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1. Bayesian Statistics and Marketing §4 Unit-Level Models and Discrete Demand 久保知生 事業計画統括部/データドリブン経営推進課 2025-04-25
2. 今回の目標 • それぞれの潜在変数モデルについて理解する • 識別問題について理解する • 潜在変数モデルとDemand theoryとの繋がりを理解する
3. 識別問題 • 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 – ෢ 𝛽1 = Σ(𝑋𝑖− ത 𝑋)(𝑌𝑖− ത 𝑌) Σ 𝑋𝑖− ത 𝑋 2 – いくつかの仮定を課すことで、 ෢ 𝛽1 は一つに定まる（識別される）。
4. モチベーション • 潜在変数モデルはマーケティングデータを説明するのに 便利 – 多くの消費者は商品を買わない・買っても1個 – 消費される数は離散変数 – 財に対する選好（ランク付け）にも順序がある
5. 潜在変数モデル • 潜在変数について、以下のモデルを考える。 – 𝑧𝑖 = 𝑋𝑖 𝛿 + 𝜈𝑖 ⋯ 1.1 – 𝑧𝑖 はスカラーorベクトル – 𝑦𝑖 = 𝑓 𝑧𝑖 ⋯ 1.2
6. 潜在変数モデル • 𝑧𝑖 = 𝑋𝑖 𝛿 + 𝜈𝑖 ⋯ 1.1 • 連続変数𝑧𝑖 を関数𝑓 ⋅ に投入することで、離散変数𝑦𝑖 が 得られると考える。 • 𝑦𝑖 は1次元（univariate multivariate） • 𝑦𝑖 は0か1の値しかとらない（binary）
7. 潜在変数モデルの利点 1. 離散型の目的変数を柔軟に表現できる 2. MCMCアルゴリズムの適用が容易 3. 効用としての解釈が可能
8. Binary Probit Model • 𝑓 𝑧 = 𝐼 𝑧 > 0 = ൜ 1 𝑧 > 0のとき 0 𝑧 ≤ 0のとき （𝐼は指示関数）
9. Binary Probit Model • 𝑃 𝑦𝑖 = 1 = 𝑃 𝑧𝑖 > 0 = 𝑃 𝜈𝑖 > −𝑋𝑖 𝛿 = 𝑃 𝜈𝑖 ∗ > −𝑋𝑖 𝛿∗ = 1 − 𝑃 𝜈𝑖 ∗ ≤ −𝑋𝑖 𝛿∗ = 1 − 𝐹 −𝑋𝑖 𝛿∗ = 𝐹 𝑋𝑖 𝛿∗ – ただし、𝜈𝑖 ∗ = 𝜈𝑖 𝜎2 で、 𝛿∗ = 𝛿 𝜎2
10. Binary Probit Model 識別問題 • よって𝛿と𝜎は比率 𝛿 𝜎2 の形でしか推定できない。 – 分離して推定することは不可能。 • そこで、以下のような制約を課す。 – 𝜎 = 1
11. Binary Probit Model • 𝜈𝑖 ∗が標準正規分布に従うとき、これをプロビットモデル という。 – e.g. 𝜈𝑖 ∗ ∼ 𝑁 0,1 – 𝑓 𝜈∗ = 1 2𝜋 𝑒𝑥𝑝 − 1 2 𝜈𝑖 ∗2 – 𝐹 𝜈∗ = ׬ −∞ 𝜈∗ 𝑓 𝜈∗ 𝑑𝜈∗
12. Binary Logit Model • 𝜈𝑖 ∗がロジスティックとき、これをロジットモデルという 。 – 𝑓 𝜈∗ = exp −𝜈∗ {1+exp −𝜈∗ }2 – 𝐹 𝜈∗ = 1 {1+exp −𝜈∗ }
13. Ordered Probit Model (順序モデル) • 𝑓 𝑧 = 𝛴𝑐=1 𝐶+1𝑐 × 𝐼 𝛾𝑐−1 < 𝑧 ≤ 𝛾𝑐 ⋯ 1.3 – 𝑦は1からCまでの値をとる – 𝛾0 = −∞, 𝛾𝐶+1 = ∞
