回転座標系での古典場の方程式について。微分形式からの導出

タービンやファンなど回転する羽を持つ流体機械の動的特性を知るには、羽が止まってみえる座標系、つまり回転座標系での流体方程式を調べることが役に立つ。回転座標系の流体方程式の導出をしている文献はほとんどない。2021年に書かれた論文では、デカルト座標からの座標変換をすることで回転座標系の流体方程式を導出しているものがあったが、計算が煩雑であり、幾何学的な意味をつかみにくい。微分形式で運動方程式を与えれば、任意の座標系での表式を簡単に得ることができる。そこで、流体方程式を微分形式で表し、回転座標系の流体方程式の導出を行った。その結果、従来知られていたコリオリ力や遠心力以外にも慣性項があることを見つけた。

https://connpass.com/event/241136/

Transcript

1. 回転座標系での古典場の⽅程式
   について。微分形式からの導出
   2022年4⽉29⽇
   量⼦と古典の物理と幾何@オンライン
   DeepFlow株式会社 深川宏樹
   hiroki.fukagawa@deepflow.co.jp
   1
   

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2. 流体機械(シロッコファン)
   2
   https://www.youtube.com/watch?v=o1xFOIbhbzk
   Rotating-peg, r=10.5[m], 11.5[rad/s],Re=10^3.
   圧力 速度
   

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3. シミュレーション結果
   3
   Rotating-peg, r=10.5[m], 11.5[rad/s],Re=10^3.
   圧力 速度
   https://www.youtube.com/watch?v=o1xFOIbhbzk
   

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4. 回転系の流体の⽅程式
   4
   !"
   !#
   + " ⋅ ∇ " = −
   1
   *
   ∇+ + ,Δ" + (慣性力項)
   !
   時間項 移流項 圧⼒項 粘性項
   

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5. コリオリ⼒と遠⼼⼒
   5
   慣性⼒= −21×" − 1×(1×3)
   !
   −2#×%
   −#×(#×')
   %
   '
   コリオリ⼒
   遠⼼⼒
   回転座標系で中⼼に向かって移動
   

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6. コリオリ⼒と遠⼼⼒
   6
   !
   −#×(#×')
   %
   (
   −2#×% = 2#×(#×')
   慣性系で静⽌＝回転座標系で回転⽅向とは逆向きに移動
   %=−#×'
   コリオリ⼒
   遠⼼⼒
   

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7. 回転系の流体の⽅程式(通説)
   7
   !"
   !#
   + " ⋅ ∇ " = −
   1
   *
   ∇+ + ,Δ" − 21×" − 1×(1×3)
   コリオリ⼒ 遠⼼⼒
   ! −2#×%
   −#×(#×')
   %
   '
   

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8. 回転座標系のナビエ・ストークス
   回転座標系のナビエ・ストークス⽅程式の導出を⾒たことがない…
   8
   11 (2021) 100096
   Derivation of Navier–Stokes equation in rotational frame for engineering
   flow analysis
   Sananth H. Menon *, Ramachandra Rao A, Jojo Mathew, Jayaprakash J
   Solid Propulsion & Research Entity, Vikram Sarabhai Space Centre, ISRO, India
   A R T I C L E I N F O
   Keywords:
   Navier–Stokes equation
   Rotational frame
   Coriolis force
   A B S T R A C T
   One of the most frequently used governing equations underpinning engineering flow analysis is the renowned
   Navier–Stokes (NS) equation. Several references regarding the derivation of equation of motion in Cartesian
   coordinates are available in standard textbooks. However, derivation of above equation in rotational frame is
   missing in literatures. Flow analysis using NS equation in rotational frame is a prerequisite for analysis of various
   engineering problems like rotational flow dynamics in chemical reactors, lubricating oil behavior in various
   rotating machines, electrolyte flow behavior in electrochemical reactors with rotating electrodes, etc. Systematic
   understanding of each terms in the equation is essential to develop a suitable governing mathematical model of
   any physical flow problem with various level of complexities. This is possible only if same can be derived from
   fundamentals, detailing terms behind the equation. A systematic approach is made here to derive NS equation in
   rotational frame from basic Cartesian form.
   Contents lists available at ScienceDirect
   International Journal of Thermofluids
   journal homepage: www.sciencedirect.com/journal/international-journal-of-thermofluids
   One of the most frequently used
   governing equations underpinning
   engineering flow analysis is the
   renowned Navier–Stokes (NS)
   equation. Several references regarding
   the derivation of equation of motion in
   Cartesian coordinates are available in
   standard textbooks. However,
   derivation of above equation in
   rotational frame is missing in
   literatures.
   計算がたいへん。
   幾何的な意味を追うのが難しい。
   

