(2026) Equations différentielles... dans la vie réelle

Exposé pour élèves de terminale autour d'utilisation en modélisation d'équations différentielles, lycée George Sand de La Châtre, mars 2026

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1. Équations différentielles... ...dans la vie réelle Roger Mansuy 5 mars 2026
5. Modéliser? Monde physique observations prévisions ???
6. Modéliser? Monde physique observations prévisions Monde mathématique équations résultats modélisation interprétation calculs
7. Modéliser? Monde physique observations prévisions Monde mathématique équations résultats modélisation interprétation calculs fausses non pertinentes
8. Modéliser? Monde physique observations prévisions Monde mathématique équations résultats modélisation interprétation calculs simpliste non pertinentes
9. Modéliser? Monde physique observations prévisions Monde mathématique équations résultats modélisation interprétation calculs faux non pertinentes
10. Un exemple historique de modélisation réussie est celui de la découverte de l’astéroïde Cérès: • entre le 1er janvier et le 11 février 1801, l’astronome Guiseppe Piazzi observe une nouvelle “planète” jusqu’à ce qu’elle disparaisse dans la lumière du soleil • Carl Friedrich Gauss fait un modèle pour prédire la position de Cérès et calcule le moment et la position pour l’observer à nouveau • Le 31 décembre 1801, Franz Xaver von Zach et Heinrich Olbers retrouvent Cérès près de la position prévue
11. Qu’est-ce qu’une dérivée? Soit f : I → R et t0 ∈ I. ▷ Pour tout t ∈ I différent de t0, le taux d’accroissement de f entre t0 et t est f(t)−f(t0) t−t0 . ▷ Le nombre dérivé de f en t0 est, quand elle existe, la limite lim t→t0 f(t)−f(t0) t−t0 . On le note f′(t0 ).
12. Qu’est-ce qu’une dérivée? Soit f : I → R et t0 ∈ I. ▷ Pour tout t ∈ I différent de t0, le taux d’accroissement de f entre t0 et t est f(t)−f(t0) t−t0 . ▷ Le nombre dérivé de f en t0 est, quand elle existe, la limite lim t→t0 f(t)−f(t0) t−t0 . On le note f′(t0 ). ↬ pente de la tangente, variation instantanée, vitesse...
13. f(t) f′(t) 1 0 t 1 tn ntn−1 ert rert ln(t) 1 t sin(ωt) ω cos(ωt) cos(ωt) −ω sin(ωt)
14. Équations différentielles Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, d’ordinaire notée y, qui relie la fonction à ses dérivées. Par exemple, y′ = 0 y′ = y y′ = ay + b y′′ = −ω2y t2y′′ + aty + by = 0 y′ = a(t)y + b(t)ym (t ln t)y′ + (ln t + y − 1)y = 0
15. ▷ Les solutions de l’équation y′ = 0 sont les fonctions constantes. ▷ Les solutions de l’équation y′ = y sont les fonctions t → Cet avec C ∈ R. ▷ Les solutions de l’équation y′′ = −ω2y sont les fonctions t → A cos(ωt) + B sin(ωt) avec A, B ∈ R.
16. Sait-on les résoudre? • En général, non! On ne sait pas donner de formes explicites pour les solutions d’une équation différentielle donnée (sauf dans des cas très particuliers). • En revanche, on sait calculer des approximations.
17. Un exemple du cours de physique On attache une masse à un ressort vertical, on étire le ressort et on lâche. y
18. Notons y l’élongation du ressort; supposons que la force de rappel du ressort soit proportionnelle à y avec un coefficient k et qu’il n’y a pas de force de frottement.
19. Notons y l’élongation du ressort; supposons que la force de rappel du ressort soit proportionnelle à y avec un coefficient k et qu’il n’y a pas de force de frottement. Le principe fondamental de la dynamique indique que y est solution de l’équation différentielle my′′ = −ky.
20. Notons y l’élongation du ressort; supposons que la force de rappel du ressort soit proportionnelle à y avec un coefficient k et qu’il n’y a pas de force de frottement. Le principe fondamental de la dynamique indique que y est solution de l’équation différentielle my′′ = −ky. Avec k m = 1,
21. Comparons les cas • k m = 1 • k m = 0, 5
22. Évolution malthusienne
23. Considérons une population (humaine, animale, bactérienne...) qui évolue avec un taux r constant au cours du temps (différence entre natalité et mortalité).
