離散微分形式による大規模流体音響解析

2021年12月15日 (水)第35回数値流体力学シンポジウム

薄い板に向けた空気の流れと流体音
https://www.youtube.com/watch?v=MjjIMflT65w

Transcript

1. Dec. 15th , 2021
   ○深川宏樹 神志那純
   hiroki.fukagawa★deepflow.co.jp
   離散微分形式による⼤規模流体⾳響解析
   

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2. 項⽬ 内容
   設⽴年⽉ 2018年7⽉
   代表者 深川宏樹 博⼠(理学)
   事業内容 シミュレーション・AIを使った設計開発⽀援
   主要取引先 Jamstec(海洋開発機構)、東京⼯業⼤学、
   慶應義塾⼤学、群⾺⼤学、名古屋⼤学、
   M-TEC(無限)、三菱重⼯サーマルシステムズ、
   その他数社
   1
   DeepFlow, Inc.
   DeepFlow株式会社
   -創造性を飛躍させる-
   

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3. 試作による設計開発
   設計 検証
   2
   DeepFlow, Inc.
   

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4. シミュレーションによる設計開発
   設計 検証
   3
   DeepFlow, Inc.
   

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5. マルチスレッド計算
   4
   DeepFlow, Inc.
   …
   Core
   memory
   node
   Core
   Register Register
   Core
   memory
   node
   Core
   Register Register
   multi-processor architectures
   

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6. 線形ソルバーは一般的には大きな問題に
   対してはスパコンを使っても遅くなる。
   計算量とデーター転送量は O(n2~n3).
   *疎行列の逆行列は 密行列
   線形ソルバーの計算量とデータ転送量
   !!
   ⋮
   !"
   =
   $!
   ! … $"
   !
   ⋮ ⋱ ⋮
   $!
   " … $"
   "
   #!
   '!
   ⋮
   '"
   5
   DeepFlow, Inc.
   OpenFOAMの
   並列計算のベンチマーク
   モデルサイズ：400万メッシュ
   

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7. 局所性と並列性
   !(m+1,n)
   !(m,n)
   !(m,n-1) !(m,n+1)
   場 メモリ配置
   6
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8. 場の⽅程式
   ہॴੑͱฒྻੑ
   ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ
   ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸
   ∂ω(t, x)
   ∂t
   = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1)
   ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ
   ࠁΈ෯ ∆t Ͱ෼ׂ͠ɼ࣌ؒͷΠϯσοΫεΛ
   ͱ͢ΔɽۭؒΛϝογϡ෼ׂ͠ɼ෼ׂཁૉΛ
   ͱݺͼɼID Λ n ͱ͢Δɽ཭ࢄԽͨ͠৔ͷ஋
   ∗∗(m, n) Ͱද͢ɽCell n ͷۙ๣ʹ͋Δ Cell
   D Λ (n, i) ͱ͢Δɽi ≥ 0 ͸ۙ๣ʹ͋Δ Cell
   ࢜Λ۠ผ͠ɼn = (n, 0) ͱ͢Δɽω (t, x) ͷ཭
   Γɼ଎౓৔ u ͸ 1 ܗࣜͰ
   ͷ Cell χ ্ͷੵ෼ (ධՁ
   χ, ω :=
   ω ʹରͯ͠ੵ෼஋Λฦ͢
   χ∗ := χ,
   ͸ V ͷ૒ରۭؒ V ∗ ͷݩ
   ω∗∗ := evalω :
   ͸ೋॏ૒ରۭؒ V ∗∗ ͷݩ
   !
   (%, 1)
   (%, 2)
   %, 3
   離散化
   "∗∗ # + 1, !
   = "∗∗ #, ! + (("∗∗ #, !, * Δt
   陽解法
   7
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9. 流体⽅程式
   ナビエ・ストークス
   質量保存
   時間発展⽅程式は以下の形になる。
   ()
   (*
   = −div()0)
   Δ0: = grad div − rot rot 0
   (0
   (*
   = −0 ⋅ rot 0 −
   1
   2
   grad 0 ⋅ 0 −
   1
   )
   (grad < − =Δ0)
   ͢ʹ͸ɼ෺ཧݱ৅ͷہॴੑͱฒྻੑ͕ܭࢉ࣌
   ͷσʔλΞΫηεʹ͓͍ͯ΋࣮ݱ͢Δ͜ͱ͕
   ཁͰ͋Δ [1]ɽ৔ͷجૅํఔࣜΛඍ෼ܗࣜͰ༩
   Ε͹ɼہॴੑͱฒྻੑΛอͭࣗવͳ཭ࢄԽ͕
   ͖ɼେن໛ͳγϛϡϨʔγϣϯ͕Ͱ͖Δ [2]ɽ
   ہॴੑͱฒྻੑ
   ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ
   ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸
   ∂ω(t, x)
   ∂t
   = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1)
   ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ
   ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ
   3 ཭ࢄඍ෼ܗࣜ
   Elkurage Ͱ͸෺ཧྔ
   ΕΔɽྫ͑͹ɼྲྀମܭ
   Γɼ଎౓৔ u ͸ 1 ܗࣜ
   ͷ Cell χ ্ͷੵ෼ (ධ
   χ, ω :
   ω ʹରͯ͠ੵ෼஋Λฦ
   χ∗ := χ,
   where
   8
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10. 流体方程式(直交座標系)
    ナビエ・ストークス
    質量保存 ()
    (*
    = −
    ( )>+
    (?+
    (>+
    (*
    = −>,
    (>+
    (?,
    −
    1
    )
    (<
    (?+
    − =
    (
    (?,
    (
    (?,
    >+
    !!
    スタガード格⼦ ρ
    !"
    9
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11. 質量保存
    スタガード⾮構造格⼦
    ρ
    u
    !"
    !#
    = −div("*)
    !
    !"
    (⋆ %) = −) (% ⋆ *)
    10
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12. ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    ナビエ・ストークス
    >
    >
    P
    P
    P
    !*
    !"
    = −* ⋅ rot * −
    1
    2
    grad * ⋅ *
    −
    1
    %
    (grad 4 − 5Δ*)
    Δ0: = grad div − rot rot 0
    where
    P is a function of "
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13. 微分形式
    Pressure P grad P
    0 form ∋ P ↦ dP ∈ 1 form
    velocity * rot *
    1 form ∋ * ↦ d* ∈ 2form
    Mass flux > = % ⋆ * div >
    2 form ∋ > ↦ d> ∈ 3 form
    >
    >
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    12
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14. ɼ
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    離散微分形式
    ,(-) : 場所-での物理量
    ⬇
    ,∗∗ (.∗): 領域. で,を積分値
    領域：線、⾯、体積
    !∗∗ "∗ ≔ ∫
    "
    ! ∈ ℝ
    13
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15. (φ∗∗(ω∗∗))(σ∗)= σ, φ(ω) =(φ(ω))∗∗(σ∗) (7)
    ΛಘΔɽͭ·Γɼਤࣜ
    V ∗∗ //
    φ
    
