微分形式による物理方程式の記述と 離散微分形式によるシミュレーション

解析力学は微分形式で表せ、散逸系に拡張できる。微分形式で記述された物理方程式は、離散微分形式に自然に変換できる。この手順を示し、この離散化をつかったシミュレーションを紹介する。

Transcript

1. 微分形式による物理⽅程式の記述と
   離散微分形式によるシミュレーション
   開催⽇：2023/01/21〜2023/01/22
   幾何学的離散⼒学の産業への応⽤に向けた数理科学の基礎
   深川宏樹
   

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2. 創造性を⾶躍させる
   抽象的な概念(数学)をプログラムで
   階層的に組み合わせ、コンピュータ
   上に再現(具象化)することで、複雑
   な現象を解明したい。
   ⇒科学技術の進歩に貢献
   物理現象
   (具体的)
   数学
   抽象化
   ⇒具象化
   微分形式
   離散微分
   計算機科学
   抽象化
   ⇒具象化
   関数型⾔語
   圏論・モナド
   理解・予測
   (具体的)
   1
   DeepFlow, Inc.
   

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3. ⽬次
   1. 製造業におけるシミュレーションの役割
   2. 微分形式による物理の記述
   3. 離散微分形式への⾃然な変換
   4. シミュレーションの実⾏例紹介
   参考⽂献
   散逸系の変分原理, ⽇本物理学会誌, (2017),
   https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri/72/1/72_34/_article/-char/ja/
   微分形式による粘性流体の定式化, ながれ (2021) ,
   https://www.nagare.or.jp/download/noauth.html?d=40-1-2_kaisetu.pdf&dir=128
   離散微分形式による⼤規模シミュレーション, 応⽤数理, (2021).
   https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/31/1/31_22/_article/-char/ja
   2
   DeepFlow, Inc.
   参考技術情報：https://continuous-log-6f7.notion.site/DeepFlow-Inc-d7943a2a4f954fda81faec05cb3381c6
   

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4. ⾼性能計算で設計を⾰新する
   設計は、何をつくるかを決める企画から始まります。
   概念設計では製品仕様を定め、基本設計では設計諸元を
   定めます。詳細設計・性能評価では様々な設計変数での
   性能評価を⽐較して、より良い設計を探していきます。
   従来の試作を伴う設計⼯程では詳細設計・性能評価の
   段階で設計コストは最も⾼くなり最適化も⼤変でした。
   DeepFlowは⾼性能計算によるフロントローディング
   を提案します。概念設計・基本設計の段階で設計と性能
   の関係を明らかにする現象解明を⾏って、設計に関する
   知⾒の質と量を⾼めます。これに基づいて、設計諸元を
   定め、ワークフローツールを⽤いて、デジタル空間上で
   最適設計を⾏います。これにより⾼性能製品の設計開発
   が素早く低コストで⾏えます。
   3
   DeepFlow, Inc.
   企
   画
   概念
   設計
   詳細
   設計
   基本
   設計
   性能
   評価
   製
   造
   ⾼性能計算による
   フロントローディング
   設
   計
   コ
   ス
   ト
   最適設計
   現象解明
   各設計⼯程における設計コスト
   

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5. ⾼性能計算による現象解明と最適設計
   現象解明
   シミュレーションや機械学習を⽤いて、
   現象に対する理解を深め、設計と性能の
   関係を明らかにする。知識の向上。
   設計空間上の設計可能領域にある設計で、
   性能評価が⼀番⾼い最適設計を低コストで
   すばやく⾒つける。性能の向上。
   4
   DeepFlow, Inc.
   ⾼性能製品の設計開発を促進します。
   設計可能領域
   評価等⾼線
   最適設計
   わからないを⾒えるに 発想を最⾼の形に
   

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6. ⼤規模・⾼速・⾼精度シミュレーション
   5
   DeepFlow, Inc.
   1. ⼤規模データ
   100億メッシュに対応
   2. ⾼速並列計算
   スパコンで千倍の速度UP
   3. ⾼精度マルチ物理現象
   流体、 ⾳、 重⼒、熱、構造、
   電磁場の相互作⽤も解明 1
   4
   16
   64
   256
   1024
   4096
   16384
   1 4 16 64 256 1024 4096 16384
   Speedup
   Number of Processors
   Ideal Speedup
   CX400 Actual Speedup
   parallel portion 0.95
   Strong scaling (FSI) simulation, 2017
   完全陽解法を採⽤することで、
   スパコン(23,616コア)を使って
   19,759倍に速度が向上した。
   陰解法と⽐較
   して1000倍の
   Speedup
   シミュレータElkurageの並列性能
   ⾼性能計算クラウドで
   流体軸受
   構造＋流体
   ＋気液相転移
   

