(2025) Et à la limite, on trouve pi?

Courte intervention de diffusion lors du congrès TimeWorld Besançon le 4 décembre 2025.

Transcript

1. À la limite, on trouve π? Roger Mansuy Congrès TimeWorld 2025 – Besançon
2. π est omniprésent: • dans les premiers cours où l’on calcule à partir de cercles ou de disques • dans les amphithéâtres universitaires avec les calculs de séries ou d’intégrales • dans la recherche contemporaines avec des sous-domaines comme l’algèbre des périodes • dans l’histoire des mathématiques et du calcul • dans la culture populaire avec des logos, une symbolique • dans le monde des arts comme source d’inspiration Cette intervention propose de faire un pas de côté et de regarder π autrement. Pour cela il faut revenir sur la définition de cette constante.
3. • Pour tout cercle, le rapport de son périmètre par son diamètre est une valeur qui ne dépend pas du cercle choisi: ↬ il existe une ”constante universelle du périmètre des cercles”. • Pour tout disque, le rapport de son aire par le carré de son rayon est une valeur qui ne dépend pas du disque choisi: ↬ il existe une ”constante universelle de l’aire des disques”. • Les deux constantes universelles ci-dessus sont égales.
4. • Pour tout cercle, le rapport de son périmètre par son diamètre est une valeur qui ne dépend pas du cercle choisi: ↬ il existe une ”constante universelle du périmètre des cercles”. • Pour tout disque, le rapport de son aire par le carré de son rayon est une valeur qui ne dépend pas du disque choisi: ↬ il existe une ”constante universelle de l’aire des disques”. • Les deux constantes universelles ci-dessus sont égales. Cette constante s’appelle désormais π comme initiale de περιφερεια.
5. 3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
6. Comment estimer la valeur de π? π = 2 +∞ ∏ k=1 4k2 4k2 − 1 1 π = 2 √ 2 9801 +∞ ∑ k=0 (4k)!(1103 + 26390k) (k!)43964k 1 π = 12 +∞ ∑ k=0 (−1)k(6k)!(13591409 + 545140134k) (3k)!(k!)36403203k+3/2
8. n = 6
9. n = 6 n = 12 n = 24
10. En utilisant la ”croissance” de périmètre pour les n-gones: n sin π n ≤ π ≤ n tan π n
11. En utilisant la ”croissance” de périmètre pour les n-gones: n sin π n ≤ π ≤ n tan π n En utilisant la croissance de l’aire pour les n-gones: n sin π n cos π n ≤ π ≤ n tan π n
12. En utilisant la ”croissance” de périmètre pour les n-gones: n sin π n ≤ π ≤ n tan π n En utilisant la croissance de l’aire pour les n-gones: n sin π n cos π n ≤ π ≤ n tan π n On utilise ces formules avec les entiers n = 3 × 2k, les valeurs sin π 3 = √ 3 2 , cos π 3 = 1 2 puis les relations de récurrence: sin π n = 2 sin π 2n cos π 2n cos π n = 2 cos2 π 2n − 1
13. En utilisant la ”croissance” de périmètre pour les n-gones: n sin π n ≤ π ≤ n tan π n En utilisant la croissance de l’aire pour les n-gones: n sin π n cos π n ≤ π ≤ n tan π n On utilise ces formules avec les entiers n = 3 × 2k, les valeurs sin π 3 = √ 3 2 , cos π 3 = 1 2 puis les relations de récurrence: sin π n = 2 sin π 2n cos π 2n cos π n = 2 cos2 π 2n − 1 Avec le 96-gone (n = 3 × 25) comme Archimède, on obtient l’encadrement 3, 141 ≤ π ≤ 3, 143
14. Quand on regarde cette méthode, on a envie de passer à la limite pour en déduire une ”expression” de π mais cela cache a priori une difficulté que l’on va illustrer.
15. π est égal à 2
16. segment de longueur 2 arc de longueur π
17. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π
18. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π
19. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π
20. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π
21. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π