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9. 回転系での移流項
   9
   !
   %
   (
   "! = " + 1×3
   !"′
   !#
   + "′ ⋅ ∇ "!
   =
   !"
   !#
   + " ⋅ ∇ "
   +21×" + 1× 1×3
   慣性系 回転系
   ↑ほんと？
   微分形式で導出してみた。
   

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10. 微分形式でのナビエ・ストークス⽅程式
    10
    !"!
    !#
    + ℒ"! −
    1
    2
    d7"! "! = −
    1
    *
    d+ + ,Δ"’
    !"′
    !#
    + "′ ⋅ ∇ "′ = −
    1
    *
    ∇+ + ,Δ"′
    

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11. 移流項
    11
    ℒ"! −
    1
    2
    d7"! "!
    = 7"!d +
    1
    2
    d7"! "!
    = 7"!d"! +
    1
    2
    dg "!, "!
    = −"!×rot "! +
    1
    2
    grad ?!#
    ℒ"! = 7"!d + d7"!
    リー微分
    

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12. 微分形式 外微分 d
    12
    grad f: d# =
    %#
    %&!
    d&! +
    %#
    %&"
    d&" +
    %#
    %
    d
    rot +: d -
    $
    #
    (/$
    0&$) = -
    %,$
    # %/$
    %&%
    d&% ∧ 0&$
    =
    %/'
    %&
    −
    %/(
    %4
    d& ∧ 04 + ⋯
    d"
    d#
    d" ∧ d#=−(d# ∧ dz)
    ⼀形式 + = ∑
    %
    /%
    d&%
    

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13. 微分形式 内部積 !7
    8
    とリー微分 ℒ7
    8
    13
    ベクトル場 7
    8 = 9%
    %
    %&%
    ⼀形式 + = ∑
    %
    /%
    d&%
    内部積 :)
    *
    + = ∑
    %+!
    # 9%
    /%
    :)
    *
    + ∧ ; = :)
    *
    + ∧ ; − :)
    *
    ; ∧ +
    リー微分 ℒ,
    -
    + = :)
    *
    d+ + d:)
    *
    +
    = −8×rot + + grad 8, +
    

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14. 微分形式 ホッジ作⽤素
    14
    ∗: A形式→(3−k)形式
    ∗ 1 = d& ∧ d4 ∧ dC
    ∗ dC = d& ∧ d4
    ∗ (d& ∧ d4) = 0C
    ∗ (d& ∧ d4 ∧ dC) = 1
    ∗∗= 1 d"
    d#
    d" ∧ d#
    d& =∗ (d" ∧ d#)
    

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15. 移流項
    15
    ℒ "$% −
    1
    2
    d7 "$% " + @
    = ℒ&
    "" −
    1
    2
    dg ", "
    +7&
    "d@ −
    1
    2
    dg @, @
    +ℒ&
    %" + ℒ&
    %@
    慣性⼒項
    "! = " + A
    慣性系 回転系
    D = E0C
    %
    (
    +
    ,
    +
    

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16. 移流項
    16
    + = "×$
    =∗ , ∧ -
    =∗ .d& ∧ /d/
    = ./!d0
    "! = " + A
    慣性系 回転系
    D = E dC
    %
    (
    +
    ,
    +
    d/
    /d0
    d/ ∧ /d0
    d& =∗ (d/ ∧ /d0)
    