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7. 微分形式による物理の記述
   • 運動を曲線で記述
   • 変分原理:「運動が描く曲線は汎関数に停留値を与える」
   • 微分形式での表現
   • ネータの定理：対称性と保存則
   • 拘束系の運動
   • 連続体の運動
   6
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8. フェルマーの原理
   h"p:/
   /www.docstoc.com/docs/130534946/Chapter-7-Refrac=ve-index
   光は最短時間で進める道を進む
   7
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9. 変分原理
   運動法則は曲線C0が満たすべき条件で表せる
   ⇒変分原理：運動が描く曲線は汎関数に停留値を与える
   lim
   α→0 α C0
   −Cα
   p(dq − udt) = 0
   Λຬͨ͢ɽະఆ৐਺๏Λ༻͍ͯӡಈํఔࣜ
   ࣜ (7) ͱ (8) ͷ࿨͔Βɼ˜
   Ξ := Ldt + p(dq −
   ετʔΫεͷఆཧΛ༻͍Ε͹ɼϋϛϧτϯ
   0 = lim
   α→0
   1
   α ∂Sα
   ˜
   Ξ = lim
   α→0
   1
   α Sα
   d˜
   Ξ
   1 ࣍ݩͷ࣭఺ͷӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
   ͷ࣭఺ͷঢ়ଶ͸Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
   Ґஔ q ͷ࣌ؒൃల͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
   ఆ·Γɼ(q, u, t) ۭؒͰӡಈۂઢ C0
   ͸
   C0
   (dq − udt) = 0 (1)
   Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
   ͸ϥ
   άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
   ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
   ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
   ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
   ͱ͢Ε͹ɼ
   ͕ಘΒΕΔ
   ࣭఺ͷ଎
   ͱ͔Βɼ଎
   Ұൠతʹ੍
   Ͱ͖ɼࣜ (1
   𝐶!
   𝐶"
   ಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
   q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
   ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
   ؒͰӡಈۂઢ C0
   ͸
   − udt) = 0 (1)
   ϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
   ͸ϥ
   ) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
   ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
   Cα
   ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
   ճੵ෼ͰදͤΔɽ
   ͱ͢Ε͹ɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४
   dq
   dt
   =
   ∂H
   ∂p
   ,
   dp
   dt
   = −
   ∂
   ∂
   ͕ಘΒΕΔɽ
   ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃ
   ͱ͔Βɼ଎౓ u ͸ঢ়ଶྔ q ͷ੍ޚ
   Ұൠతʹ੍ޚ͸ F(q, u) ͱؔ਺Ͱ
   Ͱ͖ɼࣜ (1) ͸࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽ
   C
   (dq − F(q, u)dt) =
   • 曲線C0の住む空間は？
   • Ξはどう与えるの？
   • 閉曲線 ∂Sα は常にあるの？
   8
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10. 微分形式⼊⾨
    • 線積分、⾯積分、体積積分を向き付きで⼀般化したもの。
    • 具体的な計算には座標が必要だが、座標変換が明確。
    • ⾃然な離散化がある。
    9
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11. 全微分
    2 ඍ෼ܗࣜͷಋೖ
    ม਺ q = (q1, · · · , qn) ͷ
    dU(q) = ∂U
    ∂qi
    dqi ͱͳΔɽ͜Ε
    ্ԼͰॏͳΔ৔߹͸ɼͦͷఴ
    i ∂
    ඍ෼ܗࣜͷಋೖ
    ม਺ q = (q1, · · · , qn) ͷؔ਺ U(q) ͷશ
    q) = ∂U
    ∂qi
    dqi ͱͳΔɽ͜ΕҎ߱ɼಉ߲͡Ͱ
    ԼͰॏͳΔ৔߹͸ɼͦͷఴࣈͷ࿨ΛऔΔɽϕ
    = Xi ∂
    ∂qi
    ͱͷ಺෦ੵ ι Λ ιX(dU) = X(U)
    ༩͑Δɽؔ਺Λඍ෼ 0 ܗࣜͱݺͼɼf = f dq
    10
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12. 内部積
    q ) ͷؔ਺ U(q) ͷશඍ෼͸
    ɽ͜ΕҎ߱ɼಉ߲͡Ͱఴࣈ͕
    ͦͷఴࣈͷ࿨ΛऔΔɽϕΫτϧ
    ι Λ ιX (dU) = X(U) = Xi ∂U
    ∂qi
    ܗࣜͱݺͼɼf = fidqi ͷܗʹ
    ɽ಺෦ੵ ι ͸ ιX (f) = Xifi
    ͱ
    ͞
    ݪ
    ͑
    ࣜ
    ෆ
    dU(q) = ∂U
    ∂qi
    dqi ͱͳΔɽ͜ΕҎ߱ɼಉ
    ্ԼͰॏͳΔ৔߹͸ɼͦͷఴࣈͷ࿨Λऔ
    X = Xi ∂
    ∂qi
    ͱͷ಺෦ੵ ι Λ ιX(dU) =
    Ͱ༩͑Δɽؔ਺Λඍ෼ 0 ܗࣜͱݺͼɼf
    ͳΔ΋ͷΛ 1 ܗࣜͱݺͿɽ಺෦ੵ ι ͸ ιX
    ܭࢉ͢Δɽ
    ΢Σ
    οδੵ ∧ Λ dqi ∧ dqj = −dqj ∧
    ͷ఺ͱͯ͠ه࿥͢
    ্ۭؒͷۂઢͰද͞
    ৚݅ͱͳΓɼม෼ݪ
    ؔ਺ʹఀཹ஋Λ༩͑
    ɽ
    ඞཁ৚݅Λඍ෼ܗࣜ
    ม਺ q = (q1, · · · , qn
    dU(q) = ∂U
    ∂qi
    dqi ͱͳΔɽ
    ্ԼͰॏͳΔ৔߹͸ɼͦͷ
    X = Xi ∂
    ∂qi
    ͱͷ಺෦ੵ ι Λ
    Ͱ༩͑Δɽؔ਺Λඍ෼ 0 ܗ
    ͳΔ΋ͷΛ 1 ܗࣜͱݺͿɽ
    ؔ਺ U(q) ͷશඍ෼͸
    Ҏ߱ɼಉ߲͡Ͱఴࣈ͕
    ࣈͷ࿨ΛऔΔɽϕΫτϧ
    (dU) = X(U) = Xi ∂U
    ∂qi
    ݺͼɼf = fidqi ͷܗʹ
    ੵ ι ͸ ιX(f) = Xifi
    ͱ
    c constraint
    ؔ਺ U(q) ͷશඍ෼͸
    ΕҎ߱ɼಉ߲͡Ͱఴࣈ͕
    ࣈͷ࿨ΛऔΔɽϕΫτϧ
    (dU) = X(U) = Xi ∂U
    ∂qi
    ͱݺͼɼf = fidqi ͷܗʹ
    ੵ ι ͸ ιX (f) = Xifi
    ͱ
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13. ウェッジ積
    ݅Λඍ෼ܗࣜ
    ࠲ඪม׵Ͱෆ
    ͋Δ 2,3)ɽ
    ͢ɽ߆ଋ৚݅
    ܥΛඇϗϩϊ
    ܥʹͳ͓ͬͯ
    ଞͷ෺ཧྔͷ
    ͭ͘ɽຊߘͰ
    ɼ͜ΕΛ೪ੑ
    ͳΔ΋ͷΛ 1 ܗࣜͱݺͿɽ಺෦ੵ ι ͸ ιX (f)
    ܭࢉ͢Δɽ
    ΢Σ
    οδੵ ∧ Λ dqi ∧ dqj = −dqj ∧ dqi Λ
    ࢉͱఆΊΔɽ໌Β͔ʹ dqi ∧ dqi = 0 ͱͳΔ
    dqi ∧ dqj ʹର͠ɼ಺෦ੵ ι Λ
    ιY ιX (dqi ∧ dqj)
    = ιY (ιX dqi)dqj − dqi(ιX dqj)
    = (ιX dqi)(ιY dqj) − (ιY dqi)(ιX dqj)
    ͱܭࢉ͢Δɽ͜Ε͸ X ͱ Y Λลͱ͢Δฏߦ
    ܗࣜͱݺͿɽ಺෦ੵ ι ͸ ιX(f) = Xifi
    ͱ
    ∧ Λ dqi ∧ dqj = −dqj ∧ dqi Λຬͨ͢ԋ
    ໌Β͔ʹ dqi ∧ dqi = 0 ͱͳΔɽ2 ܗࣜ
    ͠ɼ಺෦ੵ ι Λ
    (dqi ∧ dqj)
    Xdqi)dqj − dqi(ιXdqj)
    ͳΔ΋ͷΛ 1 ܗࣜͱݺͿɽ಺෦ੵ ι ͸ ιX(f) = Xifi
    ͱ
    ܭࢉ͢Δɽ
    ΢Σ
    οδੵ ∧ Λ dqi ∧ dqj = −dqj ∧ dqi Λຬͨ͢ԋ
    ࢉͱఆΊΔɽ໌Β͔ʹ dqi ∧ dqi = 0 ͱͳΔɽ2 ܗࣜ
    dqi ∧ dqj ʹର͠ɼ಺෦ੵ ι Λ
    ιY ιX(dqi ∧ dqj)
    = ιY (ιXdqi)dqj − dqi(ιXdqj)
    = (ιXdqi)(ιY dqj) − (ιY dqi)(ιXdqj) (1)
    ͱܭࢉ͢Δɽ͜Ε͸ X ͱ Y Λลͱ͢Δฏߦ࢛ลܗͷ
    ޲͖Λߟྀͨ͠໘ੵʹͳΔɽ
    12
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14. 外微分
    ɽ
    ޲͖Λߟྀͨ͠໘ੵʹͳΔɽ
    1 ܗࣜͷ֎ඍ෼ d Λ
    df = d(fjdqj) = dfj
    ∧ dqj =
    ∂fj
    ∂qi
    dqi ∧ dqj
    ͰఆΊΔɽf = dU ͳΒ͹ɼ໌Β͔ʹ ddU = 0 ͱͳ
    Ұൠʹ֎ඍ෼ d ͸ႈྵ (dd = 0) Ͱ͋Δɽ
    1 ܗࣜͷੵ෼͸ઢੵ෼Ͱ͋Γɼ2 ܗࣜͷੵ෼͸໘
    ʹͳΔɽͲͪΒ΋޲͖͕͋ΔɽετʔΫεͷఆཧΑ
    ߟྀͨ͠໘ੵʹͳΔɽ
    ࣜͷ֎ඍ෼ d Λ
    = d(fjdqj) = dfj
    ∧ dqj =
    ∂fj
    ∂qi
    dqi ∧ dqj (2)
    Δɽf = dU ͳΒ͹ɼ໌Β͔ʹ ddU = 0 ͱͳΔɽ
    ֎ඍ෼ d ͸ႈྵ (dd = 0) Ͱ͋Δɽ
    ࣜͷੵ෼͸ઢੵ෼Ͱ͋Γɼ2 ܗࣜͷੵ෼͸໘ੵ෼
    ɽͲͪΒ΋޲͖͕͋ΔɽετʔΫεͷఆཧΑΓɼ
    ฒ
    ೋ
    Ί
    ӡ
    ɽ
    ΁
    Δ
    ޲͖Λߟྀͨ͠໘ੵʹͳΔɽ
    1 ܗࣜͷ֎ඍ෼ d Λ
    df = d(fjdqj) = dfj
    ∧ dqj =
    ∂fj
    ∂qi
    dqi ∧
    ͰఆΊΔɽf = dU ͳΒ͹ɼ໌Β͔ʹ ddU
    Ұൠʹ֎ඍ෼ d ͸ႈྵ (dd = 0) Ͱ͋Δɽ
    1 ܗࣜͷੵ෼͸ઢੵ෼Ͱ͋Γɼ2 ܗࣜͷ
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15. 外微分 d
    grad f: d𝑓 =
    𝜕𝑓
    𝜕𝑥#
    d𝑥# +
    𝜕𝑓
    𝜕𝑥$
    d𝑥$ +
    𝜕𝑓
    𝜕𝑥%
    d𝑥%
    rot 𝜶: d .
    &
    %
    (𝛼&
    𝑑𝑥&) = .
    ',&
    % 𝜕𝛼&
    𝜕𝑥'
    d𝑥' ∧ 𝑑𝑥&
    =
    𝜕𝛼)
    𝜕𝑥
    −
    𝜕𝛼*
    𝜕𝑦
    d𝑥 ∧ 𝑑𝑦 + ⋯
    d𝑥
    d𝑦
    d𝑥 ∧ d𝑦=−(d𝑦 ∧ dz)
    ⼀形式 𝜶 = ∑'
    𝛼'
    d𝑥'
    14
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16. Lie微分
    ∂S
    f =
    S
    df (3)
    ͳΔɽ1 ܗࣜ f ͷϕΫτϧ X ʹԊͬͨϦʔඍ෼ LX
    ࠩ෼ͷۃݶͱͯ͠
    LX (fidqi)
    := lim
    α→0
    1
    α
    fi(qj + αXj)d(qi + αXi) − fi(qj)dqi
    = X(fi)dqi + fidXi (4)
    ఆΊΔɽҰํͰɼ
    (dι + ι d)(f dqi)
    ∂Sα = C0
    − C
    ˜
    H(p, q, u) :=
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ =
    d˜
    Ξ = dp
    = d
    −
    ∂
    ∂
    ΛಘΔɽӡಈۂ
    ∂S
    f =
    S
    df (3)
    ͱͳΔɽ1 ܗࣜ f ͷϕΫτϧ X ʹԊͬͨϦʔඍ෼ LX
    Λࠩ෼ͷۃݶͱͯ͠
    LX (fidqi)
    := lim
    α→0
    1
    α
    fi(qj + αXj)d(qi + αXi) − fi(qj)dqi
    = X(fi)dqi + fidXi (4)
    ͰఆΊΔɽҰํͰɼ
    (dιX + ιX d)(fidqi)
    = d(ιX (fidqi)) + ιX (dfi
    ∧ dqi)
    = d(Xifi) + X(fi)dqi − Xidfi
    ∂Sα = C0
    − Cα
    ͱ͠
    ˜
    H(p, q, u) := pu −
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq −
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq −
    = dp +
    ∂
    ∂
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt
    ∂S
    f =
    S
    df (3)
    ͱͳΔɽ1 ܗࣜ f ͷϕΫτϧ X ʹԊͬͨϦʔඍ෼ LX
    Λࠩ෼ͷۃݶͱͯ͠
    LX (fidqi)
    := lim
    α→0
    1
    α
    fi(qj + αXj)d(qi + αXi) − fi(qj)dqi
    = X(fi)dqi + fidXi (4)
    ͰఆΊΔɽҰํͰɼ
    (dιX + ιXd)(fidqi)
    = d(ιX (fidqi)) + ιX(dfi
    ∧ dqi)
    = d(Xifi) + X(fi)dqi − Xidfi
    = X(fi)dqi + fidXi (5)
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    H
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    d
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ d
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt
    ∂
    ∂
    ͱ͠ɼม෼Λ༩͑ΔϕΫ
    x
    𝑓
    15
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17. 微分形式 内部積 𝜄8
    𝒗
    とリー微分 ℒ8
    𝒗
    ベクトル場 8
    𝒗 = 𝑣'
    𝜕
    𝜕𝑥'
    ⼀形式 𝜶 = ∑'
    𝛼'
    d𝑥'
    内部積 𝜄+
    𝒗
    𝜶 = ∑'-#
    % 𝑣'
    𝛼'
    𝜄+
    𝒗
    𝜶 ∧ 𝜷 = 𝜄+
    𝒗
    𝜶 ∧ 𝜷 − 𝜄+
    𝒗
    𝜷 ∧ 𝜶
    リー微分 ℒ.
    /
    𝜶 = 𝜄+
    𝒗
    d𝜶 + d𝜄+
    𝒗
    𝜶
    = −𝒗×rot 𝜶 + grad 𝒗, 𝜶
    16
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18. ストークスの定理
    ー ク リ ッ ド 空 間 ℝ で の 座 標 を x= (x ,
    x) と書く．ℝ 上の関数 f(x) を 0 形式と呼び，
    分を df:=
    
