(2025) Balade en cyclotomie

Exposé pour le séminaire MathPark à l'Institut Henri Poincaré.

Résumé : Apparus dans les travaux de Gauss sur la constructibilité à la règle et au compas, les polynômes cyclotomiques sont des objets faciles à définir mais qui recèlent encore quelques mystères mathématiques. Avec cette balade historico-mathématique, on se propose d'examiner les coefficients de ces polynômes à travers un siècle de théorèmes (Migotti, Bang, Schur, Beiter et Suzuki)

Transcript

1. Voyage en cyclotomie De Gauss à Suzuki et Beiter Roger Mansuy 13 décembre 2025
2. Gauß’ wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814
3. Carl Friedrich Gauss (1801), Disquisitiones arithmeticae
5. Les recherches contenues dans cet ouvrage appartiennent à cette partie des Mathématiques où l’on considère particulièrement les nombres en- tiers, quelquefois les fractions, mais où l’on exclut toujours les nombres irrationnels.
8. Théorème de Gauss (1801) Un polygone régulier dont le nombre de côtés est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat (c’est-à-dire de la forme 22n + 1) distincts est constructible à la règle et au compas.
9. Théorème de Gauss (1801) Un polygone régulier dont le nombre de côtés est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat (c’est-à-dire de la forme 22n + 1) distincts est constructible à la règle et au compas. La réciproque est démontrée par Pierre-Laurent Wantzel en 1837.
10. κύκλος: cercle, τομή: coupure
11. Définition Soit n ∈ N∗. Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes z tels que zn = 1.
12. Définition Soit n ∈ N∗. Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes z tels que zn = 1. Proposition Soit n ∈ N∗. Les racines n-ièmes de l’unité sont les complexes e2ikπ/n avec k ∈ 0, n − 1 .
13. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8
14. Définition Soit n ∈ N∗. Une racine n-ième de l’unité z est primitive si zm ̸= 1 pour tout m ∈ 1, n − 1 .
15. Définition Soit n ∈ N∗. Une racine n-ième de l’unité z est primitive si zm ̸= 1 pour tout m ∈ 1, n − 1 . Une racine n-ième de l’unité est primitive si elle n’est pas racine m-ième de l’unité pour m plus petit.
16. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
17. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8
18. Proposition Soit n ∈ N∗. Les racines primitives n-ièmes de l’unité sont les complexes e2ikπ/n avec k ∈ 0, n − 1 tel que k ∧ n = 1.
19. Proposition Soit n ∈ N∗. Les racines primitives n-ièmes de l’unité sont les complexes e2ikπ/n avec k ∈ 0, n − 1 tel que k ∧ n = 1. Démonstration Soit z = e2ikπ/n avec k ∈ 0, n − 1 . ▷ Si k ∧ n = d ≥ 2, alors zn/d = 1 et z n’est pas primitive n-ième. ▷ Sinon, zm = 1 si, et seulement si, n | km puis n | m. Ainsi, zm ̸= 1 pour tout m ∈ 1, n − 1 , et z est une primitive n-ième. ▪
20. 1 5 7 11 13 17 19 23 n = 24
21. Définition Soit n ∈ N∗. Le polynôme cyclotomique d’indice n est le polynôme unitaire dont les racines complexes sont les racines primitives n-ièmes de l’unité avec la multiplicité 1, à savoir Φn = n−1 ∏ k=1 k∧n=1 (X − e2ikπ/n).
22. Comment calculer Φn ? • son degré • tous ses coefficients • certains coefficients seulement
23. Le degré des polynômes cyclotomiques est donné par la fonction indicatrice d’Euler: pour tout n ∈ N∗, deg Φn = φ(n). Proposition ▷ Pour tout nombre premier p et tout k ∈ N∗, φ(pk) = pk − pk−1. ▷ Soit n1, …, nr des entiers deux à deux premiers entre eux. Alors, φ(n1 · · · np ) = φ(n1 ) · · · φ(np ).