24. Considérons une population (humaine, animale, bactérienne...) qui évolue avec un taux r constant au cours du temps (différence entre natalité et mortalité). L’effectif de la population est solution de l’équation différentielle y′ = ry.
25. Considérons une population (humaine, animale, bactérienne...) qui évolue avec un taux r constant au cours du temps (différence entre natalité et mortalité). L’effectif de la population est solution de l’équation différentielle y′ = ry.
26. Système Proie-Prédateur
28. Un modèle est indépendamment proposé par Vito Volterra et Alfred Lotka. • Deux populations: les proies et les prédateurs • α le taux de croissance naturelle des proies • β le taux de mortalité des proies due à la prédation • γ le taux de disparition des prédateurs en l’absence de proies • δ le taux de croissance des prédateurs en fonction de la prédation Proies Prédateurs δ β α γ
29. Traduisons ces hypothèses en termes de variations: x′ = αx − βxy y′ = −γy + δxy Il reste à déterminer des valeurs pour les différents paramètres (statistiques à partir des observations) puis à faire le calcul des solutions.
30. α = 1, β = 0, 1, γ = 0, 5 et δ = 0, 02
31. α = 1, β = 0, 1, γ = 0, 5 et δ = 0, 02
32. α = 1, β = 0, 9, γ = 0, 5 et δ = 0, 02
33. Les figures de l’article de Vito Volterra:
34. Attaque de zombies
35. Voici des hypothèses de modélisation • trois populations: les personnes saines, les personnes infectées (zombies), les personnes retirées • λ le taux de zombification • µ le taux de mortalité des zombies • α le taux de croissance naturelle des personnes saines • β le taux de croissance naturelle des personnes infectées
36. Voici des hypothèses de modélisation • trois populations: les personnes saines, les personnes infectées (zombies), les personnes retirées • λ le taux de zombification • µ le taux de mortalité des zombies • α le taux de croissance naturelle des personnes saines • β le taux de croissance naturelle des personnes infectées Sains Infectés Retirés λ µ α β
37. Voici des hypothèses de modélisation • trois populations: les personnes saines, les personnes infectées (zombies), les personnes retirées • λ le taux de zombification • µ le taux de mortalité des zombies Sains Infectés Retirés λ µ
38. En notant S, I et R les proportions des différentes populations (donc avec la condition S + I + R = 1), on obtient les équations suivantes: S′ = −λSI I′ = −µI + λSI R′ = µI
39. Problème: on ne peut pas calculer les valeurs des paramètres λ et µ à partir du réel...
40. Problème: on ne peut pas calculer les valeurs des paramètres λ et µ à partir du réel... Sauf à utiliser les films comme “documentaires”
43. Pourquoi étudier les attaques de zombies et en faire un livre avec une quinzaine de chapitres utilisant des méthodes de plus en plus élaborées?
44. “En 2009, j’ai publié un article sur les mathématiques qui, je pensais, n’amuserait que moi: un modèle mathématique de zombies. L’idée était d’examiner une hypothétique apocalypse zombie à travers le prisme de la modélisation des maladies: c’est-à-dire en utilisant les mêmes types d’équations différentielles que j’utilise quotidiennement pour examiner la propagation d’infections telles que le VIH, le paludisme, le papillomavirus humain et diverses maladies tropicales. [...] Le résultat a été une énorme augmentation de la sensibilisation à la modélisation des maladies en tant que concept. De nombreuses personnes qui n’avaient jamais entendu parler de la modélisation des maladies en ont pris connaissance grâce à cet article. Des professeurs de lycée ont rapporté que leurs élèves s’étaient intéressés aux mathématiques pour la première fois.” Stacey R. Smith?
45. Conclusion Les équations différentielles fournissent un outil puissant pour la modélisation de phénomènes réels
46. Conclusion Les équations différentielles fournissent un outil puissant pour la modélisation de phénomènes réels trop souvent sous-estimés.