解析力学によると、質点の運動は作用汎関数の停留値を与える。これは微分形式の言葉で書き表せる。これを元に次の４つを行う。１．ホロノミック拘束を受ける系での微分形式による運動の定式化をする。２．この定式化を非ホロノミック拘束が微分形式で与えられた系に拡張する。３．リー微分による対称性と保存則の関係を議論する。４．連続体への拡張を示す。
⾮ホロノミック拘束を受ける連続体の微分形式による運動の定式化⽇本応⽤数理学会2021年度年会(2021/9/7~9)DeepFlow 株式会社 深川 宏樹[email protected]flow.co.jp1
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目次• 運動を曲線で記述• 変分原理:「運動が描く曲線は汎関数に停留値を与える」• 微分形式での表現• ネータの定理：対称性と保存則• 拘束系の運動• 連続体の運動2
運動を曲線で記述d"d#= %位置qt運動はを満たす。↓u3
運動を曲線で記述tqu!! 曲線 !! は拘束条件を満たす。∫!"d" − %d# =04
変分原理1 ࣍ݩͷ࣭ͷӡಈΛߟ͑Δɽ࣭ͷ࣌ࠁ tͷ࣭ͷঢ়ଶҐஔ q ͱ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽҐஔ q ͷ࣌ؒൃలɼdq/dt = u ΑΓ u Ͱఆ·Γɼ(q, u, t) ۭؒͰӡಈۂઢ C0C0(dq − udt) = 0 (1)Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0ϥάϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵʹఀཹΛ༩͑Δɽഔհม α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα͕ดۂઢΛͳͤɼϋϛϧτϯͷݪཧपճੵͰදͤΔɽ͕ಘΒΕΔ࣭ͷͱ͔ΒɼҰൠతʹ੍Ͱ͖ɼࣜ (tqu!"!!ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭ͷ࣌ࠁ tஔ q ͱ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽɼdq/dt = u ΑΓ u ͰؒͰӡಈۂઢ C0dq − udt) = 0 (1)τϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0ϥu) ͷ࣌ؒੵʹఀཹΛ༩ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0−Cα͕ดۂઢΛͳͤɼϋपճੵͰදͤΔɽdqdt=∂H∂p,dpdt= −͕ಘΒΕΔɽ࣭ͷ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃͱ͔Βɼ u ঢ়ଶྔ q ͷ੍Ұൠతʹ੍ޚ F(q, u) ͱؔͰͰ͖ɼࣜ (1) ࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽC(dq − F(q, u)dt) =曲線 !! の拘束条件の下作用汎関数が停留値を取る。C0Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ,άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵʹఀཹ͑Δɽഔհม α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 CͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα͕ดۂઢΛͳͤϛϧτϯͷݪཧपճੵͰදͤΔɽlimα→01α ∂SαL(q, u)dt = 0ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜Ξ := Ldt+p(dq −∫!"d" − %d# =05
未定乗数法未定乗数を #とし微分一形式を定め、となる十分条件を求める。͑Δɽഔհม α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα͕ดۂઢΛͳͤɼϋϛϧτϯͷݪཧपճੵͰදͤΔɽlimα→01α ∂SαL(q, u)dt = 0 (2)ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดࣜϨಉ3ଶɽഔհม α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0Γɼ∂Sα := C0 −Cα͕ดۂઢΛͳͤɼϋτϯͷݪཧपճੵͰදͤΔɽlimα→01α ∂SαL(q, u)dt = 0 (2)(1) ͱ (2) ΑΓɼ˜Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)ࣜ (4) ͰϨϋϛϧಉ༷ʹ͠3 ߆ଋϥάϥ͑Δɽഔհม α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα͕ดۂઢΛͳͤɼϋϛϧτϯͷݪཧपճੵͰදͤΔɽlimα→01α ∂SαL(q, u)dt = 0 (2)ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧτχΞϯΛC(dq − F(q, u)ࣜ (4) Ͱ ˜H(p, q, u) := pF(qϨϋϛϧτχΞϯ࠶ఆٛ͞ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (93 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, uଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ W0 = U(s, q, t) := sͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛο∫#!d% − 'd( =0subject to6
正準方程式の導出α→0 α ∂Sαα→0 α Sα∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨτχΞϯΛ˜H(p, q, u) := pu − L(q, u)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂p−∂ ˜Hdu ∧ dt˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂udu ∧ dt (∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧτχΞϯΛ˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂udu ∧ dt (5)ଶྔͱͳະఆ0=ࣜ (ͳΔwhere微分一形式の外微分を計算する。7
正準方程式͋ΔͰఆͦ͏ຊߘ͑Β࿈ଓͱ͢Εɼࣜ (3) ΑΓӡಈιXC0(d˜Ξ) = 0Λຬͨ͢ɽ∂ ˜H/∂u = 0 ͷղ u∗(p,ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛਂ थ1DeepFlow גࣜձࣾe-mail : [email protected]flow.co.jp֓ཁݪཧɼʮӡಈ͕ඳ͘ۂઢ൚ؔʹఀཹ༩͑Δʯͱ͍͏ܗͰӡಈ๏ଇΛ༩͑Δɽ࠷ɼ͜ΕΛඍܗࣜΛͬͯදݱ͢Δɽ͋ΔྔͷΛಉ࣌ࠁͷଞͷཧྔͷ͚ͩͰఆ߆ଋ݅ΛϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏͍ͷΛඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘɼඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͰඍܗࣜͰ༩͑ΒܥͷӡಈΛඍܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓͷ֦ுΛࣔ͢ [2, 3, 4]ɽਖ਼४ํఔࣜͷಋग़ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0ͷϕΫτϧΛXC0:=dC0dt=dpdt∂∂p+dqdt∂∂q+dudt∂∂u+ͱ͢Εɼࣜ (3) ΑΓӡಈιXC0(d˜Ξ) = 0Λຬͨ͢ɽ∂ ˜H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛH(p, q) := ˜H(p, q, u∗(p, q))ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘοΫ߆ଋͰඍܗࣜͰ༩͑ΒඍܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓ[2, 3, 4]ɽͷಋग़ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭ͷ࣌ࠁ tҐஔ q ͱ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽɼdq/dt = u ΑΓ u ͰۭؒͰӡಈۂઢ C0(dq − udt) = 0 (1)ιXC0(d˜Ξ) = 0Λຬͨ͢ɽ∂ ˜H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛH(p, q) := ˜H(p, q, u∗(p, q))ͱ͢ΕɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔdqdt=∂H∂p,dpdt= −∂H∂q͕ಘΒΕΔɽ࣭ͷ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾtp, q, u!"8ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧτχΞϯΛ˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂udu ∧ dt (5)3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔͱ͠ɼଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ W(q, t) ͱͳΔͱ0 = U(s, q, t) := s − W(q, t) (ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ݅ͱݺະఆ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ0= limα→01α ∂SαTUdt = limα→01α Sαd(TUdt) (ࣜ (11) Λߟྀ͢Εɼd(TUdt) = TdU ∧dͳΔɽ͜͜Ͱඍ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽβ := Tds + fdq + Qdt (ຊԠ༻ཧֶձ 2021 ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓຊԠ༻ཧֶձͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧτχΞϯΛ˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= 0whereflow.co.jpؔʹఀཹ༩͑Δɽ࠷͢Δɽ͋Δ͚ͩͰఆݺͼɼͦ͏ݺͿɽຊߘࣜͰ༩͑Β͠ [1]ɼ࿈ଓͷ࣌ࠁ t༩͑ΒΕΔɽΓ u ͰΛಘΔɽӡಈۂઢ C0ͷϕΫτϧΛXC0:=dC0dt=dpdt∂∂p+dqdt∂∂q+dudt∂∂u+∂∂t(6)ͱ͢Εɼࣜ (3) ΑΓӡಈιXC0(d˜Ξ) = 0 (7)Λຬͨ͢ɽ∂ ˜H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (4) ʹೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛH(p, q) := ˜H(p, q, u∗(p, q)) (8)ͱ͢ΕɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔࣜdqdt=∂H∂p,dpdt= −∂H∂q(9)正準⽅程式
Xφ :=dφdα=dpdα∂∂p+dqdα∂∂q+dtdα∂∂ʹର͠ɼ0 = LXφ(dΞ) = d(ιXφ(dΞ))ͱͳΕɼܥ࿈ଓͳରশੑΛ࣋ͭͱ運動は dΞ で与えられる。dΞ のベクトル+$に沿ったリー微分が0になるとき系は+$について対称性をもつ。ネータの定理：対称性と保存則ωʔλʔͷఆཧɼܥͷ࿈ଓతͳରশੑʹԠଇ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛओு͢ΔɽඍܗࣜΛ͑Λ؆୯ʹࣔͤΔɽҠಈ φ(α) : (p0, q0, t0) → (pͰ dΞ := d(pdq − Hdt) ͕ෆมͳͱ͖ɼܥ φͯ͠ରশੑΛ࣋ͭͱݴ͏ɽҠಈ͕ 1 ܘม܈Xφ :=dφdα=dpdα∂∂p+dqdα∂∂q+dtdα∂∂tʹର͠ɼ 9+$dΞ
対称性と保存則ʹର͠ɼ0 = LXφ(dΞ) = d(ιXφ(dΞͱͳΕɼܥ࿈ଓͳରশLXφd = (dιXφ+ ιXφd)d =͠ɼ͋Δؔ G(p, q) ͕͋)"#dΞ = −d+(", .)ʹର͠ɼ0 = LXφ(dΞ) = d(ιXφ(dΞ))ͱͳΕɼܥ࿈ଓͳରশੑΛ࣋LXφd = (dιXφ+ ιXφd)d = dιXφd͠ɼ͋Δؔ G(p, q) ͕͋ͬͯɼιXφ(dΞ) = −dGͱͳΕɼࣜ (19) ຬͨ͞ΕΔɽ͞͠ɼ͋Δؔ G(p, q) ͕͋ͬͯɼιXφ(dΞ) = −dG (20)ͱͳΕɼࣜ (19) ຬͨ͞ΕΔɽ͞Βʹ Xφ͕ɼXG := −∂G∂q∂∂p+∂G∂p∂∂q(21)Λ༻͍ͯɼXφ = XGͰ༩͑ΒΕΕɼࣜ (16) ͔ΒɼιXG(dΞ) = ιXG(dp ∧ dq) − XG(H)dt= −dG −∂G∂p∂H∂q−∂G∂q∂H∂pdt= −dG +dGdtdt (22)dGະ ఆ ๏ Λ ༻ιXC0(d(˜Ξ + TUdtιXC0(d˜Ξ + β ∧ dͱࣜ (28) ͱͷʹ߆ଋܥͷӡಈΛදͷىͱͳΔɽͳ͓dp ∧ dq −= dp +∂−∂ ˜H∂s−10ιXφ(dΞ) = −dGͱͳΕɼࣜ (19) ຬͨ͞ΕΔɽ͞XG := −∂G∂q∂∂p+∂G∂p∂∂qΛ༻͍ͯɼXφ = XGͰ༩͑ΒΕΕιXG(dΞ) = ιXG(dp ∧ dq) − XG= −dG −∂G∂p∂H∂q−where
最適制御理論 d"d#= %状態：qt#$#%= "($, &)ӡಈۂઢ C0dt) = 0 (1)ݪཧʹΑΔͱ, C0ϥ࣌ؒੵʹఀཹΛ༩ͯɼlimα→0 Cα = C0͕ดۂઢΛͳͤɼϋͰදͤΔɽ, u)dt = 0 (2)Ldt+p(dq −udt) ͱΑΓ࣍ΛಘΔɽ͕ಘΒΕΔɽ࣭ͷ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾΊΔͱ͔Βɼ u ঢ়ଶྔ q ͷ੍ޚͱΈͳͤΔҰൠతʹ੍ޚ F(q, u) ͱؔͰ༩͑Δ͜ͱͰ͖ɼࣜ (1) ࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽͰ͖Δ [5]ɽC(dq − F(q, u)dt) = 0 (1ࣜ (4) Ͱ ˜H(p, q, u) := pF(q, u) − L(q, u) ͱϨϋϛϧτχΞϯ࠶ఆٛ͞Εɼࣜ (5) Ҏ߱ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (9) ͕ಘΒΕΔ [2,11
