Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: Método de diagonalización

El método de diagonalizacion se utiliza en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

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1. Universidad Regional Amazónica Ikiam Carrera: Ingenierías Asignatura: Matemáticas III Grupo: 1 Actividad N°: 9 Tema: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales solución mediante diagonalización Realizado por: Jefferson Vladimir Pastuña F. Fecha: 21/02/2019
2. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización • Aplicar un método para solución de sistemas de ecuación diferenciales lineales. • Explicar el método mediante diagonalización para solución de ecuaciones diferenciales lineales. • Aplicar el método mediante diagonalización en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. OBJETIVOS
3. MARCO TEÓRICO • Sistema de ecuaciones: Es un conjunto de dos a más ecuaciones con varias incógnitas, por lo general el conjunto esta unido con un corchete a lado izquierdo, también estos se pueden expresar en forma matricial. El objetivo matemático del sistemas de ecuaciones es encontrar las incógnitas. • Ecuaciones diferenciales lineales: Son ecuaciones matemáticas que contiene una variable independiente (puede ser x) y una función (puede ser y = y(x)) con una o mas derivadas, la derivada de la función puede ser y’, y’’,…,yᵏ Anónimo, 2008). • Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Es un conjunto de dos a mas ecuaciones con varias incógnitas. Las incógnitas para este caso son una o mas funciones, pero cada incógnita depende de una sola variable independiente (Anónimo, (s.f.)). • Diagonalización: “Sea ∈ , se dice que A es diagonalizable si solo A es semejante a una matriz diagonal si solo (↔ ∃ ∈ ) inversible tal que −1 = diagonal” (Pustilnik y Gómes, 2017). Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización
4. INTRODUCCIÓN “Se considerará un método alternativo que sirve para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Este método es aplicable a un sistema como Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización ′ = Siempre que la matriz de coeficientes A sea diagonalizable” (Zill, 2009, p.427).
5. SISTEMAS ACOPLADOS Es un sistema homogéneo ′ = …(1), Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización 1 ′ 2 ′ ⋮ ′ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋮ ⋯ 1 2 ⋮ , En el cual cada ′se expresa como una combinación lineal de 1 , 2 , … , se dice que esta acoplado. Si la matriz de coeficientes A es diagonalizable, entonces el sistema se puede desacoplar en cada ′únicamente en términos de . Con base en Zill (2009, pp.427-429)
6. Si la matriz A tienen n vectores propios linealmente independientes entonces, con base en el teorema en Zill (2009) “sea A una matriz simétrica con elementos reales. Por lo tanto, los valores propios de A son reales” (p.361), se sabe que se puede encontrar una matriz P tal que −1 = , donde D es una matriz diagonal. Al sustituir = en la ecuación (1), entonces Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización 1 ′ 2 ′ ⋮ ′ = 1 0 0 ⋯ 0 0 2 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 ⋯ 1 2 ⋮ . (3) ′ = ′ = −1 ′ = . (2) La última ecuación dada en (2) es lo mismo que
7. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización Como D es diagonal, una inspección de (3) revela que este nuevo sistema no esta acoplado: cada ecuación diferencial presente en el sistema es de la forma ′ = , = 1,2, … , . La solución de cada uno de esas ecuaciones lineales es = , i = 1, 2, …, n. Por lo tanto, la solución general de (3) se puede escribir como el vector columna = 1 1 2 2 ⋮ 2 . (4) Puesto que ahora conocemos Y, y como la matriz P se puede construir a partir de los vectores propios de A, la solución general del sistema original ′ = se obtiene a partir de X = PY.
8. EJERCICIO Utilice la diagonalización para resolver el siguiente sistema dado Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización ′ = 1 1 4 1 1 Solución Comenzaremos por encontrar los valores impropios y los correspondientes vectores propios de la matriz de coeficientes. A partir de (A - λI) = (1 - λ) (1 - λ) – ¼, obtenemos λ1= 3/2 y λ2= 1/2 1 − 2 + 2 − 1 4 2 − 2 + 3 4 − 3 2 − 1 2 → 1 = 3 2 , 2 = 1 2
9. Ya que los valores propios son distintos, los vectores propios son linealmente independiente. Cuando se resuelve ( − )K = 0 para i = 1 y 2 se obtiene, respectivamente, Con 1 = 3 2 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización − 1 2 1 4 1 − 1 2 1 2 = 0 − 1 2 1 + 1 4 2 = 0 (1) 1 − 1 2 2 = 0 (2) Multiplicando (1) x2 −1 + 1 2 2 = 0 → 1 = 1 2 = 2
10. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización Con 1 = 1 2 1 2 1 4 1 1 2 1 2 = 0 1 2 1 + 1 4 2 = 0 (1) 1 + 1 2 2 = 0 (2) → 1 = 1 2 = −2 Multiplicando (1) x2 1 + 1 2 2 = 0 1 = 1 1 , 2 = 2 −2 .
11. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización Por lo tanto, una matriz que diagonaliza la matriz de coeficientes es = 1 2 1 −2 . Los elementos en la diagonal principal de D son los valores propios de A correspondientes al orden en que aparecen los vectores propios en P: = 3 2 0 0 1 2 .
12. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización Tal como se ilustro anteriormente, la sustitución de X = PY en ′ = produce el sistema desacoplado ′ = . La solución general de este ultimo sistema es inmediata = 1 3 2 2 1 2 . Por lo tanto la solución del sistema dado es = = 1 2 1 −2 1 3 2 2 1 2 = 1 3 2 + 22 1 2 1 3 2 − 22 1 2 .
13. BIBLIOGRAFÍA Pustilnik, I., y Gómez, F., (2017). Diagonalización de una matriz. Universidad Tecnológica Nacional Facultad regional Buenos Aires. Recuperado de https://aga.frba.utn.edu.ar/diagonalizacion-de-una-matriz/ Anónimo (2008). Ecuaciones diferenciales: Departamento de matemáticas. Universidad de Murcia. Recuperado de https://www.um.es/docencia/pherrero/ec_dif.pdf Anónimo (s.f.). Lección 8: Sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Recuperado de http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/Apuntes/lec8.pdf Zill, D., G., (2009). Matemáticas avanzada para ingenierías, vol. 1: Ecuaciones diferenciales. México D.F.: The McGraw-Hill. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales: Solución mediante diagonalización