    V ∗∗
    φ∗
    ∗
    
    ω ∗∗ //
    _
    φ
    
    ω∗∗
    _
    φ∗
    ∗
    
    W ∗∗ // W∗∗ φ(ω) ∗∗ // (φ(ω))∗∗=φ∗∗(ω∗∗)
    ͕Մ׵ʹͳΔɽφ ͕ઢܗͳΒ͹ɼࣜ (3) ͷ૒ઢ
    t
    離散化 ∗∗ は⾃然変換になるように定義する。
    図式が可換になるようにする。
    = C
    !
    D(E) ∈ ℝ
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16. ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ
    ͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗
    ࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d ͸ઢܗࣸ૾
    ɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷ
    写像 . が線形なら、次を満たす線形写像 ".が存在する。
    例：∫
    #
    d! = ∫
    $#
    != Σ%
    ∫
    ""
    !
    ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ
    ͱͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗(σ) ͕
    ܭࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d ͸ઢܗࣸ૾Ͱ͋
    Γɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧ
    ΑΓ σ, dω = ∂σ, ω ͱͳΔɽω Λ 2 ܗࣜͱ͢
    Ε͹ɼdω ͸ 3 ܗࣜͱͳΔɽχi
    Λ 3-Cell σ ͷද
    ໘Λ෴͏ 2-Cell ͱ͢Ε͹ɼ∂σ = i
    χi
    ͱͳΓɼ
    (dω)∗∗(σ∗) = ω∗∗(χ∗) ͱܭࢉͰ͖Δɽϗο
    ᝳໟਸ
    ଠࢯͷ
    ͸ɼ͞
    Λ࢖ͬ
    ࢀߟจ
    [1] T
    T
    M
    H
    I
    fi
    *( ) =
    /
    #
    .(") = /
    !$(#)
    " ∈ ℝ
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17. Δ*: = grad div − rot rot *
    Δ*: = d ⋆ d ⋆−⋆ d ⋆ d *
    !
    !"
    * + * ⋅ rot * +
    1
    2
    grad * ⋅ * +
    1
    %
    (grad 4 − 5Δ*) = 0
    !
    !"
    (⋆ %) = −) (% ⋆ *)
    !
    !"
    % + div(%*) = 0
    !
    !"
    * = −I"#d * −
    1
    2
    dg *, * −
    1
    %
    (d4 − 5Δ*)
    ナビエ・ストークス
    質量保存
    ナビエ・ストークス
    質量保存
    16
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18. 薄い板に向けた空気の流れ
    上 速度ノルム
    下 圧⼒
    全体，横800mm, 縦200mm
    薄板，横3.75mm, 縦100mm
    メッシュ数，32万メッシュ
    格⼦サイズ，1.25mm
    時間刻み，10^-7 s
    風速 30 m/s
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    https://www.youtube.com/watch?v=MjjIMflT65w
    

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19. 離散微分形式によるシミュレーター
    (Elkurage)
    18
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    超⾼速計算
    計算結果を素早く設計に反映
    ⾼解像度、⾼精度
    詳細な現象を可視化
    マルチ物理シミュレーション
    複雑な現象を再現
    

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20. ɼ
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    まとめ
    • 物理場は局所性と並列性を持ち、
    微分形式で記述される。
    • 離散微分形式は、微分形式から⾃
    然に変換される。
    • スタッガード⾮構造格⼦は
    計算の安定性を⾼める。
    !∗∗ "∗ ≔ ∫
    "
    !
    19
    DeepFlow, Inc.
    

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21. まとめ２ Elkurageの優位性
    方法 メッシュ 大規模 備考
    FDTD法、差分法、格⼦ボルツマン 構造格子 ◎ 複雑な形状が苦手。
    有限要素法、有限体積法 非構造格子 × 並列計算機による大規模計算が不得意。
    離散微分形式(DeepFlow社) 非構造格子 ◎ 複雑形状かつ大規模な計算が得意。
    20
    DeepFlow, Inc.
    構造格子 非構造格子
    

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