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1. UNIVERSIDAD T´ ECNICA FEDERICO SANTA MAR´ IA DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA Matem´ atica II Pauta del Certamen No1 Lunes 15 de Diciembre del 2008 1. Determinar el valor de a ∈ R (si existen) para que el sistema de ecuaciones: x + y + z = 1 2x + y + az = 1 4x + y + a2z = a a) Tenga soluci´ on ´ unica b) No tenga soluci´ on c) Tenga infinitas soluciones Desarrollo: 1 1 1 2 1 a 4 1 a2 = (a2 − a) − (2a2 − 4a) + (2 − 4) = −(a − 1)(a − 2), luego, el sistema tendr´ a soluci´ on ´ unica para a = 1 ∨ a = 2 Para el caso a = 1, tenemos: [A|B] =   1 1 1 1 2 1 1 1 4 1 1 1   ∼   1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 −3 −3 −3   ∼   1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0   El Rango de A y de la ampliada es el mismo y no m´ aximo, luego en este caso se tienen infinitas soluciones. Para el caso a = 2, tenemos: [A|B] =   1 1 1 1 2 1 2 1 4 1 4 2   ∼   1 1 1 1 0 −1 0 −1 0 −3 0 −2   ∼   1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1   El Rango de A es 2 y el de la ampliada es 3, luego en este caso el sistema no tiene soluci´ on. 2. Calcular, si existe, el siguiente l´ ımite: l´ ım x→0 x sen(x) 0 e−t2 dt 1 − cos(x) Desarrollo: Usando L‘H, tenemos: l´ ım x→0 x sen(x) 0 e−t2 dt 1−cos(x) = l´ ım x→0 sen(x) 0 e−t2 dt+xe− sen2 x cos x sen x = l´ ım x→0 2e− sen2 x cos x−sen x(x+2 cos x)e− sen2 x cos x = 2
2. 3. P2 denota el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, junto al polinomio nulo. Sea W = {p(x) ∈ P2 / 1 −1 p(x) dx = 0, p (0) = 0} a) Determine si W es un subespacio vectorial real de P2 con las opera- ciones usuales de suma de polinomios y multiplicaci´ on de polinomios por escalares. Desarrollo: Sea p(x) = 0, el polinomio nulo, entonces p (x) = 0 ⇒ p (0) = 0, adem´ as, 1 −1 p(x) dx = 1 −1 0 dx = 0, luego, p(x) = 0 ∈ W ⇒ W = ∅ Sean α y β reales y p(x) con q(x) polinomios en W, es decir, sabemos que p (0) = q (0) = 0 y 1 −1 p(x) dx = 1 −1 q(x) dx = 0, luego, (αp + βq) (0) = αp (0) + βq (0) = α0 + β0 = 0, por otro lado: 1 −1 (αp + βq)(x) dx = α 1 −1 p(x) dx + β 1 −1 q(x) dx = α0 + β0 = 0, de donde tenemos: (αp + βq)(x) ∈ W, luego, W ≤ P2 b) Determine una base BW de W. ¿Qu´ e dimensi´ on tiene W? Desarrollo: W = {ax2 + bx + c / 1 −1 (ax2 + bx + c) dx = 0 ∧ (ax2 + bx + c) (0) = 0} = {ax2 + bx + c / a 3 + c = 0 ∧ b = 0} = {ax2 + bx + c / a = −3c ∧ b = 0} = {−3cx2 + c / c ∈ R} = 1 − 3x2 Luego, una base para W es {1 − 3x2}, con lo que dimW = 1 4. a) Si A es una matriz de orden 3 × 3 tal que AT = A−1. Calcular el deter- minante de la matriz 3A. Desarrollo: At = A−1 ⇒ detAt = detA−1 ⇒ detA = 1 detA ⇒ (detA)2 = 1 ⇒ detA = ±1 ⇒ det(3A) = 33detA = ±27 b) Determine bajo que condiciones de a, b y c, la siguiente matriz es in- vertible   1 a a2 1 b b2 1 c c2   Desarrollo: 1 a a2 1 b b2 1 c c2 = 1 a a2 0 b − a b2 − a2 0 c − a c2 − a2 = (b − a)(c − a)(c − b), luego, la ma- triz es invertible si el determinante es no nulo, es decir, ser´ a invertible s´ ı y s´ olo s´ ı a, b y c son diferentes de a pares