グラフアルゴリズムその2: 単一始点最短路問題 /graphShortestPaths

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1. グラフアルゴリズムその2
   単一始点最短路問題
   2018-01-30
   宮川 拓
   

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2. 参考
    『アルゴリズムイントロダクション』,
   第3版, 24章「単一始点最短路問題」
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3. def 最短路問題
    グラフの頂点間をつなぐ最短の道と、その
   重みを求める
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4. 最短路問題の分類
    単一始点最短路問題:
    始点sから各頂点への最短路を求める
    単一目的地最短路問題:
    各頂点から目的地tへの最短路を求める
    本質的には単一始点最短路問題と同じ
    単一点対最短路問題:
    ある頂点対(u, v)間の最短路を求める
    uを始点とする単一始点最短路問題の部分問題
    全点対最短路問題:
    すべての頂点対(u, v)間の最短路を求める
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5. 最短路問題の分類
    重み付きグラフ
    重みなしグラフ
    → 幅優先探索で解ける
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6. 最短路問題の分類
    負の重みを持つ辺が含まれない場合
    負の重みを持つ辺が含まれる場合
    負の重みを持つ閉路がある場合、最短路
   が定義できない頂点対が出現する
   t
   v
   s
   u
   -5
   -3
   2 4
   (u, t, v)より(u, t, v, s, t, v),
   (u, t, v, s, t, v, s, t, v),,, の方が短い
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7. 取り上げるアルゴリズム
    Bellman-Fordアルゴリズム
    負の重みを持つ辺が扱える
    負閉路が検出できる
    遅い
    Dijkstraのアルゴリズム
    負の重みを持つ辺が扱えない
    速い
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8. Bellman-Fordアルゴリズム
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9. データ構造
   頂点 = {
   Pred: （暫定）最短路で1つ手前の頂点
   Dist: （暫定）最短路で始点からの距離
   }
   // 探索が終わった時点で、暫定でなくなる
   辺 = {
   From: 矢羽側の頂点
   To: 矢尻側の頂点
   Weight: 辺重み
   }
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10. Bellman-Fordアルゴリズム
    始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定
    loop (頂点の数 - 1) 回: // ← なんで？
    for すべての辺(From To Weight):
    D = From.Dist + Weight
    if D が To.Distよりも短ければ:
    Toを更新: .Pred=From .Dist=D
    endif
    endfor
    endloop
    この時点でFrom.Dist+Weight < To.Dist
    となる辺があれば、グラフは負閉路を含んでいる
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11. 例題
    c
    d e
    b
    a
    S
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
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12. 探索開始
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    12/42
    

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13. ループ1: d→a
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
    ※From側のDistが∞だから
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14. ループ1: c→b
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
    14/42
    

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15. ループ1: c→d
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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16. ループ1: b→d
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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17. ループ1: a→c
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    ∞
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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18. ループ1: S→a
    ∞
    ∞ ∞
    ∞
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: ∞→1
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19. ループ1: S→b
    ∞
    ∞ ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: ∞→1
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20. ループ1: S→c
    6
    ∞ ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: ∞→6
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21. ループ2: d→a
    6
    ∞ ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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22. ループ2: c→b
    6
    ∞ ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
    22/42
    

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23. ループ2: c→d
    6
    7 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: ∞→7
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24. ループ2: b→d
    6
    5 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: 7→5
    24/42
    

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25. ループ2: a→c
    3
    5 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更: 6→3
    25/42
    

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26. ループ2: S→a
    3
    5 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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27. ループ2: S→b
    3
    5 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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28. ループ2: S→c
    3
    5 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    変更なし
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29. ループ5終了時点
    3
    4 ∞
    1
    1
    0
    1
    2
    1
    4
    6
    1
    2
    3
    観察:
     各頂点に、0/1個のpredが設定されている
     最短路の部分経路もまた最短路である
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30. Bellman-Fordアルゴリズム
    始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定
    loop (頂点の数 - 1) 回: // ← なんで？
    for すべての辺(From To Weight):
    D = From.Dist + Weight
    if D が To.Distよりも短ければ:
    Toを更新: .Pred=From .Dist=D
    endif
    endfor
    endloop
    この時点でFrom.Dist+Weight < To.Dist
    となる辺があれば、グラフは負閉路を含んでいる
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31. 繰り返し回数の直感的理解
     頂点の数だけが与えられている場合、
    最短路の辺の数は高々(頂点数-1)
    例: 6頂点(S, a, b, c, d, e)→5辺
     (頂点数-1)回だけ繰り返せば、すべての
    最短路のすべての辺がたどられるはず
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32. Bellman-Fordアルゴリズム
    始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定
    loop (頂点の数 - 1) 回:
    for すべての辺(From To Weight):
    D = From.Dist + Weight
    if D が To.Distよりも短ければ:
    Toを更新: .Pred=From .Dist=D
    endif
    endfor
    endloop
    この時点でFrom.Dist+Weight < To.Dist
    となる辺があれば、グラフは負閉路を含んでいる
    計算量:
    O(頂点数*辺数)
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33. Dijkstraのアルゴリズム
    33/42
    

