双対問題について

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   双対問題について
   2023-07-28 第54回NearMe技術勉強会
   Yuta Okamoto
   

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   目次
   1. はじめに
   2. 前回までの内容・今回のゴール
   3. 前提知識
   4. 双対問題とは
   5. 主問題と双対問題の関係性
   6. 次回予告
   

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   1.はじめに
   ● アイスブレイク
   ○ 問題です．
   ■ 見た目がそっくりな双子の姉妹がいる。片方は正直者、もう一方は嘘つき。
   ■ 姉妹のどちらが正直者かわからない。
   ■ 今、目の前に姉妹のうちの一人が立っている。
   ■ はい/いいえで答えられる単文の質問を一つだけ聞ける。
   ■ 何と聞けば、彼女が姉か妹かを見極められるか？
   

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   2.前回までの内容・今回のゴール
   ● 前回までの内容
   ○ グラフの工夫でさまざまな条件を表現できること
   ■ 盛り込みたい条件をノードやエッジを使ってうまくで表すところ
   が肝
   ● 今回のゴール
   ○ 双対問題ってなんなのか理解する
   

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   3.前提知識
   ● 線形計画問題
   ○ 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明
   ○ 目的関数（最大化させたいもの）も制約条件（守るべきルー
   ル）も線形なもの
   最適化問題
   非線形
   線形
   

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   4.双対問題とは
   ● 元々考えていた最適化問題を主問題とすると，主問題のペアに
   なるような問題が存在する．
   P D
   主問題 双対問題
   双対関係
   

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7. 6
   4.前提知識
   ● 補足
   ○ 双対問題は非線形な最適化問題には存在しませんか？
   ■ するらしいですが，私はよく知りません󰢛
   ○ 双対問題はいつ頃発見されましたか？
   ■ 結構前です．厳密な証明はAlbert W. Tuckerらが1948年
   に発表したらしい．
   

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8. 7
   4.双対問題とは
   ● 補足
   ○ 双対問題はどうやって手に入りますか？
   ■ 主問題から導出できます．次回の詳しく説明します！
   ○ 主問題を解けばいいのになんでわざわざ双対問題なんか考
   えるんでしょうか？
   ■ 主問題を解くよりも簡単に主問題の答えを手に入れられる
   からです．あとは大域最適解であることの証拠になるから
   です．
   

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   5.主問題と双対問題の関係性
   ● 以下の関係性がある．
   ○ 一方の目的関数の値が，もう一方の下界を与える
   ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち，それら
   は一致する
   ○ 一方が非有界ならば，もう一方は実行不能である
   ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えない
   

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    5.主問題と双対問題の関係性
    ● 図でイメージを掴んでみる．
    opt
    obj val
    

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    5.主問題と双対問題の関係性
    ● 具体例でイメージを掴んでみる
    ○ 最大流問題 & 最小カット問題
    https://gist.github.com/yutaokamoto/2cb866df
    13a56a045cf3a8655a3ad827
    

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    6.次回予告
    ● 主問題から双対問題を導出する
    （ワークショップ的なやつを予定）
    

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    出典
    ● 「双対問題」（2020年4月30日（木）13:49 UTCの版）『ウィキペディア日本語版』．
    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E5%95%8F%E9
    %A1%8C（参照 2023年7月27日）
    ● Log Opt.「最大流問題」（2023年1月29日）『opt100』．
    https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4%A
    7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-flow-pr
    oblem%EF%BC%89（参照 2023年7月28日）
    

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14. 13
    Thank you
    

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