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非ホロノミック拘束を受ける連続体の微分形式による運動の定式化

DeepFlow, Inc.
September 07, 2021

 非ホロノミック拘束を受ける連続体の微分形式による運動の定式化

解析力学によると、質点の運動は作用汎関数の停留値を与える。これは微分形式の言葉で書き表せる。これを元に次の4つを行う。1.ホロノミック拘束を受ける系での微分形式による運動の定式化をする。2.この定式化を非ホロノミック拘束が微分形式で与えられた系に拡張する。3.リー微分による対称性と保存則の関係を議論する。4.連続体への拡張を示す。

DeepFlow, Inc.

September 07, 2021
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Transcript

  1. ⾮ホロノミック拘束を受ける
    連続体の微分形式による運動
    の定式化
    ⽇本応⽤数理学会2021年度年会(2021/9/7~9)
    DeepFlow 株式会社 深川 宏樹
    hiroki.fukagawa@deepflow.co.jp
    1

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  2. 目次
    • 運動を曲線で記述
    • 変分原理:「運動が描く曲線は汎関数に停留値を与える」
    • 微分形式での表現
    • ネータの定理:対称性と保存則
    • 拘束系の運動
    • 連続体の運動
    2

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  3. 運動を曲線で記述
    d"
    d#
    = %
    位置q
    t
    運動は
    を満たす。
    ↓u
    3

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  4. 運動を曲線で記述
    t
    q
    u
    !! 曲線 !! は拘束条件
    を満たす。

    !"
    d" − %d# =0
    4

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  5. 変分原理
    1 ࣍ݩͷ࣭఺ͷӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    ͷ࣭఺ͷঢ়ଶ͸Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    Ґஔ q ͷ࣌ؒൃల͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ఆ·Γɼ(q, u, t) ۭؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    C0
    (dq − udt) = 0 (1)
    Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    ͕ಘΒΕΔ
    ࣭఺ͷ଎
    ͱ͔Βɼ଎
    Ұൠతʹ੍
    Ͱ͖ɼࣜ (
    t
    q
    u
    !"
    !!
    ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    ஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    dq − udt) = 0 (1)
    τϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃ
    ͱ͔Βɼ଎౓ u ͸ঢ়ଶྔ q ͷ੍
    Ұൠతʹ੍ޚ͸ F(q, u) ͱؔ਺Ͱ
    Ͱ͖ɼࣜ (1) ͸࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽ
    C
    (dq − F(q, u)dt) =
    曲線 !! の拘束条件の下
    作用汎関数が停留値を取る。
    C0
    Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ,
    άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 C
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −

    !"
    d" − %d# =0
    5

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  6. 未定乗数法
    未定乗数を #とし微分一形式
    を定め、
    となる十分条件を求める。
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด

    Ϩ

    3

    ɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    Γɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    τϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    ࣜ (4) Ͱ
    Ϩϋϛϧ
    ಉ༷ʹ͠
    3 ߆ଋ
    ϥάϥ
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)

    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    C
    (dq − F(q, u)
    ࣜ (4) Ͱ ˜
    H(p, q, u) := pF(q
    ϨϋϛϧτχΞϯ͸࠶ఆٛ͞
    ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (9
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W
    0 = U(s, q, t) := s
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛο

    #!
    d% − 'd( =0
    subject to
    6

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  7. 正準方程式の導出
    α→0 α ∂Sα
    α→0 α Sα
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p

    ∂ ˜
    H
    du ∧ dt
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ଶྔ
    ͱͳ
    ະఆ
    0=
    ࣜ (
    ͳΔ
    where
    微分一形式
    の外微分を計算する。
    7

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  8. 正準方程式
    ͋Δ
    Ͱఆ
    ͦ͏
    ຊߘ
    ͑Β
    ࿈ଓ
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p,
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    ਂ઒ ޺थ
    1DeepFlow גࣜձࣾ
    e-mail : hiroki.fukagawa@deepflow.co.jp
    ֓ཁ
    ෼ݪཧ͸ɼ
    ʮӡಈ͕ඳ͘ۂઢ͸൚ؔ਺ʹఀཹ
    ༩͑Δʯͱ͍͏ܗͰӡಈ๏ଇΛ༩͑Δɽ࠷
    ɼ͜ΕΛඍ෼ܗࣜΛ࢖ͬͯදݱ͢Δɽ͋Δ
    ྔͷ஋Λಉ࣌ࠁͷଞͷ෺ཧྔͷ஋͚ͩͰఆ
    ߆ଋ৚݅ΛϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏
    ͍΋ͷΛඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘ
    ɼඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͰඍ෼ܗࣜͰ༩͑Β
    ܥͷӡಈΛඍ෼ܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    ͷ֦ுΛࣔ͢ [2, 3, 4]ɽ
    ਖ਼४ํఔࣜͷಋग़
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧΛ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt

    ∂p
    +
    dq
    dt

    ∂q
    +
    du
    dt

    ∂u
    +
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q))
    ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏
    ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘ
    οΫ߆ଋͰඍ෼ܗࣜͰ༩͑Β
    ඍ෼ܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    [2, 3, 4]ɽ
    ͷಋग़
    ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ۭؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    (dq − udt) = 0 (1)
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q))
    ͱ͢Ε͹ɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂H
    ∂q
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾ
    t
    p, q, u
    !"
    8
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔ਺ͱ͠ɼ
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W(q, t) ͱͳΔͱ
    0 = U(s, q, t) := s − W(q, t) (
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱݺ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧d
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt (
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = 0
    where
    flow.co.jp
    ؔ਺ʹఀཹ
    ༩͑Δɽ࠷
    ͢Δɽ͋Δ
    ஋͚ͩͰఆ
    ݺͼɼͦ͏
    ݺͿɽຊߘ
    ࣜͰ༩͑Β
    ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    ఺ͷ࣌ࠁ t
    ༩͑ΒΕΔɽ
    Γ଎౓ u Ͱ
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧΛ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt

    ∂p
    +
    dq
    dt

    ∂q
    +
    du
    dt

    ∂u
    +

    ∂t
    (6)
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0 (7)
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (4) ʹ
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q)) (8)
    ͱ͢Ε͹ɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔࣜ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂H
    ∂q
    (9)
    正準⽅程式

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  9. Xφ :=


    =
    dp


    ∂p
    +
    dq


    ∂q
    +
    dt



    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ))
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশੑΛ࣋ͭͱ
    運動は dΞ で与えられる。
    dΞ のベクトル+$に沿ったリー微分が0になるとき
    系は+$について対称性をもつ。
    ネータの定理:対称性と保存則
    ωʔλʔͷఆཧ͸ɼܥͷ࿈ଓతͳରশੑʹԠ
    ଇ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛओு͢Δɽඍ෼ܗࣜΛ࢖͑
    Λ؆୯ʹࣔͤΔɽҠಈ φ(α) : (p0, q0, t0) → (p
    Ͱ dΞ := d(pdq − Hdt) ͕ෆมͳͱ͖ɼܥ͸ φ
    ͯ͠ରশੑΛ࣋ͭͱݴ͏ɽҠಈ͕ 1 ܘ਺ม׵܈
    Xφ :=


    =
    dp


    ∂p
    +
    dq


    ∂q
    +
    dt


    ∂t
    ʹର͠ɼ 9
    +$

    View full-size slide

  10. 対称性と保存則
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশ
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d =
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋
    )"#
    dΞ = −d+(", .)
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ))
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশੑΛ࣋
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d = dιXφ
    d
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋ͬͯɼ
    ιXφ
    (dΞ) = −dG
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋ͬͯɼ
    ιXφ
    (dΞ) = −dG (20)
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞Βʹ Xφ
    ͕ɼ
    XG := −
    ∂G
    ∂q

    ∂p
    +
    ∂G
    ∂p

    ∂q
    (21)
    Λ༻͍ͯɼXφ = XG
    Ͱ༩͑ΒΕΕ͹ɼࣜ (16) ͔Βɼ
    ιXG
    (dΞ) = ιXG
    (dp ∧ dq) − XG(H)dt
    = −dG −
    ∂G
    ∂p
    ∂H
    ∂q

    ∂G
    ∂q
    ∂H
    ∂p
    dt
    = −dG +
    dG
    dt
    dt (22)
    dG
    ະ ఆ ৐ ਺ ๏ Λ ༻
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ d
    ͱࣜ (28) ͱͷ૊ʹ
    ͸߆ଋܥͷӡಈΛද
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓
    dp ∧ dq −
    = dp +


    ∂ ˜
    H
    ∂s

    10
    ιXφ
    (dΞ) = −dG
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞
    XG := −
    ∂G
    ∂q