14. Ordered Probit Model (順序モデル) • 𝑓 𝑧 = 𝛴𝑐=1 𝐶+1𝑐 × 𝐼 𝛾𝑐−1 < 𝑧 ≤ 𝛾𝑐 ⋯ 1.3 • e.g. 𝐶 = 2のとき – 𝛾0 = −∞, 𝛾1 = 0, 𝛾2 = 1, 𝛾3 = ∞ – 𝑓 𝑧 = ቐ 1 𝑧 ≤ 0のとき 2 0 < 𝑧 ≤ 1のとき 3 𝑧 > 1のとき
15. Ordered Probit Model 識別問題 • 𝜈の平均に関する問題 – カットオフ𝛾と𝑋𝑖 𝛿を適当に動かすことで同じ結果変数を表現 できる。 – e.g. 𝛾1 < 𝑋𝑖 𝛿 + 𝜈𝑖 < 𝛾2 – 𝑃 𝑦𝑖 = 2 = 𝐹 𝛾2 − 𝑋𝑖 𝛿 − 𝐹 𝛾1 − 𝑋𝑖 𝛿 – 𝐹 𝛾2 + 𝑐 − 𝑋𝑖 𝛿 + 𝑐 − 𝐹 𝛾1 + 𝑐 − 𝑋𝑖 𝛿 + 𝑐 = 𝐹( ) 𝛾2 − 𝑋𝑖 𝛿 − 𝐹 𝛾1 − 𝑋𝑖 𝛿
16. Ordered Probit Model 識別問題 • そこで、以下のような制約を課す。 – 𝛾1 = 0 – 𝑋𝑖 𝛿の切片を0に設定する
17. Ordered Probit Model 識別問題 • 𝜈の分散に関する問題 – 𝛿と𝜎は比率 𝛿 𝜎2 の形でしか推定できない。 – 分離して推定することは不可能。 • そこで、以下のような制約を課す。 – 𝜎 = 1
18. Ordered Probit Model (順序モデル) • 𝑋の値が大きくなるとある𝑦を得る確率が高まり、他の𝑦 を得る確率を低くするモデルを考える。 • 𝑓 𝑧 = 𝛴𝑗=1 𝑃 𝑗 × 𝐼 max 𝑧 = 𝑧𝑗 ⋯ 1.4 – 𝑧は連続で𝑃次元
19. Ordered Probit Model (順序モデル) • 𝑓 𝑧 = 𝛴𝑗=1 𝑃 𝑗 × 𝐼 max 𝑧 = 𝑧𝑗 • e.g. 𝑧 = (0.3, 2.5,1.1)のとき – max 𝑧 = 2.5 – 𝑓 𝑧 = 𝛴𝑗=1 3 𝑗 × 𝐼 𝑧𝑗 = 2.5 = 2
20. 多変量離散モデル • 複数の選択をする状況について考える。 – e.g. 消費者が2つ以上の財に関する商品選択を行う場合 • 𝑦 = 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑝 • 𝑦𝑖 = ቊ 0 1
21. 多変量離散モデル • 𝑓は𝑓: 𝑅𝑝 → 𝑅𝑝の写像 • 𝑓 𝑧 = ൞ 𝐼 𝑧1 > 0 ⋮ 𝐼 𝑧𝑝 > 0
22. 消費者理論の導入 • ある消費者は𝐾個の財𝑥 = 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 を予算制約の下で選 ぶ。 – argmax 𝑥∈𝑅+ 𝑘 𝑢 𝑥 – 𝑠. 𝑡. 𝛴𝑘=1 𝐾 𝑝𝑘 𝑥𝑘 ≤ 𝑤
23. 消費者理論との結合 • 消費者は一つの財のみを購入するとしよう（端点解を認 める）。 • 消費者の効用最大化問題は以下のとおり。 – argmax 𝑥 𝑈 𝑥 = 𝜓′𝑥 ⋯ 4.1 – 𝑠. 𝑡. 𝑝′𝑥 = 𝑤 • 限界効用𝜓は定数であることに注意。
24. 消費者理論との結合 log 𝜓 𝑝 = log𝜓 − log𝑝 = ᪄ 𝜓 + 𝜖 − log𝑝 = ෨ 𝑋𝛽 − log𝑝 + 𝜖 ⋯ 4.3 – ただし、𝑙𝑜𝑔𝜓 = ᪄ 𝜓 + 𝜖, – ᪄ 𝜓 = ෨ 𝑋𝛽 • 限界効用𝜓に影響する要因があるとする（ただし、消費者本人しか知らない）。 • 要因は時間・消費者ごと異なりうる。
25. 消費者理論との結合 log 𝜓 𝑝 = log𝜓 − log𝑝 = ᪄ 𝜓 + 𝜖 − log𝑝 = ෨ 𝑋𝛽 − log𝑝 + 𝜖 ⋯ 4.3 • 𝑧 = log𝜓 − log𝑝, 𝑋 = ෨ 𝑋 log𝑝 とおけば、 4.3 は潜在変数 表記となる。 – 𝑧 = 𝑋𝛽 + 𝜖