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17. 慣性⼒
    17
    コリオリ⼒
    7&
    "d@ = 7&
    "d BC# dD
    = 27&
    " B dC ∧ CdD
    = 2(B?'CdD − B?(dC)
    = 27&
    "(∗ 1) (= 21×")
    Lwv
    ˜
    = (dÿw + ÿwd) v
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿwdv
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿw
    1
    2rv
    ◊
    dr · d◊ + r
    2
    dv
    ◊
    · d◊ + dv
    r
    ·
    = r
    2
    Êdv
    ◊ + 2rÊv
    ◊
    dr ≠ 2rÊv
    ◊
    dr ≠ r
    2
    Êdv
    ◊ + Ê
    A
    r
    2
    = Ê
    A
    ˆ(r
    2
    v
    ◊)
    ˆ◊
    d◊ + ˆv
    r
    ˆ◊
    dr + ˆv
    z
    ˆ◊
    dz
    B
    Lvw
    ˜ = Lv(Êr
    2
    d◊)
    2
    遠⼼⼒
    1
    2
    dg @, @
    =
    1
    2
    d B#C# = B#C dC
    =∗ (1 ∧ @)(= 1× 1×3 )
    D = E dz
    %
    (
    +
    ,
    +
    " = ?'dC + ?(CdD + ?)dz
    @ = BC#dD =∗ 1 ∧ CdC
    

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18. 慣性⼒
    18
    Lwv
    ˜
    = (dÿw + ÿwd) v
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿwdv
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿw
    1
    2rv
    ◊
    dr · d◊ + r
    2
    dv
    ◊
    · d◊ + dv
    r
    ·
    = r
    2
    Êdv
    ◊ + 2rÊv
    ◊
    dr ≠ 2rÊv
    ◊
    dr ≠ r
    2
    Êdv
    ◊ + Ê
    A
    r
    2
    = Ê
    A
    ˆ(r
    2
    v
    ◊)
    ˆ◊
    d◊ + ˆv
    r
    ˆ◊
    dr + ˆv
    z
    ˆ◊
    dz
    B
    Lvw
    ˜ = Lv(Êr
    2
    d◊)
    2
    ℒ&
    %" = 7&
    %d" + d7&
    %"
    = −@×rot " + grad @, "
    = B
    !?'
    !D
    dC +
    !?(
    !D
    CdD +
    !?)
    !D
    Hz
    Lvw
    ˜ = Lv(Êr
    2
    d◊)
    = (dÿv + ÿvd) (Êr
    2
    d◊)
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿvd(Êr
    2
    d◊)
    = d(r
    2
    Êv
    ◊) + ÿv2rÊdr · d◊
    = r
    2
    Êdv
    ◊ + 2rÊv
    ◊
    dr ≠ 2rÊv
    ◊
    dr + 2rÊv
    r
    d◊
    = r
    2
    Êdv
    ◊ + 2rÊv
    r
    d◊
    1
    2dg(v + w, v + w) =
    1
    2d(g(v, v) + 2r
    2
    v
    ◊
    Ê + r
    2
    Ê
    2
    )
    =
    1
    2dg(v, v) + r
    2
    Êdv
    ◊ + 2v
    ◊
    Êrdr + Ê
    2
    rdr
    ɺ
    (ˆt + Lu) u
    ˜
    ≠
    1
    dg(u, u)
    " = ?'dC + ?(CdD + ?)dz
    @ = BC#dD =∗ 1 ∧ CdC
    ℒ
    %&'
    −
    1
    2
    d&
    %&'
    ' + )
    = ℒ(
    %
    ' −
    1
    2
    dg ', '
    +&(
    %
    d) −
    1
    2
    dg ), )
    +ℒ(
    '
    ' + ℒ(
    '
    )
    慣性⼒項
    

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19. 回転座標系のナビエ・ストークス
    19
    !"
    !#
    + ℒ&
    " −
    1
    2
    d7&
    " "
    = −
    1
    *
    d+ + ,Δ"’ −7&
    " d@ +
    1
    2
    dg @, @ − ℒ&
    %"
    コリオリ⼒ 遠⼼⼒
    !
    

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20. まとめ
    微分形式を使うと任意の座標系の計算が簡単に直接できる。
    慣性⼒は、もう⼀つ項があった。
    20
    !"
    !#
    + ℒ&
    " −
    1
    2
    d7&
    " "
    = −
    1
    *
    d+ + ,Δ"’ −7&
    " d@ +
    1
    2
    dg @, @ − ℒ&
    %"
    コリオリ⼒ 遠⼼⼒
    "×rot ' − grad ", '
    −2.×' − .×(.×0)
    2 = .×0
    )
    *+!
    *,
    d. +
    *+"
    *,
    .d, +
    *+#
    *,
    0z
    

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