    
    ∂f
    ∂x
    dx と定める．微積分学の
    定理は，γ：[a,b]→ℝ として，
    
    df=fγb
    γ(a)) と書ける．1 形式 α=
    
     α
    dx の外微
    ，d(
    
     α
    dx)=
     
    
    ∂α
    ∂x
    dx∧dx である．
    こ で dx∧dx=−dx∧dx で あ る．2 形 式
    の 座 標 を x= (x ,
    ) を 0 形式と呼び，
    める．微積分学の
    て，
    
    df=fγb
    
    
     α
    dx の外微
    dx∧dx である．
    理を高速化でき
    という．Elkur-
    により，これを
    ードに均等にデ
    列性があるとい
    x, x) と書く．ℝ 上
    外微分を df:=
    
    
    ∂
    ∂
    基本定理は，γ：[a,b]
    −f(γ(a)) と書ける．
    分は，d(
    
     α
    dx)=
    こ こ で dx∧dx=−
    !
    !
    𝑑𝑓 = %
    "!
    𝑓
    17
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19. ストークスの定理
    !
    !
    𝑑𝑓 = %
    "!
    𝑓
    18
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20. 運動を曲線で記述
    d𝑞
    d𝑡
    = 𝑢
    位置q
    t
    運動は
    を満たす。
    ↓u
    19
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21. 運動を曲線で記述
    t
    q
    u
    𝐶"
    曲線 𝐶!
    は拘束条件
    を満たす。
    ∫
    !"
    d𝑞 − 𝑢d𝑡 =0
    20
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22. 変分原理
    1 ࣍ݩͷ࣭఺ͷӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    ͷ࣭఺ͷঢ়ଶ͸Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    Ґஔ q ͷ࣌ؒൃల͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ఆ·Γɼ(q, u, t) ۭؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    C0
    (dq − udt) = 0 (1)
    Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    ͕ಘΒΕΔ
    ࣭఺ͷ଎
    ͱ͔Βɼ଎
    Ұൠతʹ੍
    Ͱ͖ɼࣜ (
    t
    q
    u
    𝐶!
    𝐶"
    ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    ஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    dq − udt) = 0 (1)
    τϯͷݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃ
    ͱ͔Βɼ଎౓ u ͸ঢ়ଶྔ q ͷ੍
    Ұൠతʹ੍ޚ͸ F(q, u) ͱؔ਺Ͱ
    Ͱ͖ɼࣜ (1) ͸࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽ
    C
    (dq − F(q, u)dt) =
    曲線 𝐶!
    の拘束条件の下
    作⽤汎関数が停留値を取る。
    C0
    Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱ,
    άϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 C
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −
    ∫
    !"
    d𝑞 − 𝑢d𝑡 =0
    21
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23. 未定乗数法
    未定乗数を 𝑝とし微分⼀形式
    を定め、
    となる⼗分条件を求める。
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ࣜ
    Ϩ
    ಉ
    3
    ଶ
    ɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    Γɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    τϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    ࣜ (4) Ͱ
    Ϩϋϛϧ
    ಉ༷ʹ͠
    3 ߆ଋ
    ϥάϥ
    ͑Δɽഔհม਺ α ʹ͍ͭͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͱͳΓɼ∂Sα := C0 −Cα
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ϛϧτϯͷݪཧ͸पճੵ෼ͰදͤΔɽ
    lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    L(q, u)dt = 0 (2)
    ࣜ (1) ͱ (2) ΑΓɼ˜
    Ξ := Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    C
    (dq − F(q, u)
    ࣜ (4) Ͱ ˜
    H(p, q, u) := pF(q
    ϨϋϛϧτχΞϯ͸࠶ఆٛ͞
    ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (9
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W
    0 = U(s, q, t) := s
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛο
    ∫
    #!
    d𝑞 − 𝑢d𝑡 =0
    subject to
    22
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24. 正準⽅程式の導出
    α→0 α ∂Sα
    α→0 α Sα
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    −
    ∂ ˜
    H
    du ∧ dt
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ଶྔ
    ͱͳ
    ະఆ
    0=
    ࣜ (
    ͳΔ
    where
    微分⼀形式
    の外微分を計算する。
    23
    DeepFlow, Inc.
    

