すうがくのまほう

2013-08-09 #dekaLT in Okinawa National College of Technology

Transcript

1. すうがくのまほう 當眞 ジェイソン翔 (@kagamiz) (沖縄工業高等専門学校 メディア情報工学科) 2013/8/9 #dekaLT at OkNCT
2. 自己紹介 • 當眞 ジェイソン翔 – Twitter やってます (@kagamiz) • 多趣味です – 読書 – ピアノ – プログラミング – 数学
3. 自己紹介 • 當眞 ジェイソン翔 – Twitter やってます (@kagamiz) • 多趣味です – 読書 – ピアノ – プログラミング –数学
4. ＿人人人人＿ ＞　数学　＜ ￣Y^Y^Y￣
5. 苦しい数学 • 高専では数学系科目がたくさん – 基礎数学 – 微積分 – 線形代数 – 応用数学
6. 苦しい数学 • 高専では数学系科目がたくさん – 基礎数学 (8 単位) – 微積分 (8 単位) – 線形代数 (2 単位) – 応用数学 (2 単位)
7. 数学の必要性 • なんでこんなに数学をするんだろう？？ • ！！調べてみよう！！
8. 数学の必要性
9. 数学の必要性 • 4,050,000 件の理由がある(驚愕) • どんな理由なんだろう？？
10. 数学の必要性 • 対称行列の固有値問題と対角化があります。対称行列の固有値は必らず実数で、固有ベクトルは互いに直交するというやつです。その理論は、統計学 で多変量解析、とくに主成分分析で中心的である一方、材料力学や土質工学、地震学などで出て来るひずみテンソルや応力テンソルの理論の中心でも あり、さらにまた、半導体設計などで必要な量子力学の基礎理論のベースでもあります。 • 数学と物理学には、人間の通常の日常感覚ではまったく理解することも想像することもできない対象が現れます。分子や原子・電子といったミクロの 世界の支配則である量子力学や、宇宙の構造を支配する相対性理論は高度に抽象化された数学で裏付けられています。 • 例えば、医学部に行きたい人がなんで数学が必要なのでしょうか？医療で数学を使うわけでもないし、必要ないと思いますよね。実は医学部に関して 入試ではかる数学力は、計算力です。医者という職業はミスが許されない現場ですよね。計算ミスをいっぱいしているような人が、医者という職業に むいていると思いますか？医者に向いてないとは言えませんが、おそらく医療ミスを起こしてしまうかもしれません。 • 今日の科学技術文明では，多くのものが数値化されて表示される．その意味を数量的に的確に把握する数量感覚が現在は特に必要となっている．また ，安心して生活をおくるためには今まで以上に高度な数学が要求されるようになっている．たとえば，電卓が自由に使えるには加減乗除や小数の意味 ，さらには数の指数表示の意味が分かっている必要があり，地震や騒音のことがきちんと分かるためにはマグニチュードやデシベルが対数を基本にし た単位系であることを理解しておく必要がある．しかし，こうした日常生活で必要な「算数」・「数学」の学習成果はあまりに基本的であるために， ちょうど水や空気のように，通常はその必要性さえ意識されることはない． • また，数学は日常の素朴な問題から出発しても，それを解くために問題を抽象的に考察することが多く，抽象化の結果，数学の適用範囲がさらに拡が るという歴史を繰り返してきた．こうした数学の考え方，数学の働きを学ぶことも大切である．