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(2022) Règle, compas et au-delà

(2022) Règle, compas et au-delà

Exposé de grande diffusion (30') donné lors du congrès Time World Paris 2022 sur le thème "construction"

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Roger Mansuy

June 30, 2022
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Transcript

  1. Règle, compas et au-delà Que permettent de construire les outils

    géométriques? Roger Mansuy Time World Paris, 29 juin 2022
  2. Introduction

  3. Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3.

  4. Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 1. drapeau

    français 2. pavillon français 3. drapeau français (du 24 février au 5 mars 1848)
  5. Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 4. 5.

    6. 7. 8.
  6. Savez-vous reconnaître le drapeau français? 1. 2. 3. 4. 5.

    6. 7. 8. Format du drapeau de: 1. la Suisse, 1/1 2. la Belgique, 13/15 3. la France, 2/3 4. la Pologne, 5/8 5. le Luxembourg, 3/5 6. les États-Unis, 10/19 7. l’Australie, 1/2 8. le Qatar, 11/28
  7. None
  8. None
  9. None
  10. None
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  12. None
  13. None
  14. None
  15. None
  16. None
  17. None
  18. Voici quelques exceptions dans la liste des drapeaux:

  19. Le compas et la règle Déterminer les figures que l’on

    peut tracer avec: • une règle non graduée et arbitrairement longue, • un compas non gradué.
  20. Le compas et la règle Déterminer les figures que l’on

    peut tracer avec: • une règle non graduée et arbitrairement longue, • un compas non gradué. On peut donc tracer • une droite passant par deux points déjà construits • un cercle centré sur un point déjà construit et d’écartement la distance entre deux points déjà construits • les intersections de ces droites et cercles
  21. None
  22. None
  23. On vérifie immédiatement que l’on sait construire • des milieux

    • des symétriques • des parallèles • des perpendiculaires • ...
  24. La bisection des angles: couper un angle donné en deux

    angles égaux. θ θ 2
  25. La bisection des angles: couper un angle donné en deux

    angles égaux. θ 2
  26. La bisection des angles: couper un angle donné en deux

    angles égaux. θ 2
  27. La bisection des angles: couper un angle donné en deux

    angles égaux. θ 2
  28. La quadrature du rectangle: construire à la règle et au

    compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.
  29. La quadrature du rectangle: construire à la règle et au

    compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.
  30. La quadrature du rectangle: construire à la règle et au

    compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.
  31. La quadrature du rectangle: construire à la règle et au

    compas un carré de même aire qu’un rectangle donné.
  32. La duplication du cube: construire un cube de volume double

    d’un cube donné. 1 3 √ 2 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est 3 √ 2.
  33. La quadrature du cercle: construire un carré d’aire égale à

    celle d’un disque donné. 1 √ π Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est √ π.
  34. La trisection des angles: couper un angle donné en trois

    angles égaux. θ θ 3 Cela revient à savoir construire un point dont une coordonnée est tan θ 3 .
  35. None
  36. None
  37. Une théorie de la règle et du compas

  38. Théorème Si on sait construire un point A d’abscisse x

    et un point B d’ordonnée y, alors on sait construire le point C de coordonnées (x, y). A B x y
  39. Théorème Si on sait construire un point A d’abscisse x

    et un point B d’ordonnée y, alors on sait construire le point C de coordonnées (x, y). A B x y C
  40. Un nombre est constructible si on peut construire un point

    dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée).
  41. Un nombre est constructible si on peut construire un point

    dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1
  42. Un nombre est constructible si on peut construire un point

    dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1
  43. Un nombre est constructible si on peut construire un point

    dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1 1 3
  44. Un nombre est constructible si on peut construire un point

    dont c’est l’abscisse (ou l’ordonnée). 1 2 3 1 1 3 Théorème Tout nombre rationnel est constructible.
  45. Le théorème de Wantzel (1837) résout entièrement la question de

    la constructibilité des nombres. Théorème Un nombre x est constructible si, et seulement si, il existe une suite d’extensions de corps quadratiques L0 , …, Ln telle que L0 = Q et x ∈ Ln .
  46. Le théorème de Wantzel (1837) résout entièrement la question de

    la constructibilité des nombres. Théorème Un nombre x est constructible si, et seulement si, il existe une suite d’extensions de corps quadratiques L0 , …, Ln telle que L0 = Q et x ∈ Ln . Théorème Si un nombre x est constructible, alors il est algébrique et son polynôme minimal est de degré une puissance de 2.
  47. Retour sur les problèmes grecs: • π (et donc √

    π) n’est pas algébrique (Ferdinand von Lindemann, 1882) • le polynôme minimal de 3 √ 2 est de degré 3 • il existe un angle problématique pour la trisection
  48. Retour sur les problèmes grecs: • π (et donc √

    π) n’est pas algébrique (Ferdinand von Lindemann, 1882) • le polynôme minimal de 3 √ 2 est de degré 3 • il existe un angle problématique pour la trisection Théorème Aucun des trois problèmes grecs n’est résoluble à la règle et au compas!
  49. None
  50. None
  51. Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible à

    la règle et au compas si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65537. En particulier, les polygones réguliers à 7, 9, 11 côtés ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
  52. D’autres outils

  53. Avec une règle ”courte”? Théorème Deux points peuvent toujours être

    reliés avec un règle courte (peu importe leur distance).
  54. Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle

    et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)
  55. Sans la règle? Théorème Tout point constructible à la règle

    et au compas est constructible au compas seul. Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797)
  56. Avec un trisecteur d’angle? Théorème La duplication du cube et

    la quadrature du cercle ne sont pas réalisables avec une règle, un compas et un trisecteur d’angles.
  57. Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les

    tracés?
  58. Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les

    tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas
  59. Conclusion Et si la bonne idée n’était pas d’abandonner les

    tracés? Il existe une méthode qui permet de construire tous les points constructibles à la règle et au compas et davantage: l’origami!
  60. Théorème Un polygone régulier à n côtés est constructible par

    origami si, et seulement, si n est le produit d’une puissance de 2, d’une puissance de 3 et de nombres premiers de Pierpont distincts. Voici quelques nombres premiers de Pierpont connus: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257... En particulier, les polygones réguliers à 7, 9 côtés sont constructibles par origami mais celui à 11 côtés ne l’est pas.
  61. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980) θ

  62. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980)

  63. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980)

  64. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980)

  65. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980) θ 3

  66. Trisection d’angle par Hisashi Abe (1980)