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25. 正準⽅程式
    ɽ࠷
    Δ
    ఆ
    ͏
    ߘ
    Β
    ଓ
    dt dt ∂p dt ∂q
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    ਂ઒ ޺थ
    1DeepFlow גࣜձࣾ
    e-mail : hiroki.fukagawa@deepflow.co.jp
    ֓ཁ
    ෼ݪཧ͸ɼ
    ʮӡಈ͕ඳ͘ۂઢ͸൚ؔ਺ʹఀཹ
    ༩͑Δʯͱ͍͏ܗͰӡಈ๏ଇΛ༩͑Δɽ࠷
    ɼ͜ΕΛඍ෼ܗࣜΛ࢖ͬͯදݱ͢Δɽ͋Δ
    ྔͷ஋Λಉ࣌ࠁͷଞͷ෺ཧྔͷ஋͚ͩͰఆ
    ߆ଋ৚݅ΛϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏
    ͍΋ͷΛඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘ
    ɼඇϗϩϊϛοΫ߆ଋͰඍ෼ܗࣜͰ༩͑Β
    ܥͷӡಈΛඍ෼ܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    ͷ֦ுΛࣔ͢ [2, 3, 4]ɽ
    ਖ਼४ํఔࣜͷಋग़
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧΛ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt
    ∂
    ∂p
    +
    dq
    dt
    ∂
    ∂q
    +
    du
    dt
    ∂
    ∂u
    +
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q))
    ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͼɼͦ͏
    ϩϊϛοΫ߆ଋͱݺͿɽຊߘ
    οΫ߆ଋͰඍ෼ܗࣜͰ༩͑Β
    ඍ෼ܗࣜͰఆࣜԽ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    [2, 3, 4]ɽ
    ͷಋग़
    ӡಈΛߟ͑Δɽ࣭఺ͷ࣌ࠁ t
    Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱ
    ۭؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    (dq − udt) = 0 (1)
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q))
    ͱ͢Ε͹ɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂H
    ∂q
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾ
    t
    p, q, u
    𝐶!
    ͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔ਺ͱ͠ɼ
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W(q, t) ͱͳΔͱ
    0 = U(s, q, t) := s − W(q, t) (
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱݺ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧d
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt (
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    χΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    3
    ϥ
    ଶྔ
    ͱͳ
    ະఆ
    0=
    = 0
    where
    flow.co.jp
    ؔ਺ʹఀཹ
    ༩͑Δɽ࠷
    ͢Δɽ͋Δ
    ஋͚ͩͰఆ
    ݺͼɼͦ͏
    ݺͿɽຊߘ
    ࣜͰ༩͑Β
    ͠ [1]ɼ࿈ଓ
    ఺ͷ࣌ࠁ t
    ༩͑ΒΕΔɽ
    Γ଎౓ u Ͱ
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧΛ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt
    ∂
    ∂p
    +
    dq
    dt
    ∂
    ∂q
    +
    du
    dt
    ∂
    ∂u
    +
    ∂
    ∂t
    (6)
    ͱ͢Ε͹ɼࣜ (3) ΑΓӡಈ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0 (7)
    Λຬͨ͢ɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (4) ʹ
    ୅ೖ͠ɼϋϛϧτχΞϯΛ
    H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q)) (8)
    ͱ͢Ε͹ɼӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔࣜ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂H
    ∂q
    (9)
    正準⽅程式
    ͹Εɼ೚ҙͷඍ෼ n ܗࣜʹͭ
    ɽ
    ͭͰ͋Δϋϛϧτϯͷݪཧ 1)
    ද͠ɼ࠷ద੍ޚཧ࿦ͷ؍఺͔Β
    ରশੑͱอଘଇͷؔ܎Λࣔ͢ɽ
    ҳܥ΁ͷ֦ுΛߦ͏ɽ
    Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    /dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱఆ·Γɼ
    ͱ͢Δɽͳ͓ɼδ ͸ඍখྔΛද͢ه߸
    ༻͍ͯɼ޲͖Λߟྀͨ͠໘ੵΛ Sα =
    ͹ɼࣜ (9) ΑΓ ιY α
    [ιXC0
    (d˜
    Ξ)] = 0 Λ
    ͸೚ҙͳͷͰɼ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0
    ͱͳΓɼࣜ (11) ΑΓɼ
    dq
    dt
    =
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    ,
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    = 0
    ˜ ∗
    := lim
    α→0
    1
    α
    fi(qj + αXj)d(qi + αXi) − fi(qj)dqi
    = X(fi)dqi + fidXi (4)
    ͰఆΊΔɽҰํͰɼ
    (dιX + ιX d)(fidqi)
    = d(ιX (fidqi)) + ιX (dfi
    ∧ dqi)
    = d(Xifi) + X(fi)dqi − Xidfi
    = X(fi)dqi + fidXi (5)
    ͳΓɼඍ෼ 1 ܗࣜʹରͯ͠ LX = dιX + ιX d ͱͳΔɽ
    ͜Ε͸ Cartan ͷެࣜͱݺ͹Εɼ೚ҙͷඍ෼ n ܗࣜʹͭ
    ͍ͯ΋ಉ༷ʹ੒Γཱͭ 2,3)ɽ
    3 ม෼ݪཧ
    ྗֶͰͷม෼ݪཧͷҰͭͰ͋Δϋϛϧτϯͷݪཧ 1)
    ͷඞཁ৚݅Λඍ෼ܗࣜͰද͠ɼ࠷ద੍ޚཧ࿦ͷ؍఺͔Β
    ߋʹҰൠԽ͢Δɽ࣍ʹɼରশੑͱอଘଇͷؔ܎Λࣔ͢ɽ
    ࠷ޙʹɼ߆ଋܥ͓Αͼࢄҳܥ΁ͷ֦ுΛߦ͏ɽ
    3.1 ϋϛϧτϯͷݪཧ
    ࣌ࠁ t ͷ࣭఺ͷঢ়ଶ͸Ґஔ q ͱ଎౓ u Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    Ґஔ q ͷ࣌ؒൃల͸ɼdq/dt = u ΑΓ଎౓ u Ͱఆ·Γɼ
    (q, u, t) ۭؒͰӡಈۂઢ C0
    ͸
    C0
    (dq − udt) = 0 (6)
    Λຬͨ͢ɽϋϛϧτϯͷݪཧʹΑΔͱɼۂઢ C0
    ͸ϥά
    ϥϯδΞϯ L(q, u) ͷ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩͑Δɽα Λ
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (
    ΛಘΔɽӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧΛ
    XC0
    :=
    dC0
    dt
    =
    dp
    dt
    ∂
    ∂p
    +
    dq
    dt
    ∂
    ∂q
    +
    du
    dt
    ∂
    ∂u
    +
    ∂
    ∂t
    (
    ͱ͠ɼม෼Λ༩͑ΔϕΫτϧΛ
    Yα := δpα
    ∂
    ∂p
    + δqα
    ∂
    ∂q
    + δuα
    ∂
    ∂u
    + δtα
    ∂
    ∂t
    (
    ͱ͢Δɽͳ͓ɼδ ͸ඍখྔΛද͢ه߸Ͱ͋Δɽ֎ੵ ×
    ༻͍ͯɼ޲͖Λߟྀͨ͠໘ੵΛ Sα = XC0
    ×Y α
    ͱ͢
    ͹ɼࣜ (9) ΑΓ ιY α
    [ιXC0
    (d˜
    Ξ)] = 0 ΛಘΔɽ͜͜Ͱ Y
    ͸೚ҙͳͷͰɼ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ) = 0 (
    ͱͳΓɼࣜ (11) ΑΓɼ
    dq
    dt
    =
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    ,
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    = 0 (
    ΛಘΔɽ∂ ˜
    H/∂u = 0 ͷղ u∗(p, q) Λࣜ (10) ʹ୅ೖ
    ϋϛϧτχΞϯΛ H(p, q) := ˜
    H(p, q, u∗(p, q)) ͱ͢Ε
    ӡಈํఔࣜͰ͋Δਖ਼४ํఔࣜ
    dq
    dt
    =
    ∂H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂H
    ∂q
    (
    ͕ಘΒΕΔɽ 24
    DeepFlow, Inc.
    

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26. Xφ :=
    dφ
    dα
    =
    dp
    dα
    ∂
    ∂p
    +
    dq
    dα
    ∂
    ∂q
    +
    dt
    dα
    ∂
    ∂
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ))
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশੑΛ࣋ͭͱ
    運動は dΞ で与えられる。
    dΞ のベクトル𝑋$
    に沿ったリー微分が0になるとき
    系は𝑋$
    について対称性をもつ。
    ネータの定理：対称性と保存則
    ωʔλʔͷఆཧ͸ɼܥͷ࿈ଓతͳରশੑʹԠ
    ଇ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛओு͢Δɽඍ෼ܗࣜΛ࢖͑
    Λ؆୯ʹࣔͤΔɽҠಈ φ(α) : (p0, q0, t0) → (p
    Ͱ dΞ := d(pdq − Hdt) ͕ෆมͳͱ͖ɼܥ͸ φ
    ͯ͠ରশੑΛ࣋ͭͱݴ͏ɽҠಈ͕ 1 ܘ਺ม׵܈
    Xφ :=
    dφ
    dα
    =
    dp
    dα
    ∂
    ∂p
    +
    dq
    dα
    ∂
    ∂q
    +
    dt
    dα
    ∂
    ∂t
    ʹର͠ɼ
    𝑋$
    dΞ
    25
    DeepFlow, Inc.
    

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27. 対称性と保存則
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশ
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d =
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋
    𝜄"#
    dΞ = −d𝐺(𝑞, 𝑝)
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ))
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশੑΛ࣋
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d = dιXφ
    d
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋ͬͯɼ
    ιXφ
    (dΞ) = −dG
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋ͬͯɼ
    ιXφ
    (dΞ) = −dG (20)
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞Βʹ Xφ
    ͕ɼ
    XG := −
    ∂G
    ∂q
    ∂
    ∂p
    +
    ∂G
    ∂p
    ∂
    ∂q
    (21)
    Λ༻͍ͯɼXφ = XG
    Ͱ༩͑ΒΕΕ͹ɼࣜ (16) ͔Βɼ
    ιXG
    (dΞ) = ιXG
    (dp ∧ dq) − XG(H)dt
    = −dG −
    ∂G
    ∂p
    ∂H
    ∂q
    −
    ∂G
    ∂q
    ∂H
    ∂p
    dt
    = −dG +
    dG
    dt
    dt (22)
    dG
    ະ ఆ ৐ ਺ ๏ Λ ༻
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ d
    ͱࣜ (28) ͱͷ૊ʹ
    ͸߆ଋܥͷӡಈΛද
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓
    dp ∧ dq −
    = dp +
    ∂
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    −
    ιXφ
    (dΞ) = −dG
    ͱͳΕ͹ɼࣜ (19) ͸ຬͨ͞ΕΔɽ͞
    XG := −
    ∂G
    ∂q
    ∂
    ∂p
    +
    ∂G
    ∂p
    ∂
    ∂q
    Λ༻͍ͯɼXφ = XG
    Ͱ༩͑ΒΕΕ͹
    ιXG
    (dΞ) = ιXG
    (dp ∧ dq) − XG
    = −dG −
    ∂G
    ∂p
    ∂H
    ∂q
    −
    where
    26
    DeepFlow, Inc.
    