26. 識別問題 • 価格𝑝の係数が−1に設定されているため、𝜎は識別され る。 • あるいは、価格係数を設定することも可能。その場合、 𝜎に何らかの制限を課す必要がある。 – e.g. 価格係数= 1 𝜎
27. 消費者理論（再掲） • ある消費者は𝐾個の財𝑥 = 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 を予算制約の下で選 ぶ。 – argmax 𝑥∈𝑅+ 𝑘 𝑢 𝑥 – 𝑠. 𝑡. 𝛴𝑘=1 𝐾 𝑝𝑘 𝑥𝑘 ≤ 𝑤
28. ラグランジュの未定乗数法 1. ラグランジアン𝔏 = 𝑢 𝑥 + 𝜆 𝑤 − 𝑝 ⋅ 𝑥 を用意する。 2. それぞれの固定された𝜆について、𝔏を最大化する。 3. 𝑝 ⋅ 𝑥𝜆∗ 𝑝, 𝑤 = 𝑤を満たすような𝜆∗を求める。 • ただし、𝑥 𝑝, 𝑤 ∈ 𝑅+ 𝑘は消費者の需要関数(対応)。
29. 一般化すると… • max 𝑥1,𝑥2 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 • 𝑠. 𝑡. 𝑔 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
30. 一般化すると… • ラグランジアンは以下のようになる。 – 𝔏 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 + 𝜆𝑔 𝑥1 , 𝑥2 • 以下のクーン・タッカー条件を満たす必要がある。 – ∀𝑖 ∈ {1,2}, 𝜕𝔏 𝜕𝑥𝑖 = 0 – 𝜆𝑔 𝑥1 , 𝑥2 = 0 – 𝜆 ≥ 0, 𝑔 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
31. 広告費最適化の例 • 売上𝑡 = {exp トレンド𝑡 + 季節性𝑡 } × 広告費 𝑡 𝛽𝑡 × 𝑢𝑡 • 𝑠. 𝑡. 𝛴𝑡 広告費𝑡 ≤ 総広告費 – 𝑢𝑡 は誤差項で、log 𝑢𝑡 ∼ 𝑁 0, 𝜎2 • 両辺の対数をとると – log 売上𝑡 = トレンド𝑡 + 季節性𝑡 + 𝛽𝑡 × log 広告費𝑡 + log 𝑢𝑡
32. 広告費最適化の例 • log 売上𝑡 = トレンド𝑡 + 季節性𝑡 + 𝛽𝑡 × log 広告費𝑡 + log 𝑢𝑡 • トレンド𝑡 , 季節性𝑡 を推定したうえで、以下の項を最適 化すればよい。 – 𝛽𝑡 × log 広告費𝑡 – 𝑠. 𝑡. 𝛴𝑡 広告費𝑡 ≤ 総広告費
33. Demand theoryとの結合 • 限界効用𝜓に影響する要因があるとする（ただし、消費 者本人しか知らない）。 – 要因は時間によって変動しうる。 – 要因は消費者ごとに異なりうる。
34. Demand theoryとの結合 • log 𝜓 𝑝 = log𝜓 − log𝑝 • = ᪄ 𝜓 + 𝜖 − log𝑝 • = ෨ 𝑋𝛽 − log𝑝 + 𝜖 ⋯ 4.3 – ただし、𝑙𝑜𝑔𝜓 = ᪄ 𝜓 + 𝜖, ᪄ 𝜓 = ෨ 𝑋𝛽
35. Demand theoryとの結合 • 𝑧 = log𝜓 − log𝑝, 𝑋 = ෨ 𝑋 log𝑝 とおけば、 4.3 は潜在変数表記となる。 – 𝑧 = 𝑋𝛽 + 𝜖
36. 識別問題 • 価格𝑝の係数が−1に設定されているため、𝜎は識別され る。 • あるいは、価格係数を設定することも可能。その場合、 𝜎に何らかの制限を課す必要がある。 – e.g. 価格係数= 1 𝜎
37. APPENDIX
