離散微分形式による流体-音響相互作用の直接計算

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1. 離散微分形式による 流体-⾳響相互作⽤の 直接計算 ⽇本流体⼒学会年会 2021年度年会(2021/9/21~23) DeepFlow 株式会社 ◦深川 宏樹 簑⽑

   崇章 hiroki.fukagawa@deepflow.co.jp 0

2. 流体騒⾳ ファンの騒音問題 風力発電 シロッコファン ドローン etc. 1 ⼆重回転⽻根の流体計算

3. 基礎方程式 2 ナビエ・ストークス 質量保存 時間発展は次の形でかける。 !" !# = −div("*) Δ*:

   = grad div − rot rot * !* !# = −* ⋅ rot * − 1 2 grad * ⋅ * − 1 " (grad 6 − 7Δ*) ӡಈ͸ฒྻతͰ͋ΔɽฒྻܭࢉػͷੑೳΛҾ͖ ग़͢ʹ͸ɼ෺ཧݱ৅ͷہॴੑͱฒྻੑ͕ܭࢉ࣌ ͰͷσʔλΞΫηεʹ͓͍ͯ΋࣮ݱ͢Δ͜ͱ͕ ॏཁͰ͋Δ [1]ɽ৔ͷجૅํఔࣜΛඍ෼ܗࣜͰ༩ ͑Ε͹ɼہॴੑͱฒྻੑΛอͭࣗવͳ཭ࢄԽ͕ Ͱ͖ɼେن໛ͳγϛϡϨʔγϣϯ͕Ͱ͖Δ [2]ɽ 2 ہॴੑͱฒྻੑ ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ ඍ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸ ∂ω(t, x) ∂t = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1) where

4. 連続の式 3 u スタッガード格⼦ ρ 離散微分幾何 ρ u !" !#

   = −div("*) ! !" (∗ %) = −) (% ∗ *)

5. ナビエ・ストークス 圧⼒ P 勾配 grad P 速度場 & 回転 rot

   & P 8 8 8 P P P 4 )& )* = −& ⋅ rot & − 1 2 grad & ⋅ & − 1 0 (grad 2 − 3Δ&) Δ*: = grad div − rot rot * where

6. 微分形式 圧⼒ P 勾配 grad P 0 form ∋ P

   ↦ dP ∈ 1 form 速度場 & 回転 rot & 1 form ∋ & ↦ d& ∈ 2form 流束密度< = 0 ∗ & 発散 div < 2 form ∋ < ↦ d< ∈ 3 form 5 P 8 8 8

7. 離散微分形式 ɼ ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ 微分n形式

   1形式 2形式 3形式 A : 積分領域 線分 面領域 体積領域 B C : 位置Cでの物理量 速度 流束密度 質量密度 6 !∗∗ "∗ ≔ ∫ " ! ∈ ℝ 9(:) : 位置:での物理量 ⬇ 9∗∗ (;∗): 領域;で9の評価(積分)値

8. 離散微分形式 (φ∗∗(ω∗∗))(σ∗)= σ, φ(ω) =(φ(ω))∗∗(σ∗) (7) ΛಘΔɽͭ·Γɼਤࣜ V ∗∗ //

   φ  V ∗∗ φ∗ ∗  ω  ∗∗ // _ φ  ω∗∗ _ φ∗ ∗  W ∗∗ // W∗∗ φ(ω)  ∗∗ // (φ(ω))∗∗=φ∗∗(ω∗∗) ͕Մ׵ʹͳΔɽφ ͕ઢܗͳΒ͹ɼࣜ (3) ͷ૒ઢ t 離散化∗∗は⾃然変換：離散化∗∗と写像Dは可換 7 = E ! D(B) ∈ ℝ

9. 離散微分形式 ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ ͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗ ࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d

   ͸ઢܗࣸ૾ ɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷ 写像Dが線形写像なら、次を満たす線形写像 "Dが存在する。 例：∫ ! d# = ∫ "! #= Σ# ∫ $# # ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ ͱͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗(σ) ͕ ܭࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼ d ͸ઢܗࣸ૾Ͱ͋ Γɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧ ΑΓ σ, dω = ∂σ, ω ͱͳΔɽω Λ 2 ܗࣜͱ͢ Ε͹ɼdω ͸ 3 ܗࣜͱͳΔɽχi Λ 3-Cell σ ͷද ໘Λ෴͏ 2-Cell ͱ͢Ε͹ɼ∂σ = i χi ͱͳΓɼ (dω)∗∗(σ∗) = ω∗∗(χ∗) ͱܭࢉͰ͖Δɽϗο ᝳໟਸ ଠࢯͷ ͸ɼ͞ Λ࢖ͬ ࢀߟจ [1] T T M H I fi &( ) = 佐武⼀郎, 線形代数学, 裳華房, 1958. 8 " ! #(%) = " !"(!) % ∈ ℝ

10. 微分形式 9 Δ&: = grad div − rot rot &

    Δ&: = d ∗ d ∗−∗ d ∗ d & ) )* & + & ⋅ rot & + 1 2 grad & ⋅ & + 1 0 (grad 2 − 3Δ&) = 0 ) )* (∗ 0) = −I (0 ∗ &) ) )* 0 + div(0&) = 0 ) )* & = −J##d & − 1 2 dg &, & − 1 0 (d2 − 3Δ&) ナビエ・ストークス 質量保存 ナビエ・ストークス 質量保存

