Python × 数学ブートキャンプガイド

Python × 数学ブートキャンプガイド 2023/04/29 中井悦司 / Etsuji Nakai このスライドはコミュニティイベント「Python x
数学ブートキャンプガイド」での発表資料です。

中井悦司 / Etsuji Nakai $ who am i 新発売！

AI / 機械学習と数学の関係

「機械学習モデルの設計」とは？ • 世の中に現れるデータは、何らかの「理論」に従って発生しているはず • 背後の「理論」が完璧に分かれば、すべてのデータを正確に予測できるはず ◦ 例：天候変化の理論が完璧にわかれば、天気予報は絶対に当たるはず • 現実には、完璧な理論はわからないので、まずはシンプルな数式でどこまで当たるか試してみる
⇨ いきなり複雑なものを考え出すと、選択肢が多過ぎてどれがよいか分からないので、シンプルなものから徐々に複雑なものへと変えていくのがよい「数理科学」の信念？機械学習の考え方

最もシンプルなモデル＝線形モデル • 一次関数で予測する • 計算が高速 • 入力データを工夫することで実用的な予測も可能
• 線形多項分類器 ⇨ 分類したい個数分だけ一次関数を用意いわゆる「特徴量エンジニアリング」複数の一次関数をまとめて処理するテクニック（＝線形代数）が活躍！

ニューラルネットワークも線形代数が基礎 • 分類問題であれば、最後は、線形多項分類器で予測 • 前段部分は、入力データから分類に適した「特徴量」を抽出するフィルターのようなもの

ニューラルネットワークも線形代数が基礎 • 分類問題であれば、最後は、線形多項分類器で予測 • 前段部分は、入力データから分類に適した「特徴量」を抽出するフィルターのようなもの最後は一次関数で予測入力データを変形して、予測に役立つ情報を抽出

確率モデル＝確率値を予測する • 世の中には、本質的に「確率的に発生するデータ」が存在する • 「あるデータが得られる確率」を計算する確率モデルを構築する •
誤差関数＝「モデルが予測する確率で発生させたデータ」と「実際に観測されたデータ」がどの程度一致するかを表す指標 ※ 詳しくは小島さんパートで！「数理科学」の考え方

モデルの学習：誤差関数を最小にするパラメーターを求める • 勾配降下法：「微分計算＝グラフの傾き」という関係を利用して、誤差関数小さくする方向にパラメーターを修正 ※ 詳しくは辻さんパートで！

Explainable AI（説明可能な AI） • モデルが入力データからどのような情報を抽出しているのかを理解する • 抽出された情報の関係を幾何学的に理解する際に「集合と位相」が役立つ最後は一次関数で予測入力データを変形して、
予測に役立つ情報を抽出

データの配置を幾何学的に理解する ※ 詳しくは小島さんパートで！

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線形代数

参考資料

記事内で取り扱っているトピック • 行列計算（和・差・スカラー倍・行列積） • 行列式と逆行列 • 平面ベクトルの一次変換 • 空間ベクトルへの拡張回転処理を行う
サンプルコードを掲載

特に工夫したポイント • 一次変換のイメージを数式とあわせて、いかに分かりやすく伝えるか

一次変換の定義変換前変換後 A

一般のベクトルは、標準基底の線形和になっている標準基底

一次変換＝係数を固定して、標準基底を変換

標準基底を回転すると平面全体が回転するの場合

一次変換を表す行列は、標準基底の行き先を並べたもの 45 度回転を表す行列の行き先の行き先

一次変換を表す行列は、標準基底の行き先を並べたもの

一次変換による平面の変形例

行列式は一次変換の拡大率

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