特に，対象を分析し，問題の本質が何であるかを考察 する数学の学問としてのあり方は，複雑化の一方をたどる現代社会の中で，対象の構造を明確に把握し考察するシステム的な思考の基本をなすもので もあり，今後ますます重要なものとなってくる．数学を学ぶ意味は広くかつ深い．数学のカリキュラムは数学の持つこうした多面的な側面を生かし， かつ学ぶ楽しみを通して数学の持つ美しさ，深さを実感することのできるものでなければならない．ところが，残念なことに，受験問題の解法のテク ニックのみを教えることに特化した「受験にのみ役立つ数学」が，盛んになっている．高等学校で「受験にのみ役立つ数学」が盛んになる重大な原因 の一つが，短時間に多数の解答を要求するセンター試験にあることは否定できない事実であり，早急に改善することが必要とされる．さらに，現在， 高等学校の多くで大学受験で必要とする数学に基づいて，理系と文系に生徒を分けて数学教育が行われているが，これは上述した数学の教育の趣旨に 背くものであり，数学を必要とする分野の増大という現在の学問の動きにも逆行している．また，「受験にのみ役立つ数学」は，「数学は公式を暗記 してそれに数値を当てはめて問題を解くこと」という誤解を広め，多くの「数学嫌い」の生徒を生み出している．しかし，多くの「数学嫌い」の生徒 は，本当は数学を分かりたいと密かに願っている．その願いに応える数学の教育を構築する必要がある． • 数学は"論理的思考"と"発想力"を身につける学問です。･･･と書いてしまうと、余計難しくなってしまいますので、分かり易い例を挙げます。例えば、 6匹の猿に、1枚のピザをあげたら、｢ウキキィー｣と騒ぎながら奪い合いが始まります。まさに早いもん勝ちの世界。でも数学を身につければ、「ピザ 全体の360度を6等分すれば一枚当たり60度だ」と、論理的にピザを均等に分け、争いを防ぐことが出来ます。「体の大きさによって食べる量が違 う」と言われたら、”体重比”や”身長比”でピザを分けることも出来ちゃいます。「論理的である」ということは、イコール「誰でも納得できる」とい うことなのです。数学ってスゴいと思いませんか？ • 数学の問題を解くには、まずその問題が何を求めているのかを正しく理解する「理解力（読解力）」が求められます。そして、次に必要なのが「発想 力」や「応用力」。答えは１つでも、その答えを導き出す方法は必ずしも１つとは限りません。「どう考えれば良いのかなぁ？」と頭の中のCPUが回 転し始めます。過去に解いた問題を応用する方法で考えたり、仮説を立てて考えたり。そして、問題を解く方法が複数思いついた時は、「どの方法が 、効率良く（＝短時間で）解くことができるか？」なんてことまでも考えます。数学の問題を解くことで、「読解力」や「発想力」、「応用力」など
11. ＿人人人人＿ ＞　辛い　＜ ￣Y^Y^Y￣
12. やっぱり苦しいじゃないか(憤怒) • 必要なのはわかってもつらい... • 必要なのはわかるけど好きになれない... • !!5 感に訴える魔法をかけちゃいます!! 3 感
13. １．視覚に訴える魔法 • フラクタル – 図形の一部分と全体が相似になっているもの • 見てて癒されます! (沖縄県, 17歳男性)
14. １．視覚に訴える魔法 • バラ曲線 (Rose curve) – 極座標の式 で表される曲線 • HPのロゴにできそう! (沖縄県, 17歳男性)
15. ２．聴覚に訴える魔法 • 竹内関数
16. ２．聴覚に訴える魔法 • 竹内関数 • やばすぎる漸化式 • もうこれ(何が聴覚に訴えるか)わかんねえ な...
17. ２．聴覚に訴える魔法 • 竹内関数 • f(10, 5, 0) を呼ぶと343,073回の再帰 • 引数に応じて音を割り当ててみると...
