes estén mejor familiarizados con las nociones del análisis didáctico propuestas por el EOS. La creación de problemas debe ser tomada en cuenta en el currículo de formación de profesores, en el que la estrategia ERPP puede tener un papel central. Es importante señalar que se debe incluir una fase de reflexión grupal en el proceso de creación de problemas. Carlos Torres Ninahuanca Defensa de Tesis 42/46
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