Hurwitz

卒業研究発表のためのスライド

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1. ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ ࢁຊɾ৿ɾۨా ؔ઒ݚڀࣨ 2020/01/14 ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
2. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ఆٛ : ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ଟ߲ࣜ P(s) = p0 + p1s + · · · + pnsn ʹ͍ͭͯɺશͯͷ͕ࠜෳૉฏ໘ͷࠨଆʹ͋Δͱ͖˞ P(s) ΛɺϑϧϏοπଟ߲ࣜͱ͍͏ɻ ˞஫ҙ ڥքઢ্͸ؚ·ͳ͍ɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
3. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ϑϧϏοπଟ߲ࣜͷੑ࣭ 1 P(s) ͕࣮ϑϧϏοπଟ߲ࣜͳΒ͹ɺ શͯͷ܎਺͸ඇྵ͔ͭಉූ߸ɻ 2 P(s) ͕ n ࣍ϑϧϏοπଟ߲ࣜͳΒ͹ɺ P(iω) ͷภ֯ arg[P(iω)] ͸࿈ଓ͔ͭ (−∞, ∞) Ͱڱٛ୯ௐ૿ Ճ͢Δ ω ͷؔ਺ɻ͞Βʹͦͷ૿Ճྔ͸ɺ arg[P(+i∞)] − arg[P(−i∞)] = nπ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
4. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ଟ߲ࣜ P(s) ʹ͍ͭͯɺҎԼͷଟ߲ࣜΛఆٛ͢Δɻ ఆٛ 1 Peven(s) := p0 + p2s2 + p4s4 + · · · Podd(s) := p1s + p3s3 + p5s5 + · · · Pe(ω) := Peven(iω) Po(ω) := Podd(iω) iω ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
5. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ଟ߲ࣜ P(s) ʹ͍ͭͯɺҎԼͷଟ߲ࣜΛఆٛ͢Δɻ ఆٛ 2 n = 2m ͷ৔߹ Q(s) = [ Peven(s) − p2m p2m−1 sPodd(s) ] + Podd(s) n = 2m + 1 ͷ৔߹ Q(s) = [ Podd(s) − p2m+1 p2m sPeven(s) ] + Peven(s) ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
6. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ͜͜Ͱɺµ ΛҎԼͰఆٛ͢Δɻ µ = pn pn−1 ͜ͷͱ͖ɺQ(s) ͸ҎԼͷΑ͏ʹදͤΔɻ Q(s) = pn−1sn−1 + (pn−2 − µpn−3)sn−2 + pn−2sn−3 +(pn−4 − µpn−5)sn−4 + · · · (1) ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
7. ϑϧϏοπଟ߲ࣜ ఆٛ : ִ཭ੑ P(s) ʹ͍ͭͯ Peven(s) ͱ Podd(s) ͷ࠷ߴ࣍܎਺͕ಉූ߸ɻ Peven(s) ͱ Podd(s) ͷࠜ͸͢΂ͯ૬ҟͳΓɺڏ্࣠ʹަޓʹ ฒͿɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
8. ϑϧϏοπ҆ఆ ִ཭ఆཧ ࣮ଟ߲ࣜ P(s) ͕ϑϧϏοπ҆ఆͰ͋Δ͜ͱͱɺִ཭ੑΛຬͨ͢ ͜ͱ͸ಉ஋ɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
9. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ n ͕ۮ਺ͷ৔߹ʹ͍ͭͯߟ͑Δɻ(ح਺ͷ৔߹͸লུ) (a)P(s) = p0 + · · · + p2ms2m ͕҆ఆͳͷͰɺִ཭ఆཧΛຬͨ͢ɻ Pe(ω) ͷਖ਼ࠜ ωe,1, ωe,2, ..., ωe,m ͱ Po(ω) ͷਖ਼ࠜ ωo,1, ωo,2, ..., ωo,m−1 ͸ҎԼͷΑ͏ʹִ཭͢Δɻ 0 < ωe,1 < ωo,1 < ωe,2 < ... < ωo,m−1 < ωe,m ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
10. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ Qe(ω), Qo(ω) ͸ͦΕͧΕ Qe(ω) = Pe(ω) + µω2Po(ω) µ = p2m p2m−1 Qo(ω) = Po(ω) Ͱ༩͑ΒΕΔɻ͜ͷ͜ͱ͔ΒɺQo(ω) ͕ m − 1 ݸͷਖ਼ࠜ (ωo,1, ωo,2, ..., ωo,m−1) Λ࣋ͭ͜ͱ͕Θ͔Δɻ ΑͬͯɺPo(ω) ͸ m − 1 ݸͷਖ਼ࠜΛ࣋ͭ͜ͱ͕Θ͔Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
11. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ ·ͨɺQe(ω) ͷܗ͔Βɺ Qe(0) = Pe(0) > 0 Qe(ωo,1) = Pe(ωo,1) < 0 ... Qe(ωo,m−2) = Pe(ωo,m−2)...sgn(−1)m−2 Qe(ωo,m−1) = Pe(ωo,m−1)...sgn(−1)m−1 ͱͳΔɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
12. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ ނʹɺQe(ω) ʹ͸ m − 1 ݸͷਖ਼ࠜ ω′ e,1 , ω′ e,2 , ..., ω′ e,m−1 ͕͋Γɺ Qo(ω) ͷ m − 1 ݸͷਖ਼ࠜ ωo,1, ..., ωo,m−1 ͱִ཭͋͠͏ɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
13. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ ࠷ޙʹɺQo(ω) ͷ࠷େͷࠜ ωo,m−1 Ͱ Qe(ω) ͷූ߸͸ (−1)m−1 ͱ ಉ͡Ͱ͋ΔͱΘ͔Δɻ͔͠͠ɺQe(ω) ͷ࠷ߴ࣍܎਺͸ q2m−2(−1)m−1 ΑΓɺ͜ͷ q2m−2 ͸ q2m−1 = p2m−1 ͱಉූ߸Ͱͳͯ͘͸ͳΒ ͳ͍ɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
14. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ ͦ͏Ͱͳ͚Ε͹ɺQe(ω) ͸ ωo,m−1 ͔Β +∞ ͷؒͷූ߸มԽΛ࠶ ͼҾ͖ى͜͠ɺQe(ω) ͕ m ݸͷਖ਼ࠜΛ࣋ͭ͜ͱʹໃ६͢Δɻैͬ ͯɺP(s) ͕҆ఆͳΒ͹ɺִ཭ੑΛຬͨ͠ɺQ(s) ͸҆ఆɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
15. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ (b) ٯʹɺQ(s) ͕҆ఆͳΒ͹ɺ P(s) = [Qe(s) + µsQo(s)] + Qo(s), µ = p2m p2m−1 ͱॻ͚Δɻ(a) ͱಉ͡ਪ࿦ʹΑΓɺPo(ω) ʹ͸ m − 1 ݸͷਖ਼͕ࠜ ͋ΓɺPe(ω) ʹ͸ Po(ω) ͷਖ਼ࠜͱަࡨ͢Δ۠ؒ (0, ωo,m−1) ʹ m − 1 ݸͷ͕ࠜ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
16. ϑϧϏοπ҆ఆ ิ୊ 1 P(s) ͷશͯͷ܎਺͕ਖ਼ͷͱ͖ɺP(s) ͕҆ఆ˱ Q(s) ͕҆ఆ ূ໌ ͞Βʹɺωo,m−1 Ͱͷ Pe(ω) ͷූ߸͸ (−1)m−1 ͱಉ͡Ͱ͋Δ͕ɺ Pe(ω) ͷ߲ p2ms2m ͷූ߸͸ (−1)m Ͱ͋Δ͔ΒɺPe(+∞) ͷූ߸ ͸ (−1)mɻ ैͬͯɺPe(ω) ͸ m ൪໨ͷਖ਼ࠜɺ ωe,m > ωo,m−1 Λ࣋ͭɻΑͬͯɺP(s) ͸ִ཭ੑΛຬͨ͠ɺΏ͑ʹ҆ఆͰ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
17. ϑϧϏοπ҆ఆ ҆ఆੑ൑ఆΞϧΰϦζϜ ิ୊ 1 ͔Βɺ࣍਺Λ࿈ଓతʹݮΒ͢͜ͱͰɺଟ߲ࣜ P(s) ͷ҆ఆ ੑΛ֬ೝͰ͖Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ ͜ͷ͜ͱ͔Βɺ࣍ͷΞϧΰϦζϜ͕ಘΒΕΔɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
18. ϑϧϏοπ҆ఆ ҆ఆੑ൑ఆΞϧΰϦζϜ HurwitzTest(P(s)){ P[0] ← P(s) for (i ← 0 to n − 2){ array ← P[i] for (j ← 0 to length(array)){ if array[j] ≤ 0 then return false end if } if i ≤ n − 2 P[i + 1] = Q(s) ∵ (1) end if } return true } ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