18. ２．聴覚に訴える魔法 • 竹内関数 • f(10, 5, 0) を呼ぶと343,073回の再帰 • 引数に応じて音を割り当ててみると... • HPのBGMに使えそう!(沖縄県, 17歳男性)
19. なぜ音楽的に聞こえるのか ▪ちょっとした工夫最初に少し種明かしをすると、より音楽的になるように以下のような工夫をしています。 ・ダイアトニックスケール（白鍵）だけを使用し調性の外れた音が出ないようにした ・最小値(-1)をレにわりあてることで少し寂しげなドリアンスケールにした（とはいえ-1の出現頻度が低いのでミからはじまるフリジ アンスケール的かも） ・オートアルペジオ、テンポ、音色の設定でミニマルミュージック風にした上記のことをおこなうと、ただの乱数でもわりとそれっぽ く聴こえるかと思います。しかし、これらのささいな演出を加えなくても、以下に述べる竹内関数の数学的特徴そのものがとても音楽 的な構造になっている部分があり、それが前回興味深く感じたポイントです。 ▪竹内関数の音楽的特徴竹内関数の引数の動きを音楽的に見ていくとxとyの関係によって以下のようなことがおこっているようです。 （１）x>yのとき x>yの場合、yとzの値は変化せずに1回再帰するたびにxが1ずつ減少します*1。これは音楽でいうクリシェにあたり、メロディアスで 切ない雰囲気や、宗教曲のような厳かな感じが出ます。またクリシェを速いアルペジオで弾くとちょっとバッハようなバロック音楽の フレーズっぽくなります。 （２）x=yのとき xが減少していってyと等しくなるとそれまでのメロディアスな動きが止まって停滞した感じになります。いままで3和音であったアルペ ジオが2和音になって明らかにフレーズが変わりメロディの区切りがきたように感じます。 （３）x<=yのとき 次の進行竹内関数は三分木の枝をひたすら再帰計算していきますが、x<=yになったときにひとつの枝の先端までたどりつきます。その ため、次は元の枝を遡って別の枝の計算に移ります。ずっと連続的進行だったxが跳躍的進行になり、それまで固定だったy、zも一気に 変化するので調性が変わりAメロからBメロに移ったような雰囲気が出て、ふたたび仕切りなおしたクリシェがはじまります。つまり、 クリシェ→停滞→調性切替→クリシェ→停滞→調性切替→クリシェ→……といった感じで場面が時間とともに変化していくことになり ます。クリシェの部分はとてもメロディアスで魅力的であるもののそれだけでは音楽になりません。クリシェが数小節続いて単調にな りかけたときに1小節の停滞がきて、その後別の調性に展開するので退屈せずに聴き続けられる音楽になっているのではないかと思いま す。動画の34小節目あたり(1:05)でクリシェがなかなか続かず頻繁に停滞してしまう状態が続いた後に44小節目(1:23)で調性が変わる ときの開放感がなんともいえず好きです。
20. ＿人人人人＿ ＞　辛い　＜ ￣Y^Y^Y￣
21. ３．味覚に訴える魔法 • Pancake の定理 – 2 次元空間内に与えられた 2 個の可測な「物 体」に対して, それぞれの量を一度に等分す ることが出来るような 1 次元超平面が存在す ることについて述べた定理である。 (Wikipedia より引用)
22. ３．味覚に訴える魔法 • Pancake の定理 – 2 次元空間内に与えられた 2 個の可測な「物 体」に対して, それぞれの量を一度に等分す ることが出来るような 1 次元超平面が存在す ることについて述べた定理である。 (Wikipedia より引用) • ？？？？？？？？
23. ３．味覚に訴える魔法 • Pancake の定理 – 2 次元空間内に与えられた 2 個の可測な「物 体」に対して, それぞれの量を一度に等分す ることが出来るような 1 次元超平面が存在す ることについて述べた定理である。 – パンケーキの美味しさを百分率で表すと 100 - [10L - 7F+C(k - C) + T(m - T)]/(S – E) で表される
24. ３．味覚に訴える魔法 • Pancake の定理 – パンケーキの美味しさを百分率で表すと 100 - [10L - 7F+C(k - C) + T(m - T)]/(S – E) で表される – k, mは定数であとは変数 – それぞれの定数・変数の意味は読者への演習 問題とします – 沖縄県17 歳男性はクソザコなのでパンケー キをつくれませんでした
25. ３．味覚に訴える魔法 • なんとなく美味しそうな定理 – パンケーキの定理(前述) – ハムサンドイッチの定理 • 美味しくないパンケーキの定理の3 次元版 – ハムチーズサンドイッチの定理 – サンドイッチの定理 – FLT • BLT に似ている • フェルマーの最終定理の略
26. ３．味覚に訴える魔法 ＿人人人人人人＿ ＞　炭水化物　＜ ￣Y^Y^Y^Y^Y￣
27. まとめ • 数学はやっぱり難しい(絶望) • 社会的な役割以外にも, 見て, 聴いて, 食 べて楽しめるものがある • 魔法をかけるプロである数学を楽しもう!