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28. 最適制御理論 d𝑞
    d𝑡
    = 𝑢
    状態：q
    t
    #$
    #%
    = 𝐹(𝑞, 𝑢)
    ӡಈۂઢ C0
    ͸
    dt) = 0 (1)
    ݪཧʹΑΔͱ, C0
    ͸ϥ
    ࣌ؒੵ෼ʹఀཹ஋Λ༩
    ͯɼlimα→0 Cα = C0
    ͕ดۂઢΛͳͤ͹ɼϋ
    ෼ͰදͤΔɽ
    , u)dt = 0 (2)
    Ldt+p(dq −udt) ͱ
    ΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    ͕ಘΒΕΔɽ
    ࣭఺ͷ଎౓ u ͕Ґஔ q ͷ࣌ؒൃలΛܾΊΔ
    ͱ͔Βɼ଎౓ u ͸ঢ়ଶྔ q ͷ੍ޚͱΈͳͤΔ
    Ұൠతʹ੍ޚ͸ F(q, u) ͱؔ਺Ͱ༩͑Δ͜ͱ
    Ͱ͖ɼࣜ (1) ͸࣍ͷΑ͏ʹҰൠԽͰ͖Δ [5]ɽ
    C
    (dq − F(q, u)dt) = 0 (1
    ࣜ (4) Ͱ ˜
    H(p, q, u) := pF(q, u) − L(q, u) ͱ
    ϨϋϛϧτχΞϯ͸࠶ఆٛ͞Εɼࣜ (5) Ҏ߱
    ಉ༷ʹͯ͠ɼਖ਼४ํఔࣜ (9) ͕ಘΒΕΔ [2,
    27
    DeepFlow, Inc.
    

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29. 拘束系の運動⽅程式
    状態：
    q,s
    t
    状態 qとsは拘束条件
    を満たす。
    ΫεͷఆཧΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    (p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    q, u) := pu − L(q, u) (4)
    pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    ˜
    H
    3 ߆ଋܥͷӡಈ๏ଇ
    ϥάϥϯδΞϯ L Λ (q, u, s) ͷؔ਺ͱ
    ଶྔ s ͕ଞͷঢ়ଶྔͷؔ਺ W(q, t) ͱͳ
    0 = U(s, q, t) := s − W(q, t)
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUd
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯ
    ιXC0
    β =
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼ
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 Λ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖
    28
    DeepFlow, Inc.
    

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30. 拘束系の運動⽅程式
    (4)
    (5)
    ͱͳΓɼ͜ΕΛϗϩϊϛοΫ߆ଋ৚݅ͱݺͿɽ
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (12)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱ
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt (13)
    21.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    ͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    Udt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt) (12)
    Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧dt ͱ
    ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    Tds + fdq + Qdt (13)
    Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͱ
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0 (14)
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    β = TdU Ͱ͋Ε͹ɼf = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͳΓɼࣜ (12) ͔Βɼ(p, q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    ιXC0
    β = 0 (1
    where
    𝑈 𝑞, 𝑠, 𝑡 = 𝑠 − 𝑊 𝑞, 𝑡 = 0
    because of
    𝛽 ∧ d𝑡
    ͷ઀ϕΫτϧ XC0
    ʹ͍ͭͯɼ
    ιXC0
    β = 0
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 Λಘ
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ d
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧
    ∂ ˜
    H
    Ref.
    29
    DeepFlow, Inc.
    

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31. 拘束系の運動⽅程式
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt ͸ɼ
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    − f dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T ds ∧ dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (16)
    Ϋ
    ͳ
    Ε
    5
    ιXC0
    β = 0 (14)
    ະఆ৐਺๏Λ༻͍Ε͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    ιXC0
    (d(˜
    Ξ + TUdt)) = 0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ιXC0
    (d˜
    Ξ + β ∧ dt) = 0 (15)
    ͱࣜ (14) ͱͷ૊ʹ෼ղͰ͖Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    ͷӡಈΛදݱ͢ΔॏཁͳࣜͰ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    ͷى఺ͱͳΔɽͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt ͸ɼ
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    Ͱ༩͑
    ∂ui
    ∂t
    ∂
    ∂ui
    Ϋτϧ
    ͳ͓ɼ
    d
    ∧
    ∧d
    d'
    Ξ + 𝛽 ∧ d𝑡 =
    − d ˜
    H ∧ dt
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    u ∧ dt (5)
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt
    1 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    𝑈 𝑞, 𝑠, 𝑡 = 𝑠 − 𝑊 𝑞, 𝑡 = 0
    30
    DeepFlow, Inc.
    

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32. ⾮ホロノミック拘束系の運動⽅程式
    dp ∧ dq − (d ˜
    H − β) ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    − f dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T ds ∧ dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (16)
    ܭࢉͰ͖ɼࣜ (15) ΑΓ࣍ΛಘΔɽ
    dq
    dt
    =
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    ,
    dp
    dt
    = −
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    + f, (17)
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    − T = 0,
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    = 0 (18)
    ্͔Βɼӡಈ͸ࣜ (14)ɼ(17)ɼ(18) Λຬͨ͢ɽ
    ∧dt − ∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)
    −
    ࣜ (22) ͷୈ 2 ߦ·ͰΑΓ
    Εɼୈ 3 ߦΑΓڥք৚͕݅
    5 ·ͱΊ
    ϋϛϧτϯͷม෼ݪཧʹΑ
    ۂઢ C0
    ͸ 1 ܗࣜ ˜
    Ξ ͷઢੵ෼
    ͜ͷͱ͖ͷඞཁ৚݅͸ࣜ (7
    ఆࣜԽͰ͸ɼ͜Εͦ͜Λӡಈ
    ঢ়ଶྔؒͷ߆ଋ͕ β Λ༻͍ͯ
    Δ৔߹ʹ͸ɼӡಈ͸ࣜ (15) Λ
    ଓମ΁ͷ֦ுʹ͓͍ͯ΋ɼ(
    𝑇
    d𝑠
    d𝑡
    + 𝑓
    d𝑞
    d𝑡
    + 𝑄 = 0
    𝜄#!"
    𝛽 = 0
    𝜄#!"
    (d+
    Ξ + 𝛽 ∧ d𝑡) = 0
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ະఆ৐਺ T ʹର͠ɼ ͕࣍ຬͨ͞ΕΔɽ
    0= lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    TUdt = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d(TUdt)
    ࣜ (11) Λߟྀ͢Ε͹ɼd(TUdt) = TdU ∧d
    ͳΔɽ͜͜Ͱඍ෼ 1 ܗࣜ β Λಋೖ͢Δɽ
    β := Tds + fdq + Qdt
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C) 2021 Ұൠࣾஂ๏ਓ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ
    0 = lim
    α→0
    1
    α ∂Sα
    ˜
    Ξ = lim
    α→0
    1
    α Sα
    d˜
    Ξ (3)
    ∂Sα
    ͱ Sα
    ͸ɼ(p, q, u, t) ্ۭؒͷ޲͖෇͖ͷด
    ۂઢͱͦΕʹғ·Εͨ໘ੵͰ͋ΔɽϓϨϋϛϧ
    τχΞϯΛ
    ˜
    H(p, q, u) := pu − L(q, u) (4)
    ͱ͢Ε͹ɼ˜
    Ξ = pdq − ˜
    Hdt ͱͳΓɼ
    d˜
    Ξ = dp ∧ dq − d ˜
    H ∧ dt
    = dp +
    ∂ ˜
    H
    ∂q
    dt ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    −
    ∂ ˜
    H
    ∂u
    du ∧ dt (5)
    ϥάϥϯ
    ଶྔ s ͕ଞͷ
    0 =
    ͱͳΓɼ͜
    ະఆ৐਺ T
    0= lim
    α→0
    1
    α
    ࣜ (11) Λߟ
    ͳΔɽ͜͜
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9) Copyright (C)
    Where
    𝑈 𝑞, 𝑠, 𝑡 = 𝑠 − 𝑊 𝑞, 𝑡 = 0
    31
    DeepFlow, Inc.
    

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33. 対称性と保存則
    ʹର͠ɼ
    0 = LXφ
    (dΞ) = d(ιXφ
    (dΞ
    ͱͳΕ͹ɼܥ͸࿈ଓͳରশ
    LXφ
    d = (dιXφ
    + ιXφ
    d)d =
    ΋͠ɼ͋Δؔ਺ G(p, q) ͕͋
    t
    p, q, s
    dΞ + 𝛽 ∧ d𝑡
    𝑋$
    𝜄"#
    dΞ + 𝛽 ∧ d𝑡 = −d𝐺(𝑞, 𝑝)
    32
    DeepFlow, Inc.
    

