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双対問題の導出

 双対問題の導出

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    双対問題の導出
    2023-09-08 第59回NearMe技術勉強会
    Yuta OKAMOTO

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    目次
    1. 前回までの内容・今回のゴール
    2. 前提知識
    3. 双対問題の導出
    4. 主問題と双対問題の間に成り立つ定理
    5. 次回予告

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    1.前回までの内容・今回のゴール
    ● 前回までの内容
    ○ 双対問題とは何か
    ■ 主問題と双対問題は鏡像のような関係
    ■ うれしい関係が成り立つ
    ● 今回のゴール
    ○ 双対問題の簡単な導出をマスター

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    2.前提知識
    ● 線形計画問題
    • 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明
    • 目的関数(最大化させたいもの)も制約条件(守るべきルー
    ル)も線形なもの 最適化問題
    非線形
    線形

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    2.前提知識
    ● 双対問題についてふわっと理解:
    ○ 元々考えていた最適化問題を主問題とすると,主問題のペ
    アになるような問題が存在する.
    P D
    主問題 双対問題
    双対関係

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    2.前提知識
    ● 以下の関係性がある.
    ○ 一方の目的関数の値が,もう一方の下界を与える
    ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち,それ
    らは一致する
    ○ 一方が非有界ならば,もう一方は実行不能である
    ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えな

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    2.前提知識
    ● 上界と下界
    opt
    obj val

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    3.双対問題の導出
    P
    D
    http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf

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    3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
    https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html

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    3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
    P
    D

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    3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
    以下のノートブックを使って,システマチックに導出した場合でも目的
    関数値が一致することを確認する
    https://gist.github.com/yutaokamoto/2902973186e0584837e6dfcd
    6b59b2c6

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    4.次回予告
    ● 双対問題導出のちゃんとした説明
    ● 双対定理と相補性条件について

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    出典
    ● Log Opt.「最大流問題」(2023年1月29日)『opt100』.
    https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4
    %A7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-f
    low-problem%EF%BC%89(参照 2023年9月8日)
    ● 水野眞治「双対問題と双対定理」(2013年2月9日)『学習用テキスト 線形計画
    法 (2)』.http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf
    (参照 2023年9月8日)

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  14. 14
    Thank you

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