双対問題の導出

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   双対問題の導出
   2023-09-08 第59回NearMe技術勉強会
   Yuta OKAMOTO
   

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   目次
   1. 前回までの内容・今回のゴール
   2. 前提知識
   3. 双対問題の導出
   4. 主問題と双対問題の間に成り立つ定理
   5. 次回予告
   

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   1.前回までの内容・今回のゴール
   ● 前回までの内容
   ○ 双対問題とは何か
   ■ 主問題と双対問題は鏡像のような関係
   ■ うれしい関係が成り立つ
   ● 今回のゴール
   ○ 双対問題の簡単な導出をマスター
   

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   2.前提知識
   ● 線形計画問題
   • 今回は線形な最適化問題の双対問題について説明
   • 目的関数（最大化させたいもの）も制約条件（守るべきルー
   ル）も線形なもの 最適化問題
   非線形
   線形
   

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   2.前提知識
   ● 双対問題についてふわっと理解:
   ○ 元々考えていた最適化問題を主問題とすると，主問題のペ
   アになるような問題が存在する．
   P D
   主問題 双対問題
   双対関係
   

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   2.前提知識
   ● 以下の関係性がある．
   ○ 一方の目的関数の値が，もう一方の下界を与える
   ○ 一方が最適解を持つならばもう一方も最適解を持ち，それ
   らは一致する
   ○ 一方が非有界ならば，もう一方は実行不能である
   ■ ※「一方が実行不能ならばもう一方は非有界」は言えな
   い
   

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   2.前提知識
   ● 上界と下界
   opt
   obj val
   

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   3.双対問題の導出
   P
   D
   http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf
   

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   3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
   https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html
   

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    3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
    P
    D
    

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    3.双対問題の導出 - 最大流問題と最小カット問題
    以下のノートブックを使って，システマチックに導出した場合でも目的
    関数値が一致することを確認する
    https://gist.github.com/yutaokamoto/2902973186e0584837e6dfcd
    6b59b2c6
    

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    4.次回予告
    ● 双対問題導出のちゃんとした説明
    ● 双対定理と相補性条件について
    

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    出典
    ● Log Opt.「最大流問題」（2023年1月29日）『opt100』．
    https://scmopt.github.io/opt100/10maxflow.html#%E6%9C%80%E5%A4
    %A7%E6%B5%81%E5%95%8F%E9%A1%8C%EF%BC%88maximum-f
    low-problem%EF%BC%89（参照 2023年9月8日）
    ● 水野眞治「双対問題と双対定理」（2013年2月9日）『学習用テキスト 線形計画
    法 (2)』．http://www.me.titech.ac.jp/~mizu_lab/text/PDF-LP/LP2-dual.pdf
    （参照 2023年9月8日）
    

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    Thank you
    

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