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双対問題について

 双対問題について

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    双対問題について
    2023-07-28 第54回NearMe技術勉強会
    Yuta Okamoto

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  2. 1
    目次
    1. はじめに
    2. 前回までの内容・今回のゴール
    3. 前提知識
    4. 双対問題とは
    5. 主問題と双対問題の関係性
    6. 次回予告

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  3. 2
    1.はじめに
    ● アイスブレイク
    ○ 問題です.
    ■ 見た目がそっくりな双子の姉妹がいる。片方は正直者、もう一方は嘘つき。
    ■ 姉妹のどちらが正直者かわからない。
    ■ 今、目の前に姉妹のうちの一人が立っている。
    ■ はい/いいえで答えられる単文の質問を一つだけ聞ける。
    ■ 何と聞けば、彼女が姉か妹かを見極められるか?

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  4. 3
    2.前回までの内容・今回のゴール
    ● 前回までの内容
    ○ グラフの工夫でさまざまな条件を表現できること
    ■ 盛り込みたい条件をノードやエッジを使ってうまくで表すところ
    が肝
    ● 今回のゴール
    ○ 双対問題ってなんなのか理解する

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    3.前提知識
    ● 線形計画問題
    ○ 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明
    ○ 目的関数(最大化させたいもの)も制約条件(守るべきルー
    ル)も線形なもの
    最適化問題
    非線形
    線形

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  6. 5
    4.双対問題とは
    ● 元々考えていた最適化問題を主問題とすると,主問題のペアに
    なるような問題が存在する.
    P D
    主問題 双対問題
    双対関係

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  7. 6
    4.前提知識
    ● 補足
    ○ 双対問題は非線形な最適化問題には存在しませんか?
    ■ するらしいですが,私はよく知りません󰢛
    ○ 双対問題はいつ頃発見されましたか?
    ■ 結構前です.厳密な証明はAlbert W. Tuckerらが1948年
    に発表したらしい.

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  8. 7
    4.双対問題とは
    ● 補足
    ○ 双対問題はどうやって手に入りますか?
    ■ 主問題から導出できます.次回の詳しく説明します!
    ○ 主問題を解けばいいのになんでわざわざ双対問題なんか考
    えるんでしょうか?
    ■ 主問題を解くよりも簡単に主問題の答えを手に入れられる
    からです.あとは大域最適解であることの証拠になるから
    です.

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  9. 8
    5.主問題と双対問題の関係性
    ● 以下の関係性がある.
    ○ 一方の目的関数の値が,もう一方の下界を与える
    ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち,それら
    は一致する
    ○ 一方が非有界ならば,もう一方は実行不能である
    ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えない

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    5.主問題と双対問題の関係性
    ● 図でイメージを掴んでみる.
    opt
    obj val

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    5.主問題と双対問題の関係性
    ● 具体例でイメージを掴んでみる
    ○ 最大流問題 & 最小カット問題
    https://gist.github.com/yutaokamoto/2cb866df
    13a56a045cf3a8655a3ad827

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  12. 11
    6.次回予告
    ● 主問題から双対問題を導出する
    (ワークショップ的なやつを予定)

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  13. 12
    出典
    ● 「双対問題」(2020年4月30日(木)13:49 UTCの版)『ウィキペディア日本語版』.
    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%95%8F%E9
    %A1%8C(参照 2023年7月27日)
    ● Log Opt.「最大流問題」(2023年1月29日)『opt100』.
    https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4%A
    7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-flow-pr
    oblem%EF%BC%89(参照 2023年7月28日)

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  14. 13
    Thank you

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