PTAS FOR SCHEDULING PROBLEM

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・紲星あかり ロゴマーク（https://commons.nicovideo.jp/material/nc177401）

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1. スケジューリング問題に対する多項式時間近似スキーム PTAS FOR SCHEDULING PROBLEM
2. PTAS • 多項式時間近似スキーム • 近似率 の解を多項式時間で求められる • APP := 近似解 • OPT := 最適解 2
3. Scheduling Problem • 終了時刻最小化スケジューリング問題 • 処理時間が設定された N 個のジョブを M 台 のマシンに割り当てるときの最小の終了時間 を求める問題 3
4. Scheduling Problem • P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • N = #P = 6 • M = 2 4
5. Scheduling Problem • P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • N = #P = 6 • M = 2 • M[1] = {1, 6, 3} • M[2] = {2, 5, 4} 最小終了時刻 = 11 5
6. Lower Bound • LB := 最適値のある程度良い下界 6
7. Lower Bound • LB := 最適値のある程度良い下界 • 全てのマシンに等しく分けられるとき 7
8. Lower Bound • LB := 最適値のある程度良い下界 • 全てのマシンに等しく分けられるとき • 大きすぎるジョブがある時 8
9. Lower Bound • LB := 最適値のある程度良い下界 • 全てのマシンに等しく分けられるとき • 大きすぎるジョブがある時 9
10. Greedy Algorithm • 各ジョブをその時点で一番総処理時間が少な いマシンに貪欲に割り当てるアルゴリズム 10
11. Greedy Algorithm • 各ジョブをその時点で一番総処理時間が少な いマシンに貪欲に割り当てるアルゴリズム • 高々最適値の二倍の解を求められる． 11
12. Greedy Algorithm • 最後のジョブ P を割り当てるとき • S := 割り当てる時点での総処理時間 • S ≤ LB ≤ OPT 12
13. Greedy Algorithm • 最後のジョブ P を割り当てるとき • S := 割り当てる時点での総処理時間 • S ≤ LB ≤ OPT • P ≤ LB ≤ OPT 13
14. Greedy Algorithm • 最後のジョブ P を割り当てるとき • S := 割り当てる時点での総処理時間 • S ≤ LB ≤ OPT • P ≤ LB ≤ OPT • ∴ S + P ≤ 2OPT 14
15. Bin Packing Problem • ビンパッキング問題 • 重み付けられた N 個の荷物を同じ大きさのビ ンに詰めるとき，必要なビンの最小本数を求 める問題 15
16. Bin Packing Problem • P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • N = #P = 6 • T = 7 16
17. Bin Packing Problem • P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • N = #P = 6 • T = 7 • B = {{1, 6}, {2, 5}, {3, 4}} 最小本数 = 3 17
18. Reduction • 終了時刻が T 以下であるようなスケジュール が存在する • ⇔ 容量 T のビンを M 本用いることでビン パッキング可能 18
19. Reduction • bins(I, T) := 入力 I, ビンの容量 T のときの解 • bins(I, T) ≤ M のとき終了時刻 T 以下の解が存在 • 最悪でも終了時刻 2LB 以下の解が存在する • 区間 [LB, 2LB] を二分探索することで最小終了時 刻を求めることができる 19
20. (2) Algorithm • 実は，荷物の大きさの種類数が定数だと多項 式時間でビンパッキング問題を解くことがで きる • K := 荷物の大きさの種類数（定数） • (2) 20
21. (2) Algorithm • 入力を書き換える • サイズごとの個数 = {1 , 2 , ⋯ , } を入力とする • サイズの昇順にしても一般性を失わないのでそうす る • P = {9, 9, 8, 2, 4, 4, 3, 5, 3} • I = {1, 2, 2, 1, 1, 2} • K = #I = 6 21
22. (2) Algorithm • BINS(I, T) := 書き換えられた入力 I と容量 T の ビンに対するビンパッキングの最小本数 22
23. (2) Algorithm • BINS(I, T) := 書き換えられた入力 I と容量 T の ビンに対するビンパッキングの最小本数 • ビン一本分取る方法全体の集合 • # = () 23
24. (2) Algorithm • DP をします 24
25. (2) Algorithm • DP をします 25
26. (2) Algorithm • DP をします • よって全体で(2)で解けた 26
27. PTAS Algorithm • サイズの種類数が定数個になるように丸める 27
28. PTAS Algorithm • サイズの種類数が定数個になるように丸める • サイズが [ 1 + , 1 + +1) のとき 1 + に丸める • K = [ log1+ ] = [ log1+ 1 ] • 高々 1 + しか丸められない • 未満の荷物は一旦無視 28
29. PTAS Algorithm • サイズを丸めたものについて最適解を求める • BINS(I, T) を用いる 29
30. PTAS Algorithm • サイズを丸めたものについて最適解を求める • BINS(I, T) を用いる • ビンの容量を T(1 + ) に増やしてから荷物の大 きさをもとに戻す • 一旦無視していた 未満の荷物を貪欲に詰め込 む，必要ならビンを増やす • このアルゴリズムを (, , ) と呼ぶ 30
31. PTAS Algorithm • , , ≤ (, ) • 未満の荷物を貪欲に詰め込むとき，最後に 増えたビン以外の全てのビンについて T より も多くの荷物が入っている，よって容量 T で はそれ以上の本数が必要 31
32. PTAS Algorithm • , , ≤ , • ただし , , ではビンの容量を T 1 + に 拡大しているので実際に求まる近似終了時刻 は T 1 + ≤ 1 + 32
33. PTAS Algorithm • , , を二分探索することで近似解を求め ていたが，T は実数を取るので一点に定まる ことはない • よってどこかで打ち切る必要がある • 近似保証を維持したまま打ち切りたい 33
34. PTAS Algorithm • 二分探索の範囲長が 以下になったときに 打ち切り，そのときの右端 T* を近似解とする • 探索回数は log2 2− = log2 1 34
35. PTAS Algorithm • 最後の二分探索の範囲は ∗ − , ∗ 35
36. PTAS Algorithm • 最後の二分探索の範囲は ∗ − , ∗ 36
37. PTAS Algorithm • 最後の二分探索の範囲は ∗ − , ∗ 37
38. PTAS Algorithm • , , がビンの容量を (1 + ) 倍していた ことを思い出すと • 近似最小終了時刻は T∗ 1 + ≤ 1 + 2 ≤ (1 + 3) • 計算量は (2[log1+ 1 ][log2 1 ]) 38
39. PTAS Algorithm • , , がビンの容量を (1 + ) 倍していたこと を思い出すと • 近似最小終了時刻は T∗ 1 + ≤ 1 + 2 ≤ (1 + 3) • 計算量は (2[log(1+) 1 ][log2 1 ]) • 多項式時間！ 39
40. Experiment • ランダムケース • N = 100000 • M = 1000 • = 0.02 • 割と早い • が，これ以上 M や を良くすると無限時間かかってしまった 40
41. Experiment • 山登り法と対決させてみる • 初期解を 4 3 近似の貪欲法で生成 • N = 100000, M = 100 • = 0.02 41
42. Approximation Algorithm 近似アルゴリズム V.V.ヴァジラー二 著 浅野孝夫 訳 第10章 終了時刻最小化スケジューリング 参考文献