Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Format du drapeau de: 1. la Suisse, 1/1 2. la Belgique, 13/15 3. la France, 2/3 4. la Pologne, 5/8 5. le Luxembourg, 3/5 6. les États-Unis, 10/19 7. l’Australie, 1/2 8. le Qatar, 11/28
Le compas et la règle Déterminer les figures que l’on peut tracer avec: • une règle non graduée et arbitrairement longue, • un compas non gradué. On peut donc tracer • une droite passant par deux points déjà construits • un cercle centré sur un point déjà construit et d’écartement la distance entre deux points déjà construits • les intersections de ces droites et cercles
La duplication du cube: construire un cube de volume double d’un cube donné. 1 3 √ 2 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est 3 √ 2.
La quadrature du cercle: construire un carré d’aire égale à celle d’un disque donné. 1 √ π Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est √ π.
La trisection des angles: couper un angle donné en trois angles égaux. θ θ 3 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est tan θ 3 .
Théorème Si on sait construire un point A d’abscisse x et un point B d’ordonnée y, alors on sait construire le point C de coordonnées (x, y). A B x y C
Un nombre est constructible si on peut construire un point dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1 1 3 Théorème Tout nombre rationnel est constructible.
Le théorème de Wantzel (1837) résout entièrement la question de la constructibilité des nombres. Théorème Un nombre x est constructible si, et seulement si, il existe une suite d’extensions de corps quadratiques L0 , …, Ln telle que L0 = Q et x ∈ Ln .
Le théorème de Wantzel (1837) résout entièrement la question de la constructibilité des nombres. Théorème Un nombre x est constructible si, et seulement si, il existe une suite d’extensions de corps quadratiques L0 , …, Ln telle que L0 = Q et x ∈ Ln . Théorème Si un nombre x est constructible, alors il est algébrique et son polynôme minimal est de degré une puissance de 2.
Retour sur les problèmes grecs: • π (et donc √ π) n’est pas algébrique (Ferdinand von Lindemann, 1882) • le polynôme minimal de 3 √ 2 est de degré 3 • il existe un angle problématique pour la trisection
Retour sur les problèmes grecs: • π (et donc √ π) n’est pas algébrique (Ferdinand von Lindemann, 1882) • le polynôme minimal de 3 √ 2 est de degré 3 • il existe un angle problématique pour la trisection Théorème Aucun des trois problèmes grecs n’est résoluble à la règle et au compas!
Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537. En particulier, les polygones réguliers à 7, 9, 11 côtés ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)
Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)
Avec un trisecteur d’angle? Théorème La duplication du cube et la quadrature du cercle ne sont pas réalisables avec une règle, un compas et un trisecteur d’angles.
Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas
Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas et davantage: l’origami!
Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible par origami si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2, d’une puissance de 3 et de nombres premiers de Pierpont distincts. Voici quelques nombres premiers de Pierpont connus: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257... En particulier, les polygones réguliers à 7, 9 côtés sont constructibles par origami mais celui à 11 côtés ne l’est pas.
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