拘束系の運動方程式状態：q,st状態 qとsは拘束条件を満たす。ΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ1α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧq, u) := pu − L(q, u) (4)pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼ∧ dq − d ˜H ∧ dt+∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt˜H3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔͱଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ W(q, t) ͱͳ0 = U(s, q, t) := s − W(q, t)ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ݅ͱະఆ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ0= limα→01α ∂SαTUdt = limα→01α Sαd(TUdࣜ (11) Λߟྀ͢Εɼd(TUdt) = TdUͳΔɽ͜͜Ͱඍ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽβ = TdU Ͱ͋Εɼf = TͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, uͷϕΫτϧ XC0ʹ͍ͭͯιXC0β =ະఆ๏Λ༻͍ΕɼιXC0(d(˜Ξ + TUdt)) = 0 ΛιXC0(d˜Ξ + β ∧ͱࣜ (14) ͱͷʹղͰ͖12
拘束系の運動方程式(4)(5)ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ݅ͱݺͿɽະఆ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ0= limα→01α ∂SαTUdt = limα→01α Sαd(TUdt) (12)ࣜ (11) Λߟྀ͢Εɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱͳΔɽ͜͜Ͱඍ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽβ := Tds + fdq + Qdt (13)21.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓຊԠ༻ཧֶձ͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽUdt = limα→01α Sαd(TUdt) (12)Εɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢ΔɽTds + fdq + Qdt (13)Ұൠࣾஂ๏ਓຊԠ༻ཧֶձβ = TdU Ͱ͋Εɼf = T ∂U∂qͱ Q = T ∂U∂ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢͷϕΫτϧ XC0ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽιXC0β = 0β = TdU Ͱ͋Εɼf = T ∂U∂qͱ Q = T ∂U∂tͱͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0ͷϕΫτϧ XC0ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽιXC0β = 0 (14)ະఆ๏Λ༻͍Εɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠β = TdU Ͱ͋Εɼf = T ∂U∂qͱ Q = T ∂U∂tͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ CͷϕΫτϧ XC0ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽιXC0β = 0 (1where& ", (, # = ( − * ", # = 0because of! ∧ d$13ͷϕΫτϧ XC0ʹ͍ͭͯɼιXC0β = 0ະఆ๏Λ༻͍ΕɼࣜιXC0(d(˜Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘιXC0(d˜Ξ + β ∧ dͱࣜ (14) ͱͷʹղͰ͖ΔͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰͷىͱͳΔɽͳ͓ɼd˜Ξ + βdp ∧ dq − (d ˜H − β) ∧∂ ˜HRef.