19. ஫ҙ ͨͩ͠ɺP[i] ʹೖΔͷ͸܎਺ͷ഑ྻɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
20. ϑϧϏοπ҆ఆɾ҆ఆྫ Figure: Pe(ω) = 11ω8 − 145ω6 + 331ω4 − 155ω2 + 6 Po(ω) = ω8 − 52ω6 + 266ω4 − 280ω2 + 49 ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
21. ϑϧϏοπ҆ఆɾෆ҆ఆྫ Figure: Pe(ω) = 21ω8 − 145ω6 + 331ω4 − 155ω2 + 6 Po(ω) = ω8 − 52ω6 + 266ω4 − 280ω2 + 49 ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
22. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 2 2 ͭͷଟ߲ࣜ P1(s) = Peven(s) + Podd 1 (s) ٴͼ P2(s) = Peven(s) + Podd 2 (s) ͕ಉ͡ۮ਺෦ Peven(s) ͱҟͳΔح਺ ෦ Podd 1 (s) ͱ Podd 2 (s) ΛͦΕͧΕ࣋ͪɺ Po 1 (ω) ≤ Po 2 (ω) (∀ω ∈ [0, ∞]) Λຬͨ҆͢ఆͳଟ߲ࣜͱ͢Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
23. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 2 ଓ͖ ͜ͷͱ͖ɺPodd(s) ͕ Po 1 (ω) ≤ Po(ω) ≤ Po 2 (ω) (∀ω ∈ [0, ∞]) Λຬͨ͢Α͏ͳ͢΂ͯͷଟ߲ࣜ P(s) = Peven(s) + Podd(s) ͸҆ఆͰ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
24. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 2 ͷূ໌ Peven(s) + Podd 1 (s) ͱ Peven(s) + Podd 2 (s) ͸ͲͪΒ΋ִ཭ੑΛຬ ͨ͢ ಛʹɺPo 1 (ω) ͱ Po 2 (ω) ͸࣍਺͕౳͍͚ͩ͠Ͱͳ͘ɺ࠷ߴ࣍܎਺ͷ ූ߸͸ɺPe(ω) ͷ࠷ߴ࣍܎਺ͱಉ͡Ͱ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
25. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 2 ͷূ໌ଓ͖ ͔͜͜ΒɺPo(ω) ͕ Po 1 (ω) ΍ Po 2 (ω) ͱಉ͔࣍ͭ࠷ߴ࣍܎਺ͷූ߸ ͕ಉ͡Ͱͳ͍ݶΓɺPo(ω) ͸ Po 1 (ω) ≤ Po(ω) ≤ Po 2 (ω) Λຬͨ͠ ͑ͳ͍ɻ ͜ͷͱ͖ɺPo 1 (ω) ≤ Po(ω) ≤ Po 2 (ω) ΑΓɺPo(ω) ͷࠜͱ Pe(ω) ͷ ࠜ͸ִ཭͢Δɻނʹɺִ཭ఆཧ͔Β P(s) ͸҆ఆͰ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
26. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 3 2 ͭͷଟ߲ࣜ P1(s) = Podd(s) + Peven 1 (s) ٴͼ P2(s) = Podd(s) + Peven 2 (s) ͕ಉ͡ح਺෦ Podd(s) ͱҟͳΔۮ਺ ෦ Peven 1 (s) ͱ Peven 2 (s) ΛͦΕͧΕ࣋ͪɺ Pe 1 (ω) ≤ Pe 2 (ω) (∀ω ∈ [0, ∞]) Λຬͨ҆͢ఆͳଟ߲ࣜͱ͢Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
27. ϋϦτϊϑͷఆཧ ิ୊ 3 ଓ͖ Peven(s) ͕ Pe 1 (ω) ≤ Pe(ω) ≤ Pe 2 (ω) (∀ω ∈ [0, ∞]) Λຬͨ͢Α͏ͳ͢΂ͯͷଟ߲ࣜ P(s) = Peven(s) + Podd(s) ͸҆ఆͰ͋Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