    ∂p
    +
    ∂G
    ∂p

    ∂q
    Λ༻͍ͯɼXφ = XG
    Ͱ༩͑ΒΕΕ͹
    ιXG
    (dΞ) = ιXG
    (dp ∧ dq) − XG
    = −dG −
    ∂G
    ∂p
    ∂H
    ∂q

    where

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  11. 最適制御理論 d"
    d#
    = %
    状態:q
    t
    #$
    #%
    = "($, &)
    ӡಈۂઢ C0
    ͸
    dt) = 0 (1)
    ݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ෼ͰදͤΔɽ
    , u)dt = 0 (2)
    Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾΊΔ
    ͱ͔Βɼ଎౓ u ͸ঢ়ଶྔ q ͷ੍ޚͱΈͳͤΔ
    Ұൠతʹ੍ޚ͸ F(q, u) ͱؔ਺Ͱ༩͑Δ͜ͱ
    Ͱ͖ɼࣜ (1) ͸࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽͰ͖Δ [5]ɽ
    C
    (dq − F(q, u)dt) = 0 (1
    ࣜ (4) Ͱ ˜
    H(p, q, u) := pF(q, u) − L(q, u) ͱ
    ϨϋϛϧτχΞϯ͸࠶ఆٛ͞Εɼࣜ (5) Ҏ߱
    ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (9) ͕ಘΒΕΔ [2,
    11

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  12. 拘束系の運動方程式
    状態:
    q,s
    t
    状態 qとsは拘束条件
    を満たす。
    ΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    (p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    q, u) := pu − L(q, u) (4)
    pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    ˜
    H
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔ਺ͱ
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W(q, t) ͱͳ
    0 = U(s, q, t) := s − W(q, t)
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUd
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯ
    ιXC0
    β =
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼ
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 Λ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖
    12

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  13. 拘束系の運動方程式
    (4)
    (5)
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱݺͿɽ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (12)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱ
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt (13)
    21.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    ͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    Udt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (12)
    Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱ
    ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    Tds + fdq + Qdt (13)
    Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U

    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͱ
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0 (14)
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0 (1
    where
    & ", (, # = ( − * ", # = 0
    because of
    ! ∧ d$
    13
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ
    ιXC0
    β = 0
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 Λಘ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ d
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧
    ∂ ˜
    H
    Ref.

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  14. 拘束系の運動方程式
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt ͸ɼ
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    − f dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T ds ∧ dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (16)
    Ϋ
    ͳ
    Ε
    5
    ιXC0
    β = 0 (14)
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt ͸ɼ
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    Ͱ༩͑
    ∂ui
    ∂t

    ∂ui
    Ϋτϧ
    ͳ͓ɼ
    d

    ∧d
    d%
    Ξ + ! ∧ d$ =
    14
    − d ˜
    H ∧ dt
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    u ∧ dt (5)
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt
    1 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    & ", (, # = ( − * ", # = 0

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  15. 非ホロノミック拘束系の運動方程式
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    − f dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T ds ∧ dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (16)
    ܭࢉͰ͖ɼࣜ (15) ΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    dq
    dt
    =
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    + f, (17)
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T = 0,
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    = 0 (18)
    ্͔Βɼӡಈ͸ࣜ (14)ɼ(17)ɼ(18) Λຬͨ͢ɽ
    ∧dt − ∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)

    ࣜ (22) ͷୈ 2 ߦ·ͰΑΓ
    Εɼୈ 3 ߦΑΓڥք৚͕݅
    5 ·ͱΊ
    ϋϛϧτϯͷม෼ݪཧʹΑ
    ۂઢ C0
    ͸ 1 ܗࣜ ˜
    Ξ ͷઢੵ෼
    ͜ͷͱ͖ͷඞཁ৚݅͸ࣜ (7
    ఆࣜԽͰ͸ɼ͜Εͦ͜Λӡಈ
    ঢ়ଶྔؒͷ߆ଋ͕ β Λ༻͍ͯ
    Δ৔߹ʹ͸ɼӡಈ͸ࣜ (15) Λ
    ଓମ΁ͷ֦ுʹ͓͍ͯ΋ɼ(
    ,
    d(
    d#
    + .
    d"
    d#
    + / = 0
    !!!"
    " = 0
    !!!"
    (d'
    Ξ + " ∧ d+) = 0
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧d
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα

    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ

    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt

    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ϥάϥϯ
    ଶྔ s ͕ଞͷ
    0 =
    ͱͳΓɼ͜
    ະఆ৐਺ T
    0= lim
    α→0
    1
    α
    ࣜ (11) Λߟ
    ͳΔɽ͜͜
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C)
    Where
    15
    & ", (, # = ( − * ", # = 0