拘束系の運動方程式ιXC0(d(˜Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜιXC0(d˜Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)ͱࣜ (14) ͱͷʹղͰ͖Δɽ্ࣜ߆ଋܥͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞͷىͱͳΔɽͳ͓ɼd˜Ξ + β ∧ dt ɼdp ∧ dq − (d ˜H − β) ∧ dt= dp +∂ ˜H∂q− f dt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂s− T ds ∧ dt −∂ ˜H∂udu ∧ dt (16)ΫͳΕ5ιXC0β = 0 (14)ະఆ๏Λ༻͍Εɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠ιXC0(d(˜Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜιXC0(d˜Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)ͱࣜ (14) ͱͷʹղͰ͖Δɽ্ࣜ߆ଋܥͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞͷىͱͳΔɽͳ͓ɼd˜Ξ + β ∧ dt ɼdp ∧ dq − (d ˜H − β) ∧ dtͰ༩͑∂ui∂t∂∂uiΫτϧͳ͓ɼd∧∧dd%Ξ + ! ∧ d$ =14− d ˜H ∧ dt∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdtu ∧ dt (5)0= limα→01α ∂SαTUdt = limα→01α Sαd(TUdt)ࣜ (11) Λߟྀ͢Εɼd(TUdt) = TdU ∧ͳΔɽ͜͜Ͱඍ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽβ := Tds + fdq + Qdt1 ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓຊԠ༻ཧֶձ& ", (, # = ( − * ", # = 0
非ホロノミック拘束系の運動方程式dp ∧ dq − (d ˜H − β) ∧ dt= dp +∂ ˜H∂q− f dt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂s− T ds ∧ dt −∂ ˜H∂udu ∧ dt (16)ܭࢉͰ͖ɼࣜ (15) ΑΓ࣍ΛಘΔɽdqdt=∂ ˜H∂p,dpdt= −∂ ˜H∂q+ f, (17)∂ ˜H∂s− T = 0,∂ ˜H∂u= 0 (18)্͔Βɼӡಈࣜ (14)ɼ(17)ɼ(18) Λຬͨ͢ɽ∧dt − ∇j∂ ˜H∂(∇jqi)−ࣜ (22) ͷୈ 2 ߦ·ͰΑΓΕɼୈ 3 ߦΑΓڥք͕݅5 ·ͱΊϋϛϧτϯͷมݪཧʹΑۂઢ C0 1 ܗࣜ ˜Ξ ͷઢੵ͜ͷͱ͖ͷඞཁ݅ࣜ (7ఆࣜԽͰɼ͜Εͦ͜Λӡಈঢ়ଶྔؒͷ߆ଋ͕ β Λ༻͍ͯΔ߹ʹɼӡಈࣜ (15) Λଓମͷ֦ுʹ͓͍ͯɼ(,d(d#+ .d"d#+ / = 0!!!"" = 0!!!"(d'Ξ + " ∧ d+) = 0˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂udu ∧ dt (5)ະఆ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ0= limα→01α ∂SαTUdt = limα→01α Sαd(TUdt)ࣜ (11) Λߟྀ͢Εɼd(TUdt) = TdU ∧dͳΔɽ͜͜Ͱඍ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽβ := Tds + fdq + QdtຊԠ༻ཧֶձ 2021 ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓຊԠ༻ཧֶձ0 = limα→01α ∂Sα˜Ξ = limα→01α Sαd˜Ξ (3)∂Sαͱ Sαɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ͖͖ͷดۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧτχΞϯΛ˜H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)ͱ͢Εɼ˜Ξ = pdq − ˜Hdt ͱͳΓɼd˜Ξ = dp ∧ dq − d ˜H ∧ dt= dp +∂ ˜H∂qdt ∧ dq −∂ ˜H∂pdt−∂ ˜H∂udu ∧ dt (5)ϥάϥϯଶྔ s ͕ଞͷ0 =ͱͳΓɼ͜ະఆ T0= limα→01αࣜ (11) ΛߟͳΔɽ͜͜ຊԠ༻ཧֶձ 2021 ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C)Where15& ", (, # = ( − * ", # = 0