28. ఆٛ ͜ͷͱ͖ɺҎԼͷΑ͏ͳू߹ ∆ Λߟ͑Δɻͨͩ͠ɺ0 ̸∈ [xn, yn] ͱ͢Δɻ ∆ := {δ : δ ∈ Rn+1, xi ≤ δi ≤ yi, i = 0, ..., n} ͜ͷ ∆ ͷ೚ҙͷཁૉ δ := [δ0, ..., δn] ʹ͍ͭͯɺδi Λ i ࣍ͷ܎਺ʹ ࣋ͭଟ߲ࣜશମͷू߹Λ I(s) Ͱఆٛ͢Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
29. ϋϦτϊϑͷఆཧ ϋϦτϊϑͷఆཧ ҎԼͷ 4 ͭͷଟ߲͕ࣜϑϧϏοπ҆ఆͰ͋Δ৔߹ʹݶΓ I(s) ͷ೚ ҙͷཁૉͰ͋Δଟ߲ࣜ͸ϑϧϏοπ҆ఆͰ͋Δɻ K1(s) = x0 + x1s + y2s2 + y3s3 + x4s4 + x5s5 + y6s6 + · · · K2(s) = x0 + y1s + y2s2 + x3s3 + x4s4 + y5s5 + y6s6 + · · · K3(s) = y0 + x1s + x2s2 + y3s3 + y4s4 + x5s5 + x6s6 + · · · K4(s) = y0 + y1s + x2s2 + x3s3 + y4s4 + y5s5 + x6s6 + · · · ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
30. ϋϦτϊϑͷఆཧɾূ໌ Keven max (s) := y0 + x2s2 + y4s4 + x6s6 + · · · Keven min (s) := x0 + y2s2 + x4s4 + y6y6 + · · · Kodd max (s) := y1s + x3s3 + y5y5 + x7s7 + · · · Kodd min (s) := x1s + y3s3 + x5y5 + y7s7 + · · · ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ K1(s) = Keven min (s) + Kodd min (s) K2(s) = Keven min (s) + Kodd max (s) K3(s) = Keven max (s) + Kodd min (s) K4(s) = Keven max (s) + Kodd max (s) ͱදͤΔɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
31. ϋϦτϊϑͷఆཧɾূ໌ δ(ω) = δ0 + δ1ω1 + δ2ω2 + δ3ω3 + · · · + δnωn + · · · ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ Ko max (ω) = y1 − x3ω2 + y5ω4 − x7ω6 + · · · δo(ω) = δ1 − δ3ω2 + δ5ω4 − δ7ω6 + · · · Ko min (ω) = x1 − y3ω2 + x5ω4 − y7ω6 + · · · Ke max (ω) = y0 − x2ω2 + y4ω4 − x6ω6 + · · · δe(ω) = δ0 − δ2ω2 + δ4ω4 − δ6ω6 + · · · Ke min (ω) = x0 − y2ω2 + x4ω4 − y6y6 + · · · ͱͳΔɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
32. ϋϦτϊϑͷఆཧɾূ໌ ͜ͷͱ͖ɺ Ke max (ω) − δe(ω) = (y0 − δ0) + (δ2 − x2)ω2 + (y4 − δ4)ω4 + · · · ͞Βʹɺ δe(ω) − Ke min (ω) = (δ0 − x0) + (y2 − δ2)ω2 + (δ4 − x4)ω4 + · · · Αͬͯ Ke min (ω) ≤ δe(ω) ≤ Ke max (ω), ∀ω ∈ [0, ∞] ಉ༷ʹ Ko min (ω) ≤ δo(ω) ≤ Ko max (ω), ∀ω ∈ [0, ∞] ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ
33. ϋϦτϊϑͷఆཧɾূ໌ ิ୊ 2 Λ K3ɺK4 ʹద༻͢Δ͜ͱͰɺ Keven max (s) + δodd(s) (2) ͕҆ఆͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻಉ༷ʹɺิ୊ 2 Λ K1ɺK2 ʹద༻͢ Δ͜ͱͰɺ Keven min (s) + δodd(s) (3) ͕҆ఆͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ(2)ɺ (3) ʹิ୊ 3 ʹద༻͢Δ͜ͱͰɺ δeven(s) + δodd(s) = δ(s) ͸҆ఆͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ ࢁຊɾ৿ɾۨా ଟ߲ࣜͷϑϧϏοπ҆ఆੑ