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34. 連続体への拡張
    Λ x = (x1, x2, x3) ͱ͠ɼ৔ͷڞมඍ෼ ∇∂/∂xj
    Λ ∇j
    ͱ
    ॻ͘ɽεΧϥʔ৔ʹ͸ ∇j
    ͸ภඍ෼ ∂j
    ʹͳΔɽຊߘͰ
    ͸ϨϏɾνϏλ઀ଓͰڞมඍ෼Λ༩͑Δɽܭྔςϯιϧ
    gijdxi ⊗ dxj ͸ ∇kgij = 0 Λຬͨ͢ɽͭ·ΓܭྔΛอଘ
    ͢Δɽܭྔ gij
    Λ x ͷؔ਺ͱͯ͠ɼ
    √
    g := |detgij
    | ͱ
    ͢Ε͹ɼମੵཁૉ͸ ∗1 =
    √
    gdx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ͱॻ͚Δɽ
    ৔Λ ri ͱ͠ɼؔ਺ f(ri, ∇jri) ͷ֎ඍ෼ df Λ
    ∂f
    ∂ri
    dri +
    ∂f
    ∂∇jri
    ∇j(dri)
    =
    ∂f
    ∂ri
    − ∇j
    ∂f
    ∂∇jri
    dri + ∇j
    ∂f
    ∂∇jri
    dri (36)
    ͱఆΊɼϕΫτϧ৔ X = Xi ∂
    ∂ri
    ͱͷ಺෦ੵΛ
    ιXdf = Xi
    ∂f
    ∂ri
    − ∇j
    ∂f
    ∂∇jri
    +∇j Xi
    ∂f
    ∂∇jri
    (37)
    ͱఆΊΔɽ
    4.2 ৔ͷӡಈ๏ଇ
    ৔ͷӡಈ๏ଇΛࣜ (28) ͱ (29) ʹରԠ͢ΔܗͰ༩͑Δɽ
    (∇ivi) ∗ 1 = ∂i( gvi)dx1 ∧dx2 ∧dx3
    ͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͨɽσΟϦΫϨڥք৚݅
    δqi
    α
    (x) = δt = 0, x ∈ ∂V
    ͸ࣜ (42) Λຬͨ͠ɼڥք ∂V ্Ͱͷ (qi, t) ͷ஋
    ͢ΔɽҎ߱ͷڥք৚݅Λࣜ (44) Ͱ༩͑Δɽ
    4.3 ৔ͷରশੑͱอଘଇ
    ରশੑͱอଘଇͷؔ܎Λௐ΂Δɽ3.5 અͷٞ࿦
    ͢ΔɽϋϛϧτχΞϯີ౓ H ͕ٻ·ͬͨͱ͢Δ
    τϧ Xφ
    ͕
    V
    ιY d ιXφ
    (dΞ + β ∧ dt) = 0
    Λຬͨ͢ྫΛ୳ͦ͏ɽ͋Δؔ਺ G(pi,qi,∂jqi) ͕
    XG = −
    ∂G
    ∂qi
    − ∇j
    ∂G
    ∂(∂jqi)
    ∂
    ∂pi
    +
    ∂G
    ∂pi
    ∂
    ∂qi
    t
    r(x),∇j
    r(x)
    u
    33
    DeepFlow, Inc.
    

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35. 連続体への拡張
    ͑Δɽ৔ (pi, qi, s, ui) ͷӡಈํఔࣜΛٻ
    ϓϨϋϛϧτχΞϯີ౓Λ ˜
    H(pi, qi, ∇jq
    ͱ͢ΔɽఈۭؒͷମੵཁૉΛ ∗1 ͱ͠ɼ
    ˜
    Ξ := ∗1 ∧ pidqi − ˜
    Hdt
    ͰఆΊΔɽະఆ৐਺৔Λ T ͱ͠ɼβ Λఆ
    β := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηj
    i
    ∇j(dqi) +
    ζi, ηj, Q ͸৔ͱͦͷڞมඍ෼ ∇j
    ͷؔ਺
    ͰఆΊΔɽະఆ৐਺৔Λ T ͱ͠ɼβ ΛఆΊΔɽ
    β := ∗1 ∧ Tds + ζidqi + ηj
    i
    ∇j(dqi) + Qdt
    (20)
    ζi, ηj
    i
    , Q ͸৔ͱͦͷڞมඍ෼ ∇j
    ͷؔ਺Ͱ͋Δɽ
    ೔ຊԠ༻਺ཧֶձ 2021 ೥౓ ೥ձ ߨԋ༧ߘू (2021.9.7–9
    = T ∂U
    ∂q
    ͱ Q = T ∂U
    ∂t
    ͱ
    q, u, s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ͍ͭͯɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    β = 0 (14)
    ͹ɼࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    0 ΛಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    ࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇ͸ࣜ (1
    V
    ιXC0
    d˜
    Ξ + β ∧ dt = 0
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t
    ∂
    ∂pi
    +∂
    ∂
    ∂ui
    ∂t
    ∂
    ∂ui
    + ∂s
    ∂t
    ∂
    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ
    t
    x
    q(x), s(x)
    体積要素: ∗ 1 = √𝑔d%𝑥
    34
    DeepFlow, Inc.
    

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36. 連続体への拡張 運動⽅程式の導出
    s, t, T) ্ͷۂઢ C0
    ɼ͕࣍ࣔͤΔɽ
    0 (14)
    ࣜ (7) ͱಉ༷ʹͯ͠
    ಘΔɽ͜ͷࣜ͸
    dt) = 0 (15)
    Δɽ্ࣜ͸߆ଋܥ
    Ͱ͋ΓɼҎ߱ͷٞ࿦
    β ∧ dt ͸ɼ
    dt
    ∧ dq −
    ∂ ˜
    H
    ∂p
    dt
    V
    ιXC0
    d˜
    Ξ + β ∧ dt = 0 (21)
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t
    ∂
    ∂pi
    +∂qi
    ∂t
    ∂
    ∂qi
    +
    ∂ui
    ∂t
    ∂
    ∂ui
    + ∂s
    ∂t
    ∂
    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ͋Δɽ
    ͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽ
    dpi+
    ∂ ˜
    H
    ∂qi
    −∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)
    − ζi−∇jηj
    i
    dt
    ∧ dqi−
    ∂ ˜
    H
    ∂pi
    dt −
    ∂ ˜
    H
    ∂ui
    dui+
    ∂ ˜
    H
    ∂s
    −T ds
    ∧dt − ∇j
    ∂ ˜
    H
    ∂(∇jqi)
    − ηj
    i
    dqi ∧ dt (22)
    ࣜ (19) ͱ (20) ΑΓɼӡಈ๏ଇ͸ࣜ (14) ͱ
    V
    ιXC0
    d˜
    Ξ + β ∧ dt = 0 (21)
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽ
    ͜͜Ͱɼ
    XC0
    = ∂pi
    ∂t
    ∂
    ∂pi
    +∂qi
    ∂t
    ∂
    ∂qi
    +
    ∂ui
    ∂t
    ∂
    ∂ui
    + ∂s
    ∂t
    ∂
    ∂s
    + ∂
    ∂t
    ͸৔ͷӡಈۂઢ C0
    ͷ઀ϕ
    ΫτϧͰ͋ΓɼV ͸ఈۭؒͷੵ෼ྖҬͰ͋Δɽ
    ͳ͓ɼd˜
    Ξ + β ∧ dt = ∗1 ∧ ࣜ (22) ͱͳΔɽ
    dpi+
    ∂ ˜
    H
    −∇j
    ∂ ˜
    H
    − ζi−∇jηj
    i
    dt 35
    DeepFlow, Inc.
    

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37. 流体の場合
    λ =
    ∂s
    = ρ
    ∂s
    = ρT ͱͳΔɽୈ 4 ߲ΑΓɼκ =
    ∂ρ
    =
    −1
    2
    u2 + h ΛಘΔɽ͜͜Ͱ h := + P
    ρ
    ͸Τϯλϧϐʔ
    Ͱ͋Δɽ͜Εͷશඍ෼͸ dh = dP
    ρ
    + Tds ͱͳΔɽ଎౓
    ৔ͷ࣌ؒൃలํఔࣜΛٻΊΑ͏ɽࣜ (64) ʹ ∂
    ∂t
    + Lu
    Λ
    ࡞༻ͤ͞ɼࣜ (53) ͱ (63) Λ༻͍Ε͹ɼ଎౓৔ͷ࣌ؒൃ
    లํఔࣜ
    ∂u
    ∂t
    + d
    u2
    2
    + ιudu +
    1
    ρ
    (dP − ∇ · σ) = 0 (65)
    ͕ಘΒΕΔɽ͜͜Ͱ ∇ · σ := (∇iσi
    j
    )dxj ͱ͢Δɽ௨ৗ
    ͷϕΫτϧղੳͰͷه๏Λ࢖͑͹ɼ
    ∂u
    ∂t
    +grad
    u2
    2
    −u×rotu+
    1
    ρ
    (gradP − ∇ · σ) = 0 (66)
    ͱͳΔ 14)ɽ
    ࣜ (65)ͷಋग़ʹɼ
    ࣜ (53)ΑΓ (∂t+Lu)dqk =
    k
    eij := (∇jui + ∇iuj) /2 Λ
    ͱͳΔɽ೤ྗֶతྗΛ χ =
    σij
    T
    = Lσij σkl
    ekl + L
    JQ
    i = L iσkl
    ekl + L
    ͱͳΔɽྫ͑͹ɼχϡʔτ
    ੵ೪ੑ ζb
    ɼ೤఻ಋ཰ ξ Λ༻
    Lσij σkl
    = T 2ζsgikg
    L i j
    = ξgij,
    Lσij k
    = L iσkl
    = 0
    Ͱ༩͑ΒΕɼΦϯαʔΨʔ
    ハミルトニアンHに、エネルギー密度、
    βにエントロピーの式を⼊れれば、ナビエ・ストークス⽅程式を得る。
    注意：連続体の場合は、共変微分が⼊る。
    36
    DeepFlow, Inc.
    

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38. まとめ
    利点
    • 対称性(時間空間並進、回転)の議論
    • 良設定条件 解の存在と⼀意性
    (境界条件についての議論)
    複雑な流体の運動方程式の導出
    • 気液二相流
    • 液晶
    𝜄#!"
    𝛽 = 0
    𝜄#!"
    (d+
    Ξ + 𝛽 ∧ d𝑡) = 0
    運動⽅程式
    拘束条件
    参考⽂献
    [1] M. A. Biot, A virtual dissipation principle and
    Lagrangian equations in non-linear irreversible
    thermodynam- ics, Acad. Roy. Belg. Bull. Cl. Sci., 61
    (1975), 6‒30.
    [2] H.Fukagawa and Y.Fujitani, Clebsch potentials in
    the variational principle for a perfect fluid, Prog. Theor.
    Phys., 124 (2010) 517‒531; A variational prin- ciple for
    dissipative fluid dynamics, 127 (2012), 921‒935.
    [3] 深川宏樹, 散逸系の変分原理, ⽇本物理学会誌, 72
    (2017), 34‒38.
    [4] 深川宏樹, 微分形式による粘性流体の定式化, ながれ,
    40 (2021),38‒45.
    [5] ポントリャーギン, 最適制御理論におけ る最⼤値原
    理, 森北出版, 2000.
    37
    DeepFlow, Inc.
    