24. Calculons quelques polynômes cyclotomiques en repartant des racines primitives Φ1 = X − 1 1 Φ2 = X + 1 −1 Φ3 = (X − j)(X − j2) = X2 + X + 1 j, j2 Φ4 = (X − i)(X + i) = X2 + 1 i, −i Φ6 = (X + j2)(X + j) = X2 − X + 1 −j2, −j
25. Calculons quelques polynômes cyclotomiques en repartant des racines primitives Φ1 = X − 1 1 Φ2 = X + 1 −1 Φ3 = (X − j)(X − j2) = X2 + X + 1 j, j2 Φ4 = (X − i)(X + i) = X2 + 1 i, −i Φ6 = (X + j2)(X + j) = X2 − X + 1 −j2, −j Idée 1: calculer les racines primitives puis calculer le produit des X − z correspondant.
26. Théorème Soit n ∈ N∗. Alors, Xn − 1 = ∏ d|n Φd . Démonstration Il suffit de partitionner les complexes z tels que zn = 1 selon le plus petit entier d ∈ N∗ tel que zd = 1. ▪
27. Soit p un nombre premier. Alors, Xp − 1 = Φ1 Φp d’où Φp = Xp−1 X−1 = Xp−1 + · · · + X + 1.
28. Soit r ∈ N∗. Alors, X2r − 1 = r ∏ k=0 Φ2k = Φ2r (X2r−1 − 1), d’où Φ2r = X2r −1 X2r−1 −1 = X2r−1 + 1.
29. Théorème Soit n ∈ N∗. Alors, les coefficients du polynôme Φn appartiennent à Z. Démonstration Par récurrence sur n ∈ N∗ avec la formule précédente. ▪
30. Théorème Soit n ∈ N∗. Alors, les coefficients du polynôme Φn appartiennent à Z. Démonstration Par récurrence sur n ∈ N∗ avec la formule précédente. ▪ Idée 2: calculer par récurrence avec des divisions euclidiennes dans Z[X].
31. Comme X12 − 1 = Φ12 Φ6 Φ4 Φ2 Φ2 Φ1, X12 − 1 = Φ12 Φ4 (X6 − 1), puis Φ12 = X12−1 (X2+1)(X6−1) = X6+1 X2+1 − X6 +1 X2 +1 X6 +X4 X4 −X2 +1 − −X4 +1 −X4 −X2 − X2 +1 X2 +1 0 Ainsi, Φ12 = X4 − X2 + 1.
32. Φ1 = X − 1 Φ2 = X + 1 Φ3 = X2 + X + 1 Φ4 = X2 + 1 Φ5 = X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ6 = X2 − X + 1 Φ7 = X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ8 = X4 + 1 Φ9 = X6 + X3 + 1 Φ10 = X4 − X3 + X2 − X + 1 Φ11 = X10 + X9 + X8 + X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ12 = X4 − X2 + 1
33. Conjecture Tous les coefficients des Φn appartiennent à {−1, 0, 1}.
34. Interlude: Les factorisations ”aurifeuilliennes” utilisent des décompositions avec des polynômes cyclotomiques pour factoriser des entiers de forme particulière.
35. Interlude: Les factorisations ”aurifeuilliennes” utilisent des décompositions avec des polynômes cyclotomiques pour factoriser des entiers de forme particulière. Par exemple, en remarquant que X3 + 1 = X6−1 X3−1 = Φ2 Φ6 et que Φ6 = (X + 1)2 − 3X, on peut obtenir en évaluant en 32k+1 avec k ∈ N, 36k+3 + 1 = (32k+1 + 1) · ( (32k+1 + 1)2 − 32(k+1) ) ,
36. Interlude: Les factorisations ”aurifeuilliennes” utilisent des décompositions avec des polynômes cyclotomiques pour factoriser des entiers de forme particulière. Par exemple, en remarquant que X3 + 1 = X6−1 X3−1 = Φ2 Φ6 et que Φ6 = (X + 1)2 − 3X, on peut obtenir en évaluant en 32k+1 avec k ∈ N, 36k+3 + 1 = (32k+1 + 1) · ( (32k+1 + 1)2 − 32(k+1) ) , soit encore, en remarquant une identité remarquable, 36k+3 + 1 = (32k+1 + 1) · (32k+1 − 3k+1 + 1) · (32k+1 + 3k+1 + 1).