38. 最尤推定 • 以下の回帰モデルを考える。 – 𝑦𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 , 𝑢𝑖 ∼ 𝑖. 𝑖. 𝑑. 𝑁 0, 𝜎2 • 𝑢𝑖 の確率密度関数：𝑓 𝑢𝑖 = 1 2𝜋𝜎2 exp 1 2𝜎2 𝑢𝑖 2 • 𝑢𝑖 の同時確率密度関数：𝑓 𝑢1 ⋅ 𝑓 𝑢2 ⋯ 𝑓 𝑢𝑛 = 𝛱𝑖=1 𝑛 1 2𝜋𝜎2 exp 1 2𝜎2 𝑢𝑖 2 = 1 2𝜋𝜎2 2/𝑛 exp 1 2𝜎2 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑢𝑖 2
39. 最尤推定 • 変数変換より、𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑁 の同時確率密度関数は以下で 与えられる。 – 𝑓 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑁 = ℎ 𝑦𝑖 𝑓𝑢 {ℎ 𝑦𝑖 } = 𝑓𝑢 {ℎ 𝑦𝑖 } = 1 2𝜋𝜎2 𝑛/2 exp − 1 2𝜎2 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑥𝑖 2 ≡ 𝔏 𝛽1 , 𝛽2 , 𝜎2|𝑌 • 𝔏 𝛽1 , 𝛽2 , 𝜎2|𝑌 を尤度関数という。 – log𝔏 𝛽1 , 𝛽2 , 𝜎2|𝑌 を対数尤度関数という。
40. 最尤推定 • 以下の式を解くことを考える。 – 𝜕log𝔏 𝛽1,𝛽2,𝜎2|𝑌 𝜕𝛽1 = 1 2𝜎2 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑥𝑖 – 𝜕log𝔏 𝛽1,𝛽2,𝜎2|𝑌 𝜕𝛽2 = 1 2𝜎2 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑥𝑖 – 𝜕log𝔏 𝛽1,𝛽2,𝜎2|𝑌 𝜕𝜎2 = − 𝑛 2𝜎2 + 1 2𝜎4 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2 𝑥𝑖 2
41. 最尤推定 • このとき、最尤推定量は以下のとおり。 – ෨ 𝛽1 = ᪄ 𝑌 − ෨ 𝛽2 𝑥𝑖 – ෨ 𝛽2 = 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖− ᪄ 𝑥 𝑦𝑖− ᪄ 𝑦 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖− ᪄ 𝑥 2 – ෤ 𝜎2 = 1 𝑛 𝛴𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 − ෨ 𝛽1 − ෨ 𝛽2 𝑥𝑖 2
42. ラグランジュの未定乗数法 1. ラグランジアン𝔏 = 𝑢 𝑥 + 𝜆 𝑤 − 𝑝 ⋅ 𝑥 を用意する。 2. それぞれの固定された𝜆について、𝔏を最大化する。 3. 𝑝 ⋅ 𝑥𝜆∗ 𝑝, 𝑤 = 𝑤を満たすような𝜆∗を求める。 • ただし、- 𝑥 𝑝, 𝑤 ∈ 𝑅+ 𝑘は消費者のdemand function(correspondence)。
43. ラグランジュの未定乗数法 • ラグランジュの未定乗数法を使うにあたっての仮定は以 下のとおり。 – 𝑢 𝑥 は二回微分可能。 – 𝑢 𝑥 は局所非飽和（locally non-satiated）である。 • 消費者は十分にwelthを使う。 – いかなる𝑝, 𝑤, 𝑘 = 1, ⋯ 𝐾について、𝑥𝑘 𝑝, 𝑤 > 0. – 𝑥 𝑝, 𝑤 は関数である。 • 「𝑢 𝑥 が厳密な準凹関数である。」⇒「𝑥 𝑝, 𝑤 は関数である。」