11. 音波シミュレーション(移流なし) 10 https://youtu.be/Tfbr7nC8n_E

12. 音波シミュレーション(移流あり) 11 SuperbeeとUpwind． https://youtu.be/KNeoQYmfWCU

13. シミュレーション ਤ 2. ճసೋॏӋࠜͷۭྗܭࢉ ͱͳΓ [3]ɼφ(ω) Λ஌Βͳͯ͘΋ (φ(ω))∗∗(σ) ͕ ܭࢉͰ͖Δɽྫ͑͹ɼ֎ඍ෼

    d ͸ઢܗࣸ૾Ͱ͋ Γɼڥք࡞༻ૉΛ ∂ ͱͯ͠ɼετʔΫεͷఆཧ ΑΓ σ, dω = ∂σ, ω ͱͳΔɽω Λ 2 ܗࣜͱ͢ Ε͹ɼdω ͸ 3 ܗࣜͱͳΔɽχi Λ 3-Cell σ ͷද ໘Λ෴͏ 2-Cell ͱ͢Ε͹ɼ∂σ = i χi ͱͳΓɼ (dω)∗∗(σ∗) = i ω∗∗(χ∗ i ) ͱܭࢉͰ͖Δɽϗο δελʔ࡞༻ૉ΋ઢܗࣸ૾Ͱ͋Γɼಉ༷ʹܭࢉ Ͱ͖Δɽࣸ૾͸ඞͣ͠΋ઢܗͱ͸ݶΒͳ͍ɽྫ ͑͹ɼ಺෦ੵ͸ඇઢܗࣸ૾Ͱ͋Δɽ͜ͷ৔߹ʹ ਤ 3. μΠϙʔϧΞ ँࣙ Elkurage ձࣾͷੴҪେւ ᝳໟਸষࢯɼD ଠࢯͷڠྗΛಘ ͸ɼ͘͞ΒΠϯ Λ࢖ͬͨɽ ࢀߟจݙ [1] T. Mura Tomita, K Maruyama H. Hotta, Inoue, Au ficient Co scriptions Proc. of t shop on F ਤ 3. μΠϙʔϧΞϯςφͷిؾྗઢ (ࠨ) ͱ࣓৔෼෍ (ӈ) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 Speedup Number of Processors Ideal Speedup CX400 Actual Speedup parallel portion 0.95 参考ベンチマーク-strong scaling 流体構造連成解析(FSI) 戦略的イノベーション創造プログラム 深川 2017年 12

14. まとめ 13 ϯʹ͓͚Δہॴੑͱฒྻੑͷ཭ࢄඍ෼ܗࣜʹΑΔ࣮ݱ ୓࠸ 1 ձࣾ ukagawa@deepflow.co.jp ͱɼྗ͸৔ͷہॴతͳ૬ޓ ೻଎౓ʹ͸্ݶ͕ଘࡏ͠ɼ ɽฒྻܭࢉػͷੑೳΛҾ͖

    ͷہॴੑͱฒྻੑ͕ܭࢉ࣌ ʹ͓͍ͯ΋࣮ݱ͢Δ͜ͱ͕ جૅํఔࣜΛඍ෼ܗࣜͰ༩ ྻੑΛอͭࣗવͳ཭ࢄԽ͕ ਤ 1. ྲྀମܭࢉͰͷີ౓ ρ ͱ଎౓৔ u ͷ഑ஔ 3 ཭ࢄඍ෼ܗࣜ 物理 ↓ 陽解法 計算機 微分形式 B C ↓ ⾃然変換 ** 離散微分形式 B∗∗ (A∗) 離散微分形式による⼤規模シミュレーション, 応⽤数理, 31 (2021), 22–26. 散逸系の変分原理, ⽇本物理学会誌, 72 (2017), 34–38. 微分形式による粘性流体の定式化, ながれ, 40 (2021), 38–45. 2 ہॴੑͱฒྻੑ ࣌ࠁ t ͱҐஔ x Ͱͷ৔Λ ω Ͱද͠ɼ৔ͷۭؒ ඍ෼Λ ω ͱॻ͘ɽۙ઀࡞༻ͷجૅํఔࣜ͸ ∂ω(t, x) ∂t = f(ω(t, x), ω (t, x)) (1) Ͱ༩͑ΒΕΔɽࣜ (1) Λ਺஋తʹղ͜͏ɽ࣌ؒ ΛࠁΈ෯ ∆t Ͱ෼ׂ͠ɼ࣌ؒͷΠϯσοΫεΛ m ͱ͢ΔɽۭؒΛϝογϡ෼ׂ͠ɼ෼ׂཁૉΛ Cell ͱݺͼɼID Λ n ͱ͢Δɽ཭ࢄԽͨ͠৔ͷ஋ Λ ω∗∗(m, n) Ͱද͢ɽCell n ͷۙ๣ʹ͋Δ Cell ͷ ID Λ (n, i) ͱ͢Δɽi ≥ 0 ͸ۙ๣ʹ͋Δ Cell Γɼ଎౓৔ ͷ Cell χ ্ ω ʹରͯ͠ ͸ V ͷ૒ର ω ͸ೋॏ૒ର ∫ " ! ∈ ℝ