37. Interlude: Léon Antoine Aurifeuille est davantage connu pour une autre carrière de prestidigitateur et mentaliste sous le pseudonyme ”Vicomte Alfred de Caston”.
38. Lemme Soit n ∈ N∗ et r le produit des facteurs premiers distincts de n. Alors, Φn = Φr (Xn/r). Par exemple, Φ24 = Φ6 (X4) = X8 − X4 + 1
39. Démonstration ▷ Les polynômes Φn et Φr (Xn/r) ont même degré car φ(n) = n r φ(r). ▪
40. Démonstration ▷ Les polynômes Φn et Φr (Xn/r) ont même degré car φ(n) = n r φ(r). ▷ Soit ζ = e2ikπ/n avec k ∈ 1, n premier avec n. Alors, ζn/r = e2ikπ/r et, comme k ∧ r = 1, ζn/r est une racine de Φr : ζ est racine de Φr (Xn/r). En conclusion, les racines (simples) de Φn sont également racines de Φr (Xn/r). ▪
41. Démonstration ▷ Les polynômes Φn et Φr (Xn/r) ont même degré car φ(n) = n r φ(r). ▷ Soit ζ = e2ikπ/n avec k ∈ 1, n premier avec n. Alors, ζn/r = e2ikπ/r et, comme k ∧ r = 1, ζn/r est une racine de Φr : ζ est racine de Φr (Xn/r). En conclusion, les racines (simples) de Φn sont également racines de Φr (Xn/r). En conclusion, les polynômes Φn et Φr (Xn/r) ont • même degré, • même coefficient dominant, • mêmes racines (simples), donc sont égaux. ▪
42. Premier bilan: pour étudier les coefficients des Φn avec n ∈ N∗, il suffit de se limiter aux cas où n est un produit de nombres premiers distincts.
43. Φ1 = X − 1 Φ2 = X + 1 Φ3 = X2 + X + 1 Φ5 = X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ6 = X2 − X + 1 Φ7 = X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ10 = X4 − X3 + X2 − X + 1 Φ11 = X10 + X9 + X8 + X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ13 = X12 + X11 + X10 + X9 + X8 + X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 Φ14 = X6 − X5 + X4 − X3 + X2 − X + 1 Φ15 = X8 − X7 + X5 − X4 + X3 − X + 1 Φ17 = X16 + X15 + X14 + X13 + X12 + X11 + X10 + X9 + X8 + X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1
44. Théorème Soit p un nombre premier. Alors, les coefficients du polynôme Φp appartiennent à {−1, 0, 1}. Démonstration Φp = Xp−1 + · · · + X + 1. ▪
45. Théorème de Migotti (1883) Soit p < q des nombres premiers. Alors, les coefficients du polynôme Φpq appartiennent à {−1, 0, 1}.
46. Démonstration Remarquons que Xpq − 1 = (Xp)q − 1 = (Φq Φ1 )(Xp) = Φq (Xp)(Xp − 1) = Φq (Xp)Φp (X)(X − 1). Par symétrie, Xpq − 1 = Φp (Xq)Φq (X)(X − 1). Par ailleurs, Xpq − 1 = Φpq (X)Φq (X)Φp (X)(X − 1). En combinant ces trois identités, (Xpq − 1)Φpq (X) = Φq (Xp)Φp (Xq)(X − 1) = XΦq (Xp)Φp (Xq) − Φq (Xp)Φp (Xq).
47. Démonstration Les coefficients de Φq (Xp)Φp (Xq) appartiennent à {0, 1} car Φq (Xp)Φp (Xq) = ( q−1 ∑ u=0 Xup )( p−1 ∑ v=0 Xvq ) = q−1 ∑ u=0 p−1 ∑ v=0 Xup+vq, et les entiers up + vq sont deux à deux distincts. ▪
48. Démonstration Les coefficients de Φq (Xp)Φp (Xq) appartiennent à {0, 1} car Φq (Xp)Φp (Xq) = ( q−1 ∑ u=0 Xup )( p−1 ∑ v=0 Xvq ) = q−1 ∑ u=0 p−1 ∑ v=0 Xup+vq, et les entiers up + vq sont deux à deux distincts. Le polynôme (Xpq − 1)Φpq est la différence de deux polynômes à coefficients dans {0, 1} donc est à coefficients dans {−1, 0, 1}. ▪
49. Démonstration Les coefficients de Φq (Xp)Φp (Xq) appartiennent à {0, 1} car Φq (Xp)Φp (Xq) = ( q−1 ∑ u=0 Xup )( p−1 ∑ v=0 Xvq ) = q−1 ∑ u=0 p−1 ∑ v=0 Xup+vq, et les entiers up + vq sont deux à deux distincts. Le polynôme (Xpq − 1)Φpq est la différence de deux polynômes à coefficients dans {0, 1} donc est à coefficients dans {−1, 0, 1}. Comme deg Φpq < pq, les coefficients de Φpq sont les coefficients des monômes de degré supérieur ou égal à pq dans le polynôme (Xpq − 1)Φpq donc appartiennent à {−1, 0, 1}. ▪
50. Une démonstration alternative du résultat de Migotti est possible en remarquant directement l’expression suivante de Φpq : Φpq = ( r ∑ u=0 Xup )( s ∑ v=0 Xvq ) − ( q−1 ∑ u=r+1 Xup )( p−1 ∑ v=s+1 Xvq ) X−pq, avec r ∈ 0, q − 2 , s ∈ 0, p − 2 tels que rp + sq = (p − 1)(q − 1).
51. Deuxième bilan: pour étudier les coefficients des Φn avec n ∈ N∗ différents de {−1, 0, 1}, il suffit de se limiter aux cas où n est le produit d’au moins trois nombres premiers distincts.
52. Théorème Soit p < q des nombres premiers impairs. Alors, les coefficients du polynôme Φ2pq appartiennent à {−1, 0, 1}.
53. Théorème Soit p < q des nombres premiers impairs. Alors, les coefficients du polynôme Φ2pq appartiennent à {−1, 0, 1}. Démonstration ▷ Les deux polynômes Φ2pq (X) et Φpq (−X) sont unitaires, de même degré (car 2 ∧ pq = 1 et φ(2pq) = φ(2)φ(pq) = φ(pq)). ▷ Soit e2ikπ/(2pq) avec k ∈ 0, 2pq premier avec 2pq. Alors, on dispose de k′ premier avec pq tel que pq + k = 2k′. Par conséquent, −e2ikπ/(2pq) = ei(n+k)π/(pq) = e2ik′π/(pq), est une racine de Φpq . Ainsi, toutes les racines de Φ2pq (qui sont simples) sont racines de Φn (−X). En conclusion, les polynômes Φ2pq et Φpq (−X) ont même degré, même coefficient dominant et mêmes racines (simples) donc sont égaux. ▷ Comme les coefficients de Φpq appartiennent à {−1, 0, 1}, ceux de Φ2pq aussi. ▪
54. Troisième bilan: pour étudier les coefficients des Φn avec n ∈ N∗ différents de {−1, 0, 1}, il suffit de se limiter aux cas où n est le produit d’au moins trois nombres premiers impairs distincts.
55. Exemple de Bang (1895) Φ105 = X48 + X47 + X46 − X43 − X42 − 2X41 − X40 − X39 + X36 + X35 + X34 + X33 + X32 + X31 − X28 − X26 − X24 − X22 − X20 + X17 + X16 + X15 + X14 + X13 + X12 − X9 − X8 − 2X7 − X6 − X5 + X2 + X + 1 Remarquons que 105 = 3 × 5 × 7 est le plus petit entier avec trois facteurs premiers impairs.
56. Exemple de Bang (1895) Φ105 = X48 + X47 + X46 − X43 − X42 − 2X41 − X40 − X39 + X36 + X35 + X34 + X33 + X32 + X31 − X28 − X26 − X24 − X22 − X20 + X17 + X16 + X15 + X14 + X13 + X12 − X9 − X8 − 2X7 − X6 − X5 + X2 + X + 1 Φ210 = X48 − X47 + X46 + X43 − X42 + 2X41 − X40 + X39 + X36 − X35 + X34 − X33 + X32 − X31 − X28 − X26 − X24 − X22 − X20 − X17 + X16 − X15 + X14 − X13 + X12 + X9 − X8 + 2X7 − X6 + X5 + X2 − X + 1 Remarquons que 105 = 3 × 5 × 7 est le plus petit entier avec trois facteurs premiers impairs.
57. Exemple Φ231 = X120 + X119 + X118 − X113 − X112 − X111 − X109 − X108 − X107 + X102 + X101 + X100 + X99 + X98 + X97 − X92 − X91 − X90 − X88 + X85 + X81 + X77 − X75 − X74 − X71 − X70 + X68 + X64 + X60 + X56 + X52 − X50 − X49 − X46 − X45 + X43 + X39 + X35 − X32 − X30 − X29 − X28 + X23 + X22 + X21 + X20 + X19 + X18 − X13 − X12 − X11 − X9 − X8 − X7 + X2 + X + 1
58. Exemple Φ231 = X120 + X119 + X118 − X113 − X112 − X111 − X109 − X108 − X107 + X102 + X101 + X100 + X99 + X98 + X97 − X92 − X91 − X90 − X88 + X85 + X81 + X77 − X75 − X74 − X71 − X70 + X68 + X64 + X60 + X56 + X52 − X50 − X49 − X46 − X45 + X43 + X39 + X35 − X32 − X30 − X29 − X28 + X23 + X22 + X21 + X20 + X19 + X18 − X13 − X12 − X11 − X9 − X8 − X7 + X2 + X + 1 Remarquons que 231 = 3 × 7 × 11 est le produit de trois nombres premiers impairs distincts.
59. Exemple Dans Φ105 = Φ3×5×7, la valeur absolue du plus grand coefficient est 2. Dans Φ231 = Φ3×7×11, la valeur absolue du plus grand coefficient est 1.
60. Exemple Dans Φ105 = Φ3×5×7, la valeur absolue du plus grand coefficient est 2. Dans Φ165 = Φ3×5×11, la valeur absolue du plus grand coefficient est 2. Dans Φ231 = Φ3×7×11, la valeur absolue du plus grand coefficient est 1. Dans Φ385 = Φ5×7×11, la valeur absolue du plus grand coefficient est 2.
61. Inversons la relation de récurrence des polynômes cyclotomiques. Φ105 = (X105 − 1) Φ35 Φ21 Φ15 Φ7 Φ5 Φ3 Φ1
62. Inversons la relation de récurrence des polynômes cyclotomiques. Φ105 = (X105 − 1) Φ35 Φ21 Φ15 Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)(Φ7 Φ5 Φ1 )(Φ7 Φ3 Φ1 )(Φ5 Φ3 Φ1 ) (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ1
63. Inversons la relation de récurrence des polynômes cyclotomiques. Φ105 = (X105 − 1) Φ35 Φ21 Φ15 Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)(Φ7 Φ5 Φ1 )(Φ7 Φ3 Φ1 )(Φ5 Φ3 Φ1 ) (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ2 1 (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)
64. Inversons la relation de récurrence des polynômes cyclotomiques. Φ105 = (X105 − 1) Φ35 Φ21 Φ15 Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)(Φ7 Φ5 Φ1 )(Φ7 Φ3 Φ1 )(Φ5 Φ3 Φ1 ) (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ2 1 (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1) = (X105 − 1)(X7 − 1)(X5 − 1)(X3 − 1)Φ2 1 (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ3 1
65. Inversons la relation de récurrence des polynômes cyclotomiques. Φ105 = (X105 − 1) Φ35 Φ21 Φ15 Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)(Φ7 Φ5 Φ1 )(Φ7 Φ3 Φ1 )(Φ5 Φ3 Φ1 ) (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ1 = (X105 − 1)Φ7 Φ5 Φ3 Φ2 1 (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1) = (X105 − 1)(X7 − 1)(X5 − 1)(X3 − 1)Φ2 1 (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)Φ3 1 = (X105 − 1)(X7 − 1)(X5 − 1)(X3 − 1) (X35 − 1)(X21 − 1)(X15 − 1)(X − 1)
66. En généralisant ce procédé, on obtient l’écriture suivante. Proposition Pour tout n ∈ N∗, Φn = ∏ d|n (Xd − 1)µ(n/d) avec µ la fonction de Möbius définie sur N∗ par • µ(1) = 1, • si n admet un facteur carré différent de 1, µ(n) = 0, • si n est le produit de k nombres premiers distincts, µ(n) = (−1)k.
67. En utilisant que ∑ d|n µ(d) = 0 pour tout n ∈ N∗, on obtient Corollaire Pour tout n ∈ N∗, Φn = ∏ d|n (1 − Xd)µ(n/d)
68. Idée 3: calculer le produit de séries lacunaires jusqu’au degré du polynôme. Dans le calcul de Φn avec cette formule, il y a des termes de la forme • 1 − Xd • 1 1−Xd = ∑ +∞ k=0 Xkd Ainsi, on obtient Φn en calculant les coefficients du produit de ces termes jusqu’au degré φ(n).
69. Sachant que φ(55) = φ(5)φ(11) = 40, on obtient Φ55 = (1−X55)(1−X) (1−X11)(1−X5) = (1 − X55)(1 − X) +∞ ∑ k=0 X11k +∞ ∑ l=0 X5l = (1 − X)(1 + X11 + X22 + X33)× × (1 + X5 + X10 + X15 + X20 + X25 + X30 + X35 + X40) = X40 − X39 + X35 − X34 + X30 − X28 + X25 − X23 + X20 − X17 + X15 − X12 + X10 − X6 + X5 − X + 1
70. Si l’on ne cherche que quelques coefficients, on peut éviter de mener le calcul à son terme. Par exemple, pour n = 105, on écrit (1 − X35)(1 − X21)(1 − X15)Φ105 = (1 − X105) 1 − X7 1 − X (1 − X5)(1 − X3).
71. Si l’on ne cherche que quelques coefficients, on peut éviter de mener le calcul à son terme. Par exemple, pour n = 105, on écrit (1 − X35)(1 − X21)(1 − X15)Φ105 = (1 − X105) 1 − X7 1 − X (1 − X5)(1 − X3). Ainsi, modulo X8, Φ105 ≡ (1 − X3)(1 − X5) (1 − X7) (1 − X) mod X8 ≡ (1 − X3 − X5)(X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1) mod X8 ≡ −2X7 − X6 − X5 + X2 + X + 1 mod X8
72. Théorème de Schur (1931?, 1936?) Soit k ∈ N. Alors, il existe un entier n tel que Φn admet un coefficient de valeur absolue supérieure ou égale à k. Démonstration Considérons r impair supérieur ou égal à k + 1, p1 < p2 < · · · < pr des nombres premiers tels que p1 + p2 > pr et n = p1p2 · · · pr . Alors, la relation Φn = ∏ d|n (1 − Xd)µ(n/d) Φn ≡ (1 − Xp1 ) · · · (1 − Xpr−1 )1−Xpr 1−X mod Xpr +1 ≡ (1 − Xp1 − · · · − Xpr−1 ) pr −1 ∑ k=0 Xk mod Xpr +1 ≡ −(r − 1)Xpr + . . . mod Xpr +1 ▪
73. Théorème de Suzuki (1987) Soit k ∈ Z. Alors, il existe un entier n tel que k est un coefficient du polynôme Φn . Démonstration Avec r ∈ N impair et les mêmes notations que dans la preuve de Schur: Φn ≡ (1 − Xp1 − · · · − Xpr−1 ) pr −1 ∑ k=0 Xk mod Xpr +1 ≡ −(r − 1)Xpr − (r − 2)Xpr −1 − (r − 2)Xpr −2 + . . . mod Xpr +1 Φ2n = Φn (−X) ≡ (r − 1)Xpr − (r − 2)Xpr −1 + (r − 2)Xpr −2 + . . . mod Xpr +1 ▪
74. J. Suzuki (1987), On coefficients of cyclotomic polynomials Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 63 (7), 279-280
77. Emma Lehmer (Emma Markovna Trotskaja)
78. Interlude: Il est intéressant de noter qu’Emma n’a jamais obtenu de doctorat ni occupé de poste pérenne, mais cela était uniquement dû à des circonstances techniques, telles que le fait que les règles universitaires interdisaient à plusieurs endroits à un mari et sa femme d’enseigner dans le même département. Cela ne l’a toutefois jamais empêchée de poursuivre activement ses recherches mathématiques, seule ou en collaboration avec Dick, et d’être un membre reconnu de la communauté américaine de théorie des nombres. En effet, elle était pleinement satisfaite de cette situation institutionnelle et a su en tirer le meilleur parti, comme elle l’a expliqué dans un délicieux essai intitulé « On the advantages of not having a Ph.D ». L. Corry (2010), Hunting Prime Numbers—from Human to Electronic Computers The Rutherford Journal, vol. 3
79. Théorème de Lehmer (1936) Soit k ∈ N. Alors, il existe un entier n produit de trois nombres premiers tel que Φn admet un coefficient de valeur absolue supérieure ou égale à k.
80. Exemple de Juran, Moree, Riekert, Schmitz, Völlmecke (2023) Pour 125609 = 11 × 19 × 601, Φ125609 = · · · + 7X34884 + · · ·
81. Exemple de Juran, Moree, Riekert, Schmitz, Völlmecke (2023) Pour 125609 = 11 × 19 × 601, Φ125609 = · · · + 7X34884 + · · ·
82. Beiter M. (1968), Magnitude of the Coefficients of the Cyclotomic Polynomial Fpqr (x) The American Mathematical Monthly, 75(4), 370–372
83. Beiter M. (1968), Magnitude of the Coefficients of the Cyclotomic Polynomial Fpqr (x) The American Mathematical Monthly, 75(4), 370–372 M(p) ≤ 1 2 (p + 1).
84. B. Juran, P. Moree, A. Riekert, D. Schmitz, J. Völlmecke (2023), A proof of the corrected Sister Beiter cyclotomic coefficient conjecture inspired by Zhao and Zhang https://arxiv.org/abs/2304.09250v1
85. Sœur Marion Beiter
86. Une longue histoire... sur le point de s’achever? • On the coefficients of ternary cyclotomic polynomials, Gennady Bachman (2003) • Flat cyclotomic polynomials of order three, Nathan Kaplan (2007) • Counter-examples to Sister Beiter’s cyclotomic coefficient conjecture, Yves Gallot, Pieter Moree (2008) • A proof of the Corrected Beiter conjecture, Jia Zhao, Xianke Zhang (2009) Non Publié • Coefficients of ternary cyclotomic polynomials, Jia Zhao, Xianke Zhang (2010) • A proof of the corrected Sister Beiter cyclotomic coefficient conjecture inspired by Zhao and Zhang, Branko Juran, Pieter Moree, Adrian Riekert, David Schmitz, Julian Völlmecke (2023) Pas encore publié
87. Ouverture On a choisi dans cette intervention de se concentrer sur les coefficients des polynômes cyclotomiques mais d’autres sujets connexes sont possibles: • L’irréductibilité des Φn dans Q[X] • Les corps de rupture des Φn • Les diviseurs des entiers Φn (a) avec a ∈ Z • Les polynômes cyclotomiques Φn,K sur un autre corps K