対称性と保存則ʹର͠ɼ0 = LXφ(dΞ) = d(ιXφ(dΞͱͳΕɼܥ࿈ଓͳରশLXφd = (dιXφ+ ιXφd)d =͠ɼ͋Δؔ G(p, q) ͕͋tp, q, sdΞ + - ∧ d(+$16'"#dΞ + + ∧ d- = −d/($, 0)
連続体への拡張͑Δɽ (pi, qi, s, ui) ͷӡಈํఔࣜΛٻϓϨϋϛϧτχΞϯີΛ ˜H(pi, qi, ∇jqͱ͢ΔɽఈۭؒͷମੵཁૉΛ ∗1 ͱ͠ɼ˜Ξ := ∗1 ∧ pidqi − ˜HdtͰఆΊΔɽະఆΛ T ͱ͠ɼβ Λఆβ := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηji∇j(dqi) +ζi, ηj, Q ͱͦͷڞมඍ ∇jͷؔͰఆΊΔɽະఆΛ T ͱ͠ɼβ ΛఆΊΔɽβ := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηji∇j(dqi) + Qdt(20)ζi, ηji, Q ͱͦͷڞมඍ ∇jͷؔͰ͋ΔɽຊԠ༻ཧֶձ 2021 ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9= T ∂U∂qͱ Q = T ∂U∂tͱq, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽβ = 0 (14)ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇࣜ (1VιXC0d˜Ξ + β ∧ dt = 0Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜͜ͰɼXC0= ∂pi∂t∂∂pi+∂∂∂ui∂t∂∂ui+ ∂s∂t∂∂s+ ∂∂tͷӡಈۂઢ C0ͷΫτϧͰ͋ΓɼV ఈۭؒͷੵྖҬͰ17txq(x), s(x)体積要素: ∗ 1 = √2d%3
連続体への拡張 運動方程式の導出s, t, T) ্ͷۂઢ C0ɼ͕࣍ࣔͤΔɽ0 (14)ࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠ಘΔɽ͜ͷࣜdt) = 0 (15)Δɽ্ࣜ߆ଋܥͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞβ ∧ dt ɼdt∧ dq −∂ ˜H∂pdtVιXC0d˜Ξ + β ∧ dt = 0 (21)Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜͜ͰɼXC0= ∂pi∂t∂∂pi+∂qi∂t∂∂qi+∂ui∂t∂∂ui+ ∂s∂t∂∂s+ ∂∂tͷӡಈۂઢ C0ͷϕΫτϧͰ͋ΓɼV ఈۭؒͷੵྖҬͰ͋Δɽͳ͓ɼd˜Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽdpi+∂ ˜H∂qi−∇j∂ ˜H∂(∇jqi)− ζi−∇jηjidt∧ dqi−∂ ˜H∂pidt −∂ ˜H∂uidui+∂ ˜H∂s−T ds∧dt − ∇j∂ ˜H∂(∇jqi)− ηjidqi ∧ dt (22)ࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇࣜ (14) ͱVιXC0d˜Ξ + β ∧ dt = 0 (21)Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜͜ͰɼXC0= ∂pi∂t∂∂pi+∂qi∂t∂∂qi+∂ui∂t∂∂ui+ ∂s∂t∂∂s+ ∂∂tͷӡಈۂઢ C0ͷϕΫτϧͰ͋ΓɼV ఈۭؒͷੵྖҬͰ͋Δɽͳ͓ɼd˜Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽdpi+∂ ˜H−∇j∂ ˜H− ζi−∇jηjidt 18
まとめ利点• 対称性(時間空間並進、回転)の議論• 良設定条件 解の存在と⼀意性(境界条件についての議論)複雑な流体の運動方程式の導出• 気液二相流• 液晶!!!"" = 0!!!"(d'Ξ + " ∧ d+) = 0運動⽅程式拘束条件参考⽂献[1] M. A. Biot, A virtual dissipa8on principle and Lagrangianequa8ons in non-linear irreversible thermodynam- ics, Acad.Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 61 (1975), 6–30.[2] H.Fukagawa and Y.Fujitani, Clebsch poten8als in thevaria8onal principle for a perfect fluid, Prog. Theor. Phys., 124(2010) 517–531; A varia8onal prin- ciple for dissipa8ve fluiddynamics, 127 (2012), 921–935.[3] 深川宏樹, 散逸系の変分原理, ⽇本物理学会誌, 72(2017), 34–38.[4] 深川宏樹, 微分形式による粘性流体の定式化, ながれ,40 (2021),38–45.[5] ポントリャーギン, 最適制御理論におけ る最⼤値原理,森北出版, 2000. 19
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