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39. 物理 数学 計算機科学を融合する。
    22 ［ 22 ］
    インダストリアルマテリアルズ
    離散微分形式による大規模シミュレーション
    深川 宏樹
    1 は じ め に
    百聞は一見に如かずというように，見ることで
    分かることは多い．DeepFlow 株式会社で開発す
    るシミュレーター(Elkurage)は，場の基礎方程
    38
    DeepFlow, Inc.
    

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40. シミュレーションの時代 –創造性の⾶躍-
    クラウドでの超⼤規模数値計算が
    ⼤量のデーターを超⾼速で処理することで、
    製造業のデザインプロセスを変えていく。
    39
    DeepFlow, Inc.
    HPC Cloud
    設計可能領域
    評価等⾼線
    最適設計
    

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41. マルチスレッド計算
    40
    DeepFlow, Inc.
    マルチプロセッサー
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    …
    

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42. 参照の局所性
    CPU
    3次キャッシュ・メモリ
    1次キャッシュ・メモリ
    2次キャッシュ・メモリ
    メモリ(主記憶装置)
    ⾼速・⼩容量・ランダムアクセス
    低速・⼤容量・連続アクセス
    アクセス時間 記憶容量
    1-2 clock 64KB
    3-10 clock 246KB
    10-20
    clock
    2MB
    50-100
    clock
    16GB
    41
    DeepFlow, Inc.
    

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43. 参照の並列性
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    …
    領域分割
    近いものは同じノードのメモリに載っける
    ノード
    42
    DeepFlow, Inc.
    

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44. 有限要素法
    Φ2
    Φ3
    Φ4
    Φ1
    Φ5
    Φ6
    線形方程式を解く
    𝑓 = 𝐴𝜑
    φ= 𝐴!"𝑓
    f1
    𝜙!
    ⋮
    𝜙"
    =
    𝑎!
    ! … 𝑎"
    !
    ⋮ ⋱ ⋮
    𝑎!
    " … 𝑎"
    "
    #!
    𝑓!
    ⋮
    𝑓"
    𝑓!
    ⋮
    𝑓"
    =
    𝑎!
    ! … 𝑎"
    !
    ⋮ ⋱ ⋮
    𝑎!
    " … 𝑎"
    "
    𝜙!
    ⋮
    𝜙"
    43
    DeepFlow, Inc.
    

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45. 線形ソルバは⼤きな問題では
    スパコンを使っても遅くなる。
    疎⾏列
    密⾏列
    計算量とデーター転送量は
    O(n2~n3).
    *疎⾏列の逆⾏列は 密⾏列
    線形ソルバ
    𝜙!
    ⋮
    𝜙"
    =
    𝑎!
    ! … 𝑎"
    !
    ⋮ ⋱ ⋮
    𝑎!
    " … 𝑎"
    "
    #!
    𝑓!
    ⋮
    𝑓"
    44
    DeepFlow, Inc.
    OpenFOAMの
    並列計算のベンチマーク
    サイズ：400万メッシュ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    …
    𝑓!
    ⋮
    𝑓"
    =
    𝑎!
    ! … 𝑎"
    !
    ⋮ ⋱ ⋮
    𝑎!
    " … 𝑎"
    "
    𝜙!
    ⋮
    𝜙"
    

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46. Principle of locality
    𝜕
    𝜕𝑡
    𝜙 = 𝐹(𝜙, 𝜙$, 𝜙”)
    𝜕
    𝜕𝑡
    𝜙!
    ⋮
    𝜙"
    =
    𝐹!
    ! …
    ⋮ ⋱
    … 𝐹"
    "
    𝜙!
    ⋮
    𝜙!
    45
    DeepFlow, Inc.
    

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47. 陽解法
    𝑛
    (𝑛, 1)
    (𝑛, 2)
    𝑛, 3
    時間刻み
    メモリの配置
    𝜔∗∗ 𝑚 + 1, 𝑛 = 𝜔∗∗ 𝑚, 𝑛 + 𝑓(𝜔∗∗ 𝑚, 𝑛, 𝑖 Δt
    46
    DeepFlow, Inc.
    

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48. 局所性と並列性
    𝜙(m+1,n)
    𝜙(m,n)
    𝜙(m,n-1) 𝜙(m,n+1)
    場 メモリ配置
    47
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49. 場の⽅程式
    ہॴੑͱฒྻੑ
    ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ
    ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸
    ∂ω(t, x)
    ∂t
    = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1)
    ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ
    ࠁΈ෯ ∆t Ͱ෼ׂ͠ɼ࣌ؒͷΠϯσοΫεΛ
    ͱ͢ΔɽۭؒΛϝογϡ෼ׂ͠ɼ෼ׂཁૉΛ
    ͱݺͼɼID Λ n ͱ͢Δɽ཭ࢄԽͨ͠৔ͷ஋
    ∗∗(m, n) Ͱද͢ɽCell n ͷۙ๣ʹ͋Δ Cell
    D Λ (n, i) ͱ͢Δɽi ≥ 0 ͸ۙ๣ʹ͋Δ Cell
    ࢜Λ۠ผ͠ɼn = (n, 0) ͱ͢Δɽω (t, x) ͷ཭
    Γɼ଎౓৔ u ͸ 1 ܗࣜͰ
    ͷ Cell χ ্ͷੵ෼ (ධՁ
    χ, ω :=
    ω ʹରͯ͠ੵ෼஋Λฦ͢
    χ∗ := χ,
    ͸ V ͷ૒ରۭؒ V ∗ ͷݩ
    ω∗∗ := evalω :
    ͸ೋॏ૒ରۭؒ V ∗∗ ͷݩ
    𝑛
    (𝑛, 1)
    (𝑛, 2)
    𝑛, 3
    離散化
    𝜔∗∗ 𝑚 + 1, 𝑛
    = 𝜔∗∗ 𝑚, 𝑛 + 𝑓(𝜔∗∗ 𝑚, 𝑛, 𝑖 Δt
    陽解法
    48
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50. 流体⽅程式
    ナビエ・ストークス
    質量保存
    時間発展⽅程式は以下の形になる。
    𝜕𝜌
    𝜕𝑡
    = −div(𝜌𝒖)
    Δ𝒖: = grad div − rot rot 𝒖
    𝜕𝒖
    𝜕𝑡
    = −𝒖 ⋅ rot 𝒖 −
    1
    2
    grad 𝒖 ⋅ 𝒖 −
    1
    𝜌
    (grad 𝑃 − 𝜂Δ𝒖)
    ͢ʹ͸ɼ෺ཧݱ৅ͷہॴੑͱฒྻੑ͕ܭࢉ࣌
    ͷσʔλΞΫηεʹ͓͍ͯ΋࣮ݱ͢Δ͜ͱ͕
    ཁͰ͋Δ [1]ɽ৔ͷجૅํఔࣜΛඍ෼ܗࣜͰ༩
    Ε͹ɼہॴੑͱฒྻੑΛอͭࣗવͳ཭ࢄԽ͕
    ͖ɼେن໛ͳγϛϡϨʔγϣϯ͕Ͱ͖Δ [2]ɽ
    ہॴੑͱฒྻੑ
    ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ
    ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸
    ∂ω(t, x)
    ∂t
    = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1)
    ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ
    3 ཭ࢄඍ෼ܗࣜ
    Elkurage Ͱ͸෺ཧྔ
    ΕΔɽྫ͑͹ɼྲྀମܭ
    Γɼ଎౓৔ u ͸ 1 ܗࣜ
    ͷ Cell χ ্ͷੵ෼ (ධ
    χ, ω :
    ω ʹରͯ͠ੵ෼஋Λฦ
    χ∗ := χ,
    where
    49
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51. ホッジ作⽤素
    ∗: 𝑘形式→(3−k)形式
    ∗ 1 = d𝑥 ∧ d𝑦 ∧ d𝑧
    ∗ d𝑧 = d𝑥 ∧ d𝑦
    ∗ (d𝑥 ∧ d𝑦) = 𝑑𝑧
    ∗ (d𝑥 ∧ d𝑦 ∧ d𝑧) = 1
    ∗∗= 1
    d𝑥
    d𝑦
    d𝑥 ∧ d𝑦
    d𝑧 =∗ (d𝑥 ∧ d𝑦)
    る
    に
    こ
    ，
    リ
    ら
    ベ
    M
    ル
    れ
    空間を Ω(M) と書く．α, β∊Ω(M) の内積を
    g
    (α, β)=αβ とし，α, β∊Ω(M) の内積を g
    (α,
    β)=g(α♯, β♯) とする．k 形式 α=α
    ∧⋯∧α
    と
    β=β
    ∧⋯∧β
    の 内 積 を g
    (α, β)=det (g
    (α
    ,
    β
    )) で定める．
    体 積 形 式 vol
    :=
    det g
    dx∧⋯∧dx∊
    Ω(M) を用いれば，線形汎関数 
    