22. segment de longueur 2 arcs de longueur totale π 2 = π?
23. π est la plus petite valeur de π • Adler, C. L., Tanton, J. (2000). π is the Minimum Value for Pi. The College Mathematics Journal, 31(2), 102–106 • Euler, R., Sadek, J. (1999), The πs Go Full Circle. Mathematics Magazine, 72(1), 59–63
25. Déterminons la distance associée à un parcours dans Manhattan. O M(x, y) OM = √ |x|2 + |y|2
26. Déterminons la distance associée à un parcours dans Manhattan. O M(x, y) OM = |x| + |y|
27. Déterminons la distance associée à un parcours dans Manhattan. O M(x, y) OM = |x| + |y|
28. Déterminons la distance associée à un parcours dans Manhattan. O M(x, y) OM = |x| + |y|
29. En généralisant, on peut définir pour tout p ≥ 1, une norme/une distance dans le plan par l’expression (x, y) → ( |x|p + |y|p )1/p .
30. Lorsque l’on change la distance, on change la ”forme” du cercle centré sur l’origine et de rayon 1. OM = ( |x|p + |y|p )1/p p = 2
31. Lorsque l’on change la distance, on change la ”forme” du cercle centré sur l’origine et de rayon 1. p = 1 OM = ( |x|p + |y|p )1/p p = 2
32. Lorsque l’on change la distance, on change la ”forme” du cercle centré sur l’origine et de rayon 1. p = 1 OM = ( |x|p + |y|p )1/p p = 2 p = 4
33. Lorsque l’on change la distance, on change la ”forme” du cercle centré sur l’origine et de rayon 1. p = 1 OM = ( |x|p + |y|p )1/p p = 2 p = 4 p = +∞
34. Après calculs pour les normes p avec p ≥ 1, le rapport entre le périmètre du ”cercle” et son diamètre est πp = 2 p ∫ 1 0 ( tp−1 + (1 − t)p−1 )1/p (t(1 − t))(1−p)/pdt.
35. Après calculs pour les normes p avec p ≥ 1, le rapport entre le périmètre du ”cercle” et son diamètre est πp = 2 p ∫ 1 0 ( tp−1 + (1 − t)p−1 )1/p (t(1 − t))(1−p)/pdt. Pour p = 2 (la distance usuelle), on trouve π2 = π.
36. Après calculs pour les normes p avec p ≥ 1, le rapport entre le périmètre du ”cercle” et son diamètre est πp = 2 p ∫ 1 0 ( tp−1 + (1 − t)p−1 )1/p (t(1 − t))(1−p)/pdt. Pour p = 1 (la distance ”Manhattan”), on trouve π1 = 4.
37. Tracé de πp en fonction de p 4 π 1 2 5 10
38. π ∈ [3, 4] et on ne peut rien dire de mieux • Gołąb S. (1932), Zagadnienia metryczne geometrii Minkowskiego. Prace Akademji Górniczej w Krakowie, 6, 1–79
39. π ∈ [3, 4] et on ne peut rien dire de mieux • Gołąb S. (1932), Zagadnienia metryczne geometrii Minkowskiego. Prace Akademji Górniczej w Krakowie, 6, 1–79 • Duncan, J., Luecking, D., McGregor, C. (2004). On the values of pi for norms on R2. The College Mathematics Journal, 35(2), 84–92 • Sahoo, N. H. B. (2022). Extremal Values of Pi. The American Mathematical Monthly, 129(10), 933–951.
40. • Pour toute norme sur R2, la valeur de π associée est entre 3 et 4. • Pour toute valeur t entre 3 et 4, il existe une norme telle que la valeur de π associée est t.
41. • Pour toute norme sur R2, la valeur de π associée est entre 3 et 4. • Pour toute valeur t entre 3 et 4, il existe une norme telle que la valeur de π associée est t. Pour le second point, l’idée consiste à considérer des normes qui fournissent un ”cercle” de la forme suivante:
42. Conclusion ↬ Ces quelques remarques et propositions ne servent pas vraiment à calculer des approximations de π. ”For Jet Propulsion Laboratory’s highest accuracy calculations, which are for interplanetary navigation, we use 3.141592653589793.” Marc Rayman, Chief Engineer for Mission Operations and Science Ces décimales sont déjà connues au XVIe siècle par Adrien Romain et Ludolph van Ceulen. ↬ Il n’y a donc pas besoin de calculer de meilleurs approximations de π.
43. Pi Rococo n°12, 1=30°, François Morellet (1998) Musée des beaux-arts, Besançon