    View full-size slide

  16. 対称性と保存則
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশ
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d =
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋
    t
    p, q, s
    dΞ + - ∧ d(
    +$
    16
    '"#
    dΞ + + ∧ d- = −d/($, 0)

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  17. 連続体への拡張
    ͑Δɽ৔ (pi, qi, s, ui) ͷӡಈํఔࣜΛٻ
    ϓϨϋϛϧτχΞϯີ౓Λ ˜
    H(pi, qi, ∇jq
    ͱ͢ΔɽఈۭؒͷମੵཁૉΛ ∗1 ͱ͠ɼ
    ˜
    Ξ := ∗1 ∧ pidqi − ˜
    Hdt
    ͰఆΊΔɽະఆ৐਺৔Λ T ͱ͠ɼβ Λఆ
    β := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηj
    i
    ∇j(dqi) +
    ζi, ηj, Q ͸৔ͱͦͷڞมඍ෼ ∇j
    ͷؔ਺
    ͰఆΊΔɽະఆ৐਺৔Λ T ͱ͠ɼβ ΛఆΊΔɽ
    β := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηj
    i
    ∇j(dqi) + Qdt
    (20)
    ζi, ηj
    i
    , Q ͸৔ͱͦͷڞมඍ෼ ∇j
    ͷؔ਺Ͱ͋Δɽ
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9
    = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͱ
    q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    β = 0 (14)
    ͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇ͸ࣜ (1
    V
    ιXC0

    Ξ + β ∧ dt = 0
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t

    ∂pi
    +∂

    ∂ui
    ∂t

    ∂ui
    + ∂s
    ∂t

    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ
    17
    t
    x
    q(x), s(x)
    体積要素: ∗ 1 = √2d%3

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  18. 連続体への拡張 運動方程式の導出
    s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    0 (14)
    ࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    ಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    dt) = 0 (15)
    Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    Ͱ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    β ∧ dt ͸ɼ
    dt
    ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    V
    ιXC0

    Ξ + β ∧ dt = 0 (21)
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t

    ∂pi
    +∂qi
    ∂t

    ∂qi
    +
    ∂ui
    ∂t

    ∂ui
    + ∂s
    ∂t

    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ͋Δɽ
    ͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽ
    dpi+
    ∂ ˜
    H
    ∂qi
    −∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)
    − ζi−∇jηj
    i
    dt
    ∧ dqi−
    ∂ ˜
    H
    ∂pi
    dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂ui
    dui+
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    −T ds
    ∧dt − ∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)
    − ηj
    i
    dqi ∧ dt (22)
    ࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇ͸ࣜ (14) ͱ
    V
    ιXC0

    Ξ + β ∧ dt = 0 (21)
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t

    ∂pi
    +∂qi
    ∂t

    ∂qi
    +
    ∂ui
    ∂t

    ∂ui
    + ∂s
    ∂t

    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ͋Δɽ
    ͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽ
    dpi+
    ∂ ˜
    H
    −∇j
    ∂ ˜
    H
    − ζi−∇jηj
    i
    dt 18

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  19. まとめ
    利点
    • 対称性(時間空間並進、回転)の議論
    • 良設定条件 解の存在と⼀意性
    (境界条件についての議論)
    複雑な流体の運動方程式の導出
    • 気液二相流
    • 液晶
    !!!"
    " = 0
    !!!"
    (d'
    Ξ + " ∧ d+) = 0
    運動⽅程式
    拘束条件
    参考⽂献
    [1] M. A. Biot, A virtual dissipa8on principle and Lagrangian
    equa8ons in non-linear irreversible thermodynam- ics, Acad.
    Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 61 (1975), 6–30.
    [2] H.Fukagawa and Y.Fujitani, Clebsch poten8als in the
    varia8onal principle for a perfect fluid, Prog. Theor. Phys., 124
    (2010) 517–531; A varia8onal prin- ciple for dissipa8ve fluid
    dynamics, 127 (2012), 921–935.
    [3] 深川宏樹, 散逸系の変分原理, ⽇本物理学会誌, 72
    (2017), 34–38.
    [4] 深川宏樹, 微分形式による粘性流体の定式化, ながれ,
    40 (2021),38–45.
    [5] ポントリャーギン, 最適制御理論におけ る最⼤値原理,
    森北出版, 2000. 19

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