    g
    (_, β)vol
    が得られ，これは双対空間への同型写像を与える．
    ホッジ演算子 *
    ：Ω(M)→Ω(M) を α, β∊
    Ω(M) に対して，
    α∧(*
    β) = g
    α, βvol
    (6)
    で定めれば，これも双対空間への同型写像を与え
    る．
    計量テンソル g が g(u, u)≧0 と正定値である
    とき，ホッジ演算子は *
    *
    =−1 を満
    50
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52. Δ𝒖: = grad div − rot rot 𝒖
    Δ𝒖: = d ⋆ d ⋆−⋆ d ⋆ d 𝒖
    𝜕
    𝜕𝑡
    𝒖 + 𝒖 ⋅ rot 𝒖 +
    1
    2
    grad 𝒖 ⋅ 𝒖 +
    1
    𝜌
    (grad 𝑃 − 𝜂Δ𝒖) = 0
    𝜕
    𝜕𝑡
    (⋆ 𝜌) = −𝑑 (𝜌 ⋆ 𝒖)
    𝜕
    𝜕𝑡
    𝜌 + div(𝜌𝒖) = 0
    𝜕
    𝜕𝑡
    𝒖 = −𝜄𝒖#d 𝒖 −
    1
    2
    dg 𝒖, 𝒖 −
    1
    𝜌
    (d𝑃 − 𝜂Δ𝒖)
    ナビエ・ストークス
    質量保存
    ナビエ・ストークス
    質量保存
    51
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53. 流体⽅程式(直交座標系)
    ナビエ・ストークス
    質量保存 𝜕𝜌
    𝜕𝑡
    = −
    𝜕 𝜌𝑢+
    𝜕𝑥+
    𝜕𝑢+
    𝜕𝑡
    = −𝑢,
    𝜕𝑢+
    𝜕𝑥,
    −
    1
    𝜌
    𝜕𝑃
    𝜕𝑥+
    − 𝜂
    𝜕
    𝜕𝑥,
    𝜕
    𝜕𝑥,
    𝑢+
    𝑢$
    スタガード格⼦ ρ
    𝑢%
    52
    DeepFlow, Inc.
    

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54. 質量保存
    スタガード⾮構造格⼦ ρ
    u
    𝜕𝜌
    𝜕𝑡
    = −div(𝜌𝒖)
    53
    DeepFlow, Inc.
    𝜕
    𝜕𝑡
    (∗ 𝜌) = −𝑑 (𝜌 ∗ 𝒖)
    

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55. 𝜌
    m
    𝑱
    Hodge operator
    𝒖
    54
    54
    DeepFlow, Inc.
    An Applied Introduction - Discrete Differential
    Geometryhttp://ddg.cs.columbia.edu › DDGCourse2006
    PDF E Grinspun
    

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56. ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    ナビエ・ストークス
    𝑢
    𝑢
    P
    P
    P
    𝜕𝒖
    𝜕𝑡
    = −𝒖 ⋅ rot 𝒖 −
    1
    2
    grad 𝒖 ⋅ 𝒖
    −
    1
    𝜌
    (grad 𝑃 − 𝜂Δ𝒖)
    Δ𝒖: = grad div − rot rot 𝒖
    where
    P は𝜌の関数
    55
    DeepFlow, Inc.
    圧⼒ P 勾配 grad P
    速度場 𝒖 回転 rot 𝒖
    

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57. 微分形式
    𝑢
    𝑢
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    56
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    圧⼒ P 勾配 grad P
    0 form ∋ P ↦ dP ∈ 1 form
    速度場 𝒖 回転 rot 𝒖
    1 form ∋ 𝒖 ↦ d𝒖 ∈ 2form
    流束密度𝒋 = 𝜌 ∗ 𝒖 発散 div 𝒋
    2 form ∋ 𝒋 ↦ d𝒋 ∈ 3 form
    

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58. 離散微分形式
    ɼ
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    微分n形式 1形式 2形式 3形式
    𝜒 : 積分領域 線分 面領域 体積領域
    𝜔 𝑥 : 位置𝑥での物理量 速度 流束密度 質量密度
    𝜔∗∗ 𝜒∗ ≔ ∫
    &
    𝜔 ∈ ℝ
    𝜔(𝑥) : 位置𝑥での物理量
    ⬇
    𝜔∗∗ (𝜒∗): 領域𝜒で𝜔の評価(積分)値
    57
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59. 離散微分形式
    (φ∗∗(ω∗∗))(σ∗)= σ, φ(ω) =(φ(ω))∗∗(σ∗) (7)
    ΛಘΔɽͭ·Γɼਤࣜ
    V ∗∗ //
    φ
    
    V ∗∗
    φ∗
    ∗
    
    ω ∗∗ //
    _
    φ
    
    ω∗∗
    _
    φ∗
    ∗
    
    W ∗∗ // W∗∗ φ(ω) ∗∗ // (φ(ω))∗∗=φ∗∗(ω∗∗)
    ͕Մ׵ʹͳΔɽφ ͕ઢܗͳΒ͹ɼࣜ (3) ͷ૒ઢ
    t
    離散化∗∗は⾃然変換：離散化∗∗と写像𝜙は可換
    = [
    $
    𝜙(𝜔) ∈ ℝ
    58
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60. 離散微分形式
    ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ
    ͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗
    ࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d ͸ઢܗࣸ૾
    ɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷ
    写像𝜙が線形写像なら、次を満たす線形写像 %𝜙が存在する。
    例：∫
    &
    d𝜔 = ∫
    '&
    𝜔= Σ(
    ∫
    )'
    𝜔
    ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ
    ͱͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗(σ) ͕
    ܭࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d ͸ઢܗࣸ૾Ͱ͋
    Γɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧ
    ΑΓ σ, dω = ∂σ, ω ͱͳΔɽω Λ 2 ܗࣜͱ͢
    Ε͹ɼdω ͸ 3 ܗࣜͱͳΔɽχi
    Λ 3-Cell σ ͷද
    ໘Λ෴͏ 2-Cell ͱ͢Ε͹ɼ∂σ = i
    χi
    ͱͳΓɼ
    (dω)∗∗(σ∗) = ω∗∗(χ∗) ͱܭࢉͰ͖Δɽϗο
    ᝳໟਸ
    ଠࢯͷ
    ͸ɼ͞
    Λ࢖ͬ
    ࢀߟจ
    [1] T
    T
    M
    H
    I
    fi
    𝜕( ) =
    佐武⼀郎, 線形代数学, 裳華房, 1958.
    S
    '
    𝜙(𝜔) = S
    "$(')
    𝜔 ∈ ℝ
    59
    DeepFlow, Inc.
    

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61. ϯʹ͓͚Δہॴੑͱฒྻੑͷ཭ࢄඍ෼ܗࣜʹΑΔ࣮ݱ
    ୓࠸ 1
    ձࣾ
    ukagawa@deepflow.co.jp
    ͱɼྗ͸৔ͷہॴతͳ૬ޓ
    ೻଎౓ʹ͸্ݶ͕ଘࡏ͠ɼ
    ɽฒྻܭࢉػͷੑೳΛҾ͖
    ͷہॴੑͱฒྻੑ͕ܭࢉ࣌
    ʹ͓͍ͯ΋࣮ݱ͢Δ͜ͱ͕
    جૅํఔࣜΛඍ෼ܗࣜͰ༩
    ྻੑΛอͭࣗવͳ཭ࢄԽ͕
    ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ
    3 ཭ࢄඍ෼ܗࣜ
    シミュレーションにおける
    局所性と並列性の離散微分形式による実現
    物理
    ↓ 陽解法
    計算機
    微分形式 𝜔 𝑥
    ↓ ⾃然変換 **
    離散微分形式 𝜔∗∗ (𝜒∗)=∫
    '
    𝜔
    2 ہॴੑͱฒྻੑ
    ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ
    ඍ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸
    ∂ω(t, x)
    ∂t
    = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1)
    Ͱ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ
    ΛࠁΈ෯ ∆t Ͱ෼ׂ͠ɼ࣌ؒͷΠϯσοΫεΛ
    m ͱ͢ΔɽۭؒΛϝογϡ෼ׂ͠ɼ෼ׂཁૉΛ
    Cell ͱݺͼɼID Λ n ͱ͢Δɽ཭ࢄԽͨ͠৔ͷ஋
    Λ ω∗∗(m, n) Ͱද͢ɽCell n ͷۙ๣ʹ͋Δ Cell
    ͷ ID Λ (n, i) ͱ͢Δɽi ≥ 0 ͸ۙ๣ʹ͋Δ Cell
    Γɼ଎౓৔
    ͷ Cell χ ্
    ω ʹରͯ͠
    ͸ V ͷ૒ର
    ω
    ͸ೋॏ૒ର
    60
    DeepFlow, Inc.
    • 物理場は局所性と並列性を持ち、微分形式で記述される。
    • 離散微分形式は、微分形式から⾃然に変換される。
    • スタッガード⾮構造格⼦は計算の安定性を⾼める。
    

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62. まとめ
    • 参照の局所性→⾼速・並列化
    • 陽解法 (近接相互作⽤)
    • 離散微分形式 使いやすい！
    (grad div rot が d と*で書ける)
    時間刻み
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    コ
    ア
    メモリ
    …
    61
    DeepFlow, Inc.
    

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