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34. データ構造
    頂点 = {
    Pred: （暫定）最短路で1つ手前の頂点
    Dist: （暫定）最短路で始点からの距離
    Neibors: (矢印の先の頂点, 重み)の集合
    }
    頂点の優先度付きキュー = {
    extractMin(): 距離が最も小さい頂点を抜き出す
    decreaseKey(V, Dist): 頂点Vの距離を更新する
    }
    // 距離を優先度とする
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35. Dijkstraのアルゴリズム
    始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定
    Q = すべての頂点を含む優先度付きキュー
    while Qが空でない間:
    Min = Q.extractMin()
    for すべてのMin.neibors → (V, Weight) :
    D = Min.dist + Weight
    if DがV.distよりも短ければ:
    Vを更新: .Pred=Min .Dist=D
    Q.decreaseKey(V, D)
    endif
    endfor
    endwhile
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36. 直感的な理解
    最短路と距離が確定した頂点の集合S
    最短路と距離が未確定の頂点の集合Q
    Sの 中 の 頂 点 は
    最短路が確定している
    最短路は Sに含まれる
    頂点だけで構成される
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37. 直感的な理解
    最短路と距離が確定した頂点の集合S
    最短路と距離が未確定の頂点の集合Q Qの 中 の 頂 点 は
    最短路が未確定
    Sの中の頂点から来る
    道があれば、
    そのいずれかが
    暫定最短路として
    設定されている
    37/42
    

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38. 直感的な理解
    最短路と距離が確定した頂点の集合S
    最短路と距離が未確定の頂点の集合Q
    Min
    Qか ら 、
    暫定距離が最も短い
    頂点Minを選ぶ
    38/42
    

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39. 直感的な理解
    最短路と距離が確定した頂点の集合S
    最短路と距離が未確定の頂点の集合Q
    Min
    Minの最短路は
    確定できる！
    Qの 中 の 他 の 頂 点 を
    たどる道が
    最短路であることは
    ないから
    ※ 負辺はない前提
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40. 直感的な理解
    最短路と距離が確定した頂点の集合S
    最短路と距離が未確定の頂点の集合Q
    Min
    MinからQへの
    暫定最短路があれば
    更新する
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41. Dijkstraのアルゴリズムの計算量
    始点のDistを0に、始点以外のDistを∞に設定
    Q = すべての頂点を含む優先度付きキュー
    while Qが空でない間:
    Min = Q.extractMin()
    for すべてのMin.neibors → (V, Weight) :
    D = Min.dist + Weight
    if DがV.distよりも短ければ:
    Vを更新: .Pred=Min .Dist=D
    Q.decreaseKey(V, D)
    endif
    endfor
    endwhile
    頂 点 数 回
    実 行 さ れ る
    だ い た い 辺 数 回
    実 行 さ れ る
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42. Dijkstraのアルゴリズムの計算量
    優先度付きキューの操作の計算量に依存
    優先度付き
    キューの実装
    extractMin
    decrease
    Key
    Dijkstraの計算量
    2 分ヒープ Θ(log N) Θ(log N )
    Θ(辺数* log頂点数
    +頂点数* log頂 点 数)
    フィボナッチ
    ヒープ
    Θ(log N)
    Θ(1)
    ※ならし
    Θ(辺数
    +頂点数* log頂 点 数)
    ※ならし
    計算量は漸近的にフィボナッチヒープが有利
    フィボナッチヒープの実装は複雑、 2分ヒープは単純なので、
    グラフが小さい場合は 2分ヒープを使う方が有利
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    ※N = 優